垂直于弦的直径
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(共21张PPT)
垂直于弦的直径
紫阳中学初中部祝正堂
圆是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么 你能找到多少条对称轴？
圆是轴对称图形.
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.
●O
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴
（2） 线段： AE=BE
弧： AC=BC AD=BD
·
O
A
B
C
D
E
C
.
O
A
E
B
D
证明：连结OA、OB，则OA＝OB。
∵OA=OB,OE⊥AB
∴AE=BE
∴点A和点B关于CD对称
∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，AE和BE重合，AC和BC重合，AD和BD重合。
因此AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
题设
结论
（1）直径（过圆心）
（2）垂直于弦
｝
｛
（3）平分弦
用文字语言描述：
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
定理 垂直于弦的直径
●O
A
B
C
D
M└
CD⊥AB
如图∵ CD是直径
∴AM=BM
⌒
⌒
AC =BC
⌒
⌒
AD=BD
平分弦,并且平分弦所的两条弧.
垂径定理
练习1
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧
E
O
A
B
D
C
O
B
A
E
E
O
A
B
C
E
O
C
D
A
B
E
A
B
C
D
E
O
A
B
D
C
问题 ：你知道赵州桥吗 它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,
是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度
(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你
能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
例1 赵州桥的半径是多少？
解：如图，用 AB 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O，半径为R． 经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点C，根据前面的结论，D是 AB的中点，C是 AB 的中点，CD就是拱高．
解得：R≈27．9（m）
O .
A
B
D
C
R
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
即 R2=18.72+（R－7.2）2
OA2=AD2+OD2
AB=37.4，CD=7.2，
OD=OC－CD=R－7.2
在图中
赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度
(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高
(弧的中点到弦的距离)为7.2m，
你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
巩固练习
已知：如图，在⊙O中，弦
AB的长为8cm，圆心
O到AB的距离为3cm.
求：⊙O的半径.
则OE＝3cm，AE＝BE.
∵AB＝8cm ∴AE＝4cm
在Rt⊿AOE中，根据勾股定理
OA＝5cm
∴⊙O的半径为5cm.
A
B
.
O
E
解：连结OA，过O作OE⊥AB，垂足为E，
练习2
拓展探究
1.垂径定理相当于说一条直线如果具备（1）过圆心；（2）垂直于弦；则它有以下性质（3）平分弦；（4）平分弦所对的劣弧；（5）平分弦所对的优弧.
2.在圆中解决有关弦的问题时，经常是过圆心作弦的垂线段，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
课堂小结
A
B
.
O
E
讨论：在垂径定理中有2个条件和
3个结论，我们把这五个，任选两
个做为条件，能推出其他3个结论
吗？
（1）过圆心
（2）垂直于弦
｝
｛
（3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
拓展探究
C
.
O
A
E
B
D
（3）
（1）
（2）
（4）
（5）
（2）
（3）
（1）
（4）
（5）
（1）
（4）
（3）
（2）
（5）
（1）
（5）
（3）
（4）
（2）
B
选择：“两龙”高速公路是目前浙江省高速公路隧道和桥梁最多的路段，如图所示是一个单心圆曲隧道的截面，若路面AB宽为10米，净高CD为7米，则此隧道单心圆的半径OA是（ ）
A.5米 B. 米
C. 米 D.7米
O
A
B
E
变1 在⊙O中,直径为 10 cm,弦 AB
的长为 8 cm, 求圆心O到AB的距离.
变2 在⊙O中,直径为 10 cm,圆心O到AB的距离为 3 cm,求弦AB的长.
圆的半径为R,弦长为 a,弦心距为d,则 R 、a、d满足关系
式＿＿＿＿＿＿＿＿＿
（ a）2+d2=R2
垂直于弦的直径
紫阳中学初中部祝正堂
圆是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么 你能找到多少条对称轴？
圆是轴对称图形.
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.
●O
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴
（2） 线段： AE=BE
弧： AC=BC AD=BD
·
O
A
B
C
D
E
C
.
O
A
E
B
D
证明：连结OA、OB，则OA＝OB。
∵OA=OB,OE⊥AB
∴AE=BE
∴点A和点B关于CD对称
∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，AE和BE重合，AC和BC重合，AD和BD重合。
因此AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
题设
结论
（1）直径（过圆心）
（2）垂直于弦
｝
｛
（3）平分弦
用文字语言描述：
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
定理 垂直于弦的直径
●O
A
B
C
D
M└
CD⊥AB
如图∵ CD是直径
∴AM=BM
⌒
⌒
AC =BC
⌒
⌒
AD=BD
平分弦,并且平分弦所的两条弧.
垂径定理
练习1
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧
E
O
A
B
D
C
O
B
A
E
E
O
A
B
C
E
O
C
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A
B
E
A
B
C
D
E
O
A
B
D
C
问题 ：你知道赵州桥吗 它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,
是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度
(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你
能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
例1 赵州桥的半径是多少？
解：如图，用 AB 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O，半径为R． 经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点C，根据前面的结论，D是 AB的中点，C是 AB 的中点，CD就是拱高．
解得：R≈27．9（m）
O .
A
B
D
C
R
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
即 R2=18.72+（R－7.2）2
OA2=AD2+OD2
AB=37.4，CD=7.2，
OD=OC－CD=R－7.2
在图中
赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度
(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高
(弧的中点到弦的距离)为7.2m，
你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
巩固练习
已知：如图，在⊙O中，弦
AB的长为8cm，圆心
O到AB的距离为3cm.
求：⊙O的半径.
则OE＝3cm，AE＝BE.
∵AB＝8cm ∴AE＝4cm
在Rt⊿AOE中，根据勾股定理
OA＝5cm
∴⊙O的半径为5cm.
A
B
.
O
E
解：连结OA，过O作OE⊥AB，垂足为E，
练习2
拓展探究
1.垂径定理相当于说一条直线如果具备（1）过圆心；（2）垂直于弦；则它有以下性质（3）平分弦；（4）平分弦所对的劣弧；（5）平分弦所对的优弧.
2.在圆中解决有关弦的问题时，经常是过圆心作弦的垂线段，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
课堂小结
A
B
.
O
E
讨论：在垂径定理中有2个条件和
3个结论，我们把这五个，任选两
个做为条件，能推出其他3个结论
吗？
（1）过圆心
（2）垂直于弦
｝
｛
（3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
拓展探究
C
.
O
A
E
B
D
（3）
（1）
（2）
（4）
（5）
（2）
（3）
（1）
（4）
（5）
（1）
（4）
（3）
（2）
（5）
（1）
（5）
（3）
（4）
（2）
B
选择：“两龙”高速公路是目前浙江省高速公路隧道和桥梁最多的路段，如图所示是一个单心圆曲隧道的截面，若路面AB宽为10米，净高CD为7米，则此隧道单心圆的半径OA是（ ）
A.5米 B. 米
C. 米 D.7米
O
A
B
E
变1 在⊙O中,直径为 10 cm,弦 AB
的长为 8 cm, 求圆心O到AB的距离.
变2 在⊙O中,直径为 10 cm,圆心O到AB的距离为 3 cm,求弦AB的长.
圆的半径为R,弦长为 a,弦心距为d,则 R 、a、d满足关系
式＿＿＿＿＿＿＿＿＿
（ a）2+d2=R2
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