人教版七年级数学3.4一元一次方程的实际应用（一）教案（含答案）

个性化教案
一元一次方程的实际应用（一）
适用学科
初中数学
适用年级
初中一年级
适用区域
全国-人教版
课时时长（分钟）
120分钟
知识点
1.
一元一次方程的解法
2.
用一元一次方程解决行程问题的方法和技巧
3.
用一元一次方程解决工程问题的方法和技巧
4.
用一元一次方程解决分配问题的方法和技巧
教学目标
1.
掌握用一元一次方程解决实际问题的基本思想
2.
进一步经历用方程解决实际问题的过程，体会运用方程解决实际问题的一般方法。
教学重点
运用一元一次方程解决行程、工程及分配实际问题是重点
教学难点
寻找等量关系
教学过程
一、复习预习
一天6只狼仔跟着狼妈妈正在找食物．他们来到一个小山头，四处观察，发现草原上有好多羊．“好肥的羊啊！够咱们吃几辈子了……”狼妈妈不由自主地说出声来．狼妈妈想考一考哪只狼仔最聪明．狼妈妈观察后对狼仔们说：“这里的羊共有780只，分成A、B、C三群，A羊群羊的只数是B羊群的2倍，C羊群羊的只数又是A羊群的5倍，试问A羊群有几只羊？谁先算出，且算法最简便，妈妈就教他如何捉羊．你们可以合作完成．”
聪明的你，能帮小狼快速的算出到底有多少只羊么？
二、知识讲解
1.
列方程解决实际问题的一般步骤：
（1）找出题中的相等关系；
（2）列出方程；
（3）解方程
（4）检验根是否符合方程，检验根是否符合实际；
（5）写出答案
2.
设未知数的方法
（1）设直接未知数，即问什么设什么；
（2）设间接未知数；
（3）设辅助未知数，这时的辅助未知数可不求出.
3.
行程问题
基本的数量关系：
（1）路程＝速度×时间
（2）
速度＝路程÷时间
（3）
时间＝路程÷速度
要特别注意：路程、速度、时间的对应关系（即在某段路程上所对应的速度和时间各是多少）
常用的等量关系：
（1）甲、乙二人相向相遇问题
①甲走的路程＋乙走的路程＝总路程
②二人所用的时间相等或有提前量
（2）甲、乙二人中，慢者所行路程或时间有提前量的同向追击问题
①甲走的路程－乙走的路程＝提前量
②二人所用的时间相等或有提前量
（3）单人往返
①各段路程和＝总路程
②
各段时间和＝总时间
③
匀速行驶时速度不变
（4）行船问题与飞机飞行问题
①
顺水速度＝静水速度＋水流速度
②
逆水速度＝静水速度－水流速度
抓住两码头间距离不变的特点考虑相等关系．
（5）环形跑道问题
可看成相遇、追及问题来解决.
4.
工程问题：
工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率×工作时间
经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1.
完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1
5.
分配问题
这里的分配问题包括：和差倍分问题、配套问题、劳力调配问题、分配问题
（1）
和、差、倍、分问题（生产、做工等各类问题）
比例分配问题的一般思路为：设其中一份为
，利用已知的比，写出相应的代数式。
常用等量关系：各部分之和=总量。
（2）劳力调配问题
这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：
①既有调入又有调出；
②只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；
③只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。
（3）
配套问题
这类问题的关键是找对配套的两类物体的数量关系。
（4）分配问题
考点/易错点1
解行程问题时要注意一下几点：
（1）注意相遇问题和追及问题的区别；
（2）注意出发的时间和地点；
（3）画线路图，有助于分析等量关系.这是解决行程问题最好的办法.
考点/易错点2
应用题的检验是必要的，一方面应检验所求未知数的值是不是所列方程的解，另一方面还应检验这个解是否符合题意，不符合题意要舍去.
考点/易错点3
（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现。
（2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现.
考点/易错点4
配套问题的关键是如何配套，建立相等关系.一般的方法是把“倍数”放在适当位置，往往学生容易放错位置，导致错误相等关系的出现.我们可以用一种更易理解的方法，就是用“比例式”表示，形式如：“”,运用小学所学过的“内项之积=外项之积”就可以转化为“”的形式.
三、例题精析
【例题1】
【题干】从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用3.6小时，已知步行速度为每小时8千米，公交车的速度为每小时40千米，设甲乙两地相距千米，则列方程为______________
【答案】解：等量关系
步行时间－乘公交车的时间＝3.6小时
列出方程是：
【解析】本题中的相等关系是：步行从甲地到乙地所用时间-乘车从甲地到乙地的时间=3.6，根据此等式列方程即可．
【变形1】某人从家里骑自行车到学校．若每小时行15千米，可比预定的时间早到15分钟；若每小时行9千米，可比预定的时间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？
【答案】解：设从家到学校有千米，15分钟=
小时，
依题意得：
解得：
答：从家里到学校的路程有11.25千米．
【解析】由题意可知，此人不管以多大的速度到达学校路程都不变，由此列方程求解．
【例题2】
【题干】甲、乙两站路程为360km，一列慢车从甲站开出，每小时行48km，一列快车从乙站开出，每小时行72km．
（1）两车同时开出，相向而行，多少小时相遇？
（2）若慢车先开出20分钟，快车再出发，两车同向而行，快车多少时间追上慢车？
【答案】解：（1）设两车同时开出相向而行，经小时相遇，即
，
解得：．
答：经过3小时两车相遇．
（2）设快车行驶y小时追上慢车；根据题意有：
解得：
答：快车小时追上慢车．
【解析】根据题意可得（1）的等量关系：快车走的路程+慢车走的路程=360；
（2）中主要注意慢车已经先开出20分钟，两车同向而行；可以列出方程，解可得答案．
【变形1】甲、乙两地的路程为360千米，一列快车从乙站开出，每小时行72千米；一列慢车从甲站开出，每小时行48千米．
（1）若两列火车同时开出，相向而行，经过多少小时两车相遇？
（2）若快车先开25分钟，两车相向而行，慢车行驶了多少时间两车相遇？
【答案】解：（1）设两车同时开出相向而行，经小时两车相遇，即根据题意得：
解得：
答：经过3小时两车相遇．
（2）设慢车行驶y小时两车相遇；
根据题意有：
解得：
答：慢车行驶了小时两车相遇．
【解析】根据题意可得（1）和（2）的等量关系：快车走的路程+慢车走的路程=360；
（2）中主要注意快车已经先开了25分钟；可以列出方程，解可得答案．注意相遇问题中的等量关系，同时注意时间单位的统一．
【例题3】
【题干】甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里．
（1）慢车先开出1小时，快车再开．两车相向而行．问快车开出多少小时后两车相遇？
（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？
（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？
（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？
（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？
【答案】解：（1）设快车开出x小时后两车相遇，
解得：
答：快车开出小时后两车相遇．
（2）设相背而行小时后两车相距600公里，
解得：
答：相背而行小时后两车相距600公里
（3）根据题意可知间隔的距离600公里是两车同时开出时相差的路程加上甲乙两地相距的480公里，
设小时后快车与慢车相距600公里，
，
解得：
答：2.4小时后快车与慢车相距600公里，
（4）设：小时后快车追上慢车
根据题意可知：快车行的路程是慢车行的路程加上甲乙两地相距的480公里，
答：9.6小时后快车追上慢车．
（5）设小时后快车追上慢车．
根据题意快车行的路程是慢车先行1小时的路程+慢车与快车同时行的路程+甲乙两地相距的480公里
，
答：11.4小时后快车追上慢车．
【解析】（1）根据相遇时，甲行的路程+乙行的路程=总路程，设快车开出x小时后两车相遇，列出方程解出即可；
（2）这也是相遇问题的背道而行，所行路程是两人行的路程再加上甲乙两地相距得路程，列式解出即可；
（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，两人越走间隔越远，间隔的距离600公里是两车同时开出时相差的路程加上甲乙两地相距的480公里，再利用条件解出即可．
（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，可知快车行的路程是慢车行的路程加上甲乙两地相距的480公里，再利用条件解出即可．
（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，可知快车行的路程是慢车先行1小时的路程+慢车与快车同时行的路程+甲乙两地相距的480公里，再利用条件解出即可．
【变形1】甲、乙两个火车站相距189公里，一列快车和一列慢车分别从甲、乙两个车站同时出发，相向而行，经过1.5小时，两车相遇后又相距21公里，若快车比慢车每小时多行12公里，则慢车每小时行___________公里．
【答案】解：设慢车每小时行公里，则快车每小时行（+12）公里．
，
解得，
故答案为64．
【解析】等量关系为：甲走的路程+乙走的路程=189+21，把相关数值代入求解即可．
【例题4】
【题干】一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米每小时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头的之间的距离？
【答案】解：设水流的速度为千米/小时，
则顺水时的速度为，逆水时的速度为，
根据题意得：，
解得：．
（12+3）×6=90千米．
答：水流的速度为3千米/小时，两码头之间的距离为90千米．
【解析】设水流的速度为，由顺水速度=静水速度+水流的速度，逆水速度=静水速度-水流的速度，表示出顺水速度和逆水速度，再根据码头之间距离不变列出方程．本题考查了一元一次方程的应用，解答这道题找出轮船在两个码头往返路程相等，表示出顺水和逆水速度，用速度乘以时间得到路程便可解决．
【变形1】轮船在长江中两个码头之间航行，顺水航行需要4小时，逆水航行需要5小时，而轮船在静水中航行的速度为36千米/小时，求水流的速度．
【答案】解；设水流的速度是千米/小时，
，
解得：．
故水流的速度是4千米/小时．
【解析】设水流的速度是千米/小时，根据顺水航行需要4小时，逆水航行需要5小时，而轮船在静水中航行的速度为36千米/小时，可列方程求解．本题考查一元一次方程与实际问题的联系，关键知道路程=速度×时间，设出速度，以路程做为等量关系列方程求解．
【例题5】
【题干】在800米跑道上有两人练中长跑，甲每分钟跑320米，乙每分钟跑280米，两人同时同地同向起跑，t分钟后第一次相遇，则t等于（　　）分钟．
A．10
B．15
C．20
D．30
【答案】解：根据题意得
解得：t=20；
故选C．
【解析】此题是追及问题，等量关系是甲比已多跑了800米，还要注意路程=速度×时间，即可求得．
【变形1】甲、乙两人在400米环形跑道上练习长跑，两人速度分别是200米/分和160米/分．
（1）若两人从同一地点同时向相反方向跑，多少分钟后两人第一次相遇？
（2）若两人从同一地点同时同向起跑，多少分钟后两人第一次相遇？
【答案】解：（1）设两人从同一地点同时向相反方向跑，分钟后两人第一次相遇，根据题意得出：，
解得：．
答：设两人从同一地点同时向相反方向跑，分钟后两人第一次相遇；
（2）设两人从同一地点同时同向起跑，经过y分钟两人第一次相遇，根据题意得：
200y-160y=400，
解得：y=10．
答：两人从同一地点同时同向起跑，10分钟后两人第一次相遇．
【解析】（1）根据两人长跑的过程中当第一次两人相遇时路程的和为400米列出方程求解即可；（2）根据两人长跑的过程中当第一次两人相遇时路程的差为400米列出方程求解即可．
【例题6】
【题干】一件工作，甲单独完成需10天，乙单独完成需12天，丙单独完成需15天．现甲、丙先做2天，丙单独做了1天后，乙、丙合作，问还需几天才能完成？
【答案】解：设还需天才能完成，
根据题意得：
解得，
则还需4天才能完成．
【解析】设还需天才能完成，根据甲、丙先做2天，丙单独做了1天后，乙、丙合作，利用工作量=工作效率×时间列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【例题7】
【题干】一批零件按计划生产需15天完成．实行承包制后，调动了工人的生产积极性，每天可多生产30个零件，因此提前3天完成任务，求原计划每天生产多少个零件．
【答案】解：设原计划每天生产个零件，则实际每天生产个，根据题意得：
；
解得：，
答：原计划每天生产120个零件．
【解析】根据题意找出等量关系列出方程即可.
【例题8】
【题干】某车间有16名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个．在这16名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件．已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可获利24元．若此车间一共获利1440元，求这一天有几个工人加工甲种零件．
【答案】解：设这一天有名工人加工甲种零件，
则这天加工甲种零件有5个，乙种零件有4（16-）个．
根据题意，得16×5+24×4（16-）=1440，
解得=6．
答：这一天有6名工人加工甲种零件．
【解析】等量关系为：加工甲种零件的总利润+加工乙种零件的总利润=1440，把相关数值代入求解即可．
【例题9】
【题干】某厂一车间有64人，二车间有56人．现因工作需要，要求第一车间人数是第二车间人数的一半．问需从第一车间调多少人到第二车间？
【答案】解：设需从第一车间调人到第二车间，根据题意得：
2（64-）=56+，
解得=24；
答：需从第一车间调24人到第二车间．
【解析】设需从第一车间调人到第二车间，第一车间人数是（64-）人，第二车间人数是56+人，根据第一车间人数是第二车间人数的一半，列出方程即可．
【例题10】
【题干】某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺母）
【答案】解：设分配人生产螺栓，则有（28-）人生产螺母，由题意得：
12×2=（28-）×18，
解得：=12，
28-12=16（人）
答：应分配12人生产螺栓，16人生产螺母，才能使每天生产量刚好配套．
【解析】首先设分配人生产螺栓，则有（28-）人生产螺母，根据题意可得等量关系：人生产的螺栓数×2=（28-）人生产螺母数，由等量关系列出方程，解方程即可．
【例题11】
【题干】学校分配学生住宿，如果每室住8人，还少12个床位，如果每室住9人，则空出两个房间．求房间的个数和学生的人数．
【答案】解：设房间数是间，由题意得：
，
解得：=30；
8+12=8×30+12=252（人）；
答：房间的个数是30个．学生的人数是252人．
【解析】设房间数是间，按照每室住8人，还少12个床位，那总人数就是8+12；按照每室住9人，空出两个房间，那么总人数可以表示为：（-2）×9；由总人数相等列出方程求出房间数，进而求出总人数．
四、课堂运用
【基础】
1.
甲乙两站相距189千米，一列快车和一列慢车同时分别从甲、乙两站相向而行，0.9小时后相遇．慢车每小时行90千米，快车每小时行多少千米？（用方程解）
【答案】解：设快车每小时行千米，
解得：
答：快车每小时行120千米．
【解析】此题考查了单项式，此题较简单，解题的关键是注意单独的一个数字也是单项式．
2.
A，B两地相距480千米，一列慢车从A地出发，每小时行60千米，一列快车从B地出发，每小时行65千米．
（1）两车同时开出，相向而行，x小时相遇，则由条件列出的方程为__________；
（2）两车同时开出，背向而行，x小时后，两车相距620千米，由此条件列出的方程是_______________；
（3）慢车先开出1小时，相向而行．快车开出x小时两车相遇，则由此条件列出的方程是_______________；
（4）若两车同时开出，同向而行，快车先在慢车后面，x小时之后快车追上慢车，则由此条件列出的方程是_______________；
（5）若两车同时开出，慢车在快车后面，同向而行，x小时之后快车与慢车相距640千米，则由此条件列出的方程是______________．
【答案】解：（1）由题意得：；
（2）由题意得：；
（3）由题意得：；
（4）由题意得：；
（5）由题意得：；
故答案为：；；；；．
【解析】（1）根据题意可得等量关系：慢车小时的路程+快车小时的路程=480千米；
（2）根据题意可得等量关系：慢车小时的路程+快车小时的路程=620千米-480千米；
（3）根据题意可得等量关系：慢车（+1）小时的路程+快车小时的路程=480千米；
（4）根据题意可得等量关系：快车小时的路程=慢车小时的路程+480千米；
（5）根据题意可得等量关系：快车小时的路程-慢车小时的路程=640千米-480千米；
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
3.
甲、乙两地的路程为180千米，一列快车从乙站开出，每小时行72千米；一列慢车从甲站开出．已知快车速度是慢车速度的1.5倍．
（1）若两列火车同时开出，相向而行，经过多少小时两车相遇？
（2）两人同时相向而行，经过多少小时两人相距60千米？
【答案】解：（1）设经过小时两车相遇．
由题意得：，
解得：．
答：1.5小时后，两车相遇；
（2）设y小时后两人相距60千米，
①，
解得：；
②，
解得：．
答：1小时或2小时后两人相距60千米．
【解析】（1）等量关系为：甲乙速度之和×时间=180，把相关数值代入即可求解；
（2）当还没有相遇时，两人相距60千米，等量关系为：甲乙速度之和×时间=180-60；当相遇后，两人相距60千米，等量关系为：甲乙速度之和×时间=180+60，把相关数值代入即可求解．
4.
一艘轮船航行在A、B两个码头之间．已知水流的速度是3千米/时，轮船顺水航行需用5小时，逆水航行需要用7小时．求A、B两码头间距离．
【答案】解：设A、B两码头之间的距离是千米，根据题意得：
解得．
答：A、B两码头间距离是105千米．
【解析】根据船在静水中的速度来得到等量关系为：航程÷顺水时间-水流速度=航程÷逆水时间+水流速度，把相关数值代入即可求出答案．此题考查一元一次方程的应用，求出船在静水中的速度的等量关系是解决本题的关键．
5.
小明、小杰两人在400米的环形跑道上练习跑步，小明每分钟跑300米，小杰每分钟跑220米．小明、小杰两人同时同向出发，起跑时，小杰在小明前面100米处．
（1）出发几分钟后，小明、小杰第一次相遇？
（2）出发几分钟后，小明、小杰第二次相遇？
（3）出发几分钟后，小明、小杰的路程第三次相差20米？
【答案】解：（1）设小明、小杰出发分钟后，小明、小杰第一次相遇，由题意，得
，
解得：．
答：出发1.25分钟后，小明、小杰第一次相遇；
（2）设小明、小杰出发y分钟后，小明、小杰第二次相遇，由题意，得
，
解得：．
答：出发6.25分钟后，小明、小杰第二次相遇；
（3）设小明、小杰出发m分钟后，小明、小杰第三次相距20米，由题意，得
，
解得：．
答：小明、小杰出发6分钟后，小明、小杰第三次相距20米．
【解析】本题考查了列一元一次方程解决实际问题的运用，路程=速度×时间的运用，在解答中运用环形跑道问题第一次相遇快者与慢者之间的路程关系是解答实际问题的关键
6.
一项工程，甲单独做需要8天完成，乙单独做12天完成，丙单独做要24天完成，现在甲、乙合做3天后，甲因有事离去，由乙、丙合做，问乙、丙还要几天才能完成这项工程？
【答案】解：设乙、丙还要天才能完成这项工程，由题意，得
解得：．
答：乙、丙还要3天才能完成这项工程．
【解析】设乙、丙还要x天才能完成这项工程，由甲、乙、丙的工作量之和等于总工作量建立方程求出其解即可．
7.
一批零件按计划生产需15天完成，实行承包后，调动了工人的生产积极性，每天可多生产30个零件，因此提前3天完成任务，求原计划每天生产多少个零件？若设原计划每天生产个零件，可列方程为_____________________
【答案】解：设原计划每天生产个零件，则实际每天生产个，根据题意得：
．
故答案为．
【解析】设原计划每天生产个零件，则实际每天生产个，根据提前3天完成任务，实际上由12天完成任务，列出方程即可．
8.
甲乙两个车间原来人数相等，因工作需要，从甲车间调18人到乙车间，这时甲车间的人数是乙车间的．乙车间原来有多少人？
【答案】解：设乙车间现在有人，可得方程：
解得：=30
答：乙车间原有30人．
【解析】本题可列方程解答，设乙车间有人，由于两车间原来人数相等，所以甲车间也有人，则从甲车间调18人到乙车间，此时乙车间有+18人，甲车间此时有-18人，又时甲车间的人数是乙车间的，由此可得方程：
9.
（2013?南雄市）机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？
【答案】解：设生产大齿轮的人数为人，则生产小齿轮的人数为(85-)人，
根据题意得：
解得：=25．
85-=85-25=60（人），
答：生产大齿轮的人数为25人，则生产小齿轮的人数为60人．
【解析】设生产大齿轮的人数为，则生产小齿轮的人数为85-，再由两个大齿轮与三个小齿轮配成一套列出比例式，求出的值即可．
【巩固】
1.
A，B两站间的路程为448千米，一列慢车从A站出发，每小时行驶60千米，一列快车从B站出发，每小时行驶80千米，问：
（1）两车同时开出，相向而行，出发后多少小时相遇？
（2）两车同时开出，同向而行，如果慢车在前，出发后多少小时快车追上慢车？
【答案】（1）解：设两车同时开出，相向而行，出发后小时相遇．
根据题意得，
解得：
答：两车同时开出，相向而行，出发后3.2小时相遇．
（2）解：设两车同时开出，同向而行，如果慢车在前，
出发后小时快车追上慢车．
根据题意得，
解得：
答：两车同时开出，同向而行，如果慢车在前，出发后22.4小时快车追上慢车．
【解析】（1）设小时两车相遇，则慢车走的距离为：60，快车走的距离为：80，两车走的总距离为448千米，由此列出方程，求出的值．
（2）设小时后快车追上慢车，则慢车走的距离为：60，快车走的距离为：80，快车追上慢车，则快车比慢车多走了448千米，由此列出方程，求解即可得出的值．本题解题关键是根据题意列出方程，先设所需小时，然后根据两车所走路程的关系列出方程，求解方程即可得出的值．
2.
一艘轮船航行在A、B两地之间，已知该船在静水中每小时航行12千米，轮船顺水航行需用6小时，逆水航行需用10小时，则水流速度和A、B两地间的距离分别为（　　）
A．2千米/小时，50千米
B．3千米/小时，30千米
C．3千米/小时，90千米
D．5千米/小时，100千米
【答案】解：设水流的速度为千米/小时，则顺水时的速度为12+，逆水时的速度为12-，
根据题意得：，
解得：．即水流的速度为3千米/小时，
从而可得A、B之间的距离为：（12+3）×6=90千米．
综上可得：水流速度为3千米/小时，A、B两地间的距离为90千米．
故选C．
【解析】设水流的速度为x，由顺水速度=静水速度+水流的速度，逆水速度=静水速度-水流的速度，表示出顺水速度和逆水速度，再根据码头之间距离不变列出方程．
3.
两名运动员在湖边环形跑道上练习长跑，甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米，两个同时同地同向出发，经过45分钟甲追上乙．如果两人同时同地反向出发，经过多少分钟两人相遇．
【答案】解：250×45-200×45=50×45=2250（米）；
设两人同时同地反向出发，经过分钟两人相遇，根据题意可得方程：
，
解得：
答：两人同时同地反向出发，经过5分钟两人相遇．
【解析】此题考查了环形跑道中，同时同向同地而行，即追及问题时：二人行驶路程之差是环形跑道1圈的长度；同时反向同地而行，即相遇问题时：二人行驶路程之和=环形跑道1圈的长度．灵活利用这两个等量关系即可解决此类问题．
4.
一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成．
（1）甲的工作效率是_________；乙的工作效率是__________．
（2）两人合作4天后，剩下的部分由乙单独做，则乙还需几天完成？
【答案】解：（1）设工作量为1，甲、乙的工作效率分别为、故答案为：、
（2）设乙还需天完成，由题意得
解得．
答：乙还需5天完成．
【解析】（1）设工作量为1，根据甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成，即可求出甲乙的效率；（2）等量关系为：甲的工作量+乙的工作量=1，列出方程，再求解即可．
5.
一车间原有80人，二车间原有372人，现因工作需要，要从三车间调4人到一车间，则还需从二车间调多少人去一车间，才能使二车间的人数是一车间的两倍？（列方程解应用题）
【答案】解：设需从二车间调人去一车间，依题意得：
2×（80+4+）=372-，
解得：=68．
答：从二车间调68人去一车间，才能使二车间的人数是一车间的两倍．
【解析】设需从二车间调人去一车间，利用调动后二车间的人数=一车间的二倍列方程求解即可．
6.
整理一批图书，由一个人做要40小时完成．现计划由一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？
【答案】解：设应先安排人工作，
根据题意得：
解可得：
答：应先安排2人工作．
【解析】由一个人做要40小时完成，即一个人一小时能完成全部工作的，就是已知工作的速度．本题中存在的相等关系是：这部分人4小时的工作+增加2人后8小时的工作=全部工作．设全部工作是1，这部分共有人，就可以列出方程．
7.
某工厂有77个工人，每个工人平均每天可以加工甲种零件5个，或乙种零件4个，或丙种零件3个，已知3个甲种零件、1个乙种零件和9个丙种零件恰好配成一套．问应安排生产甲、乙、丙三种零件各多少人才能使生产的三种零件恰好配套？
【答案】解：设每天加工乙种部件个，则加工甲种部件3个，丙种部件9个；从而可知，加工甲种部件应安排人，工乙种部件应安排人，加工丙种部件应安排人，由此可得方程：
解得：=20
甲：=12（人）
乙：20×=5（人）
丙：20×3=60（人）．
答：应分别安排生产甲、乙、丙三种零件的人数分别为12人、5人、60人．
【解析】完成本题要认真分析题意，理清数量之间的关系，然后通过设未知数列出方程解答．
【拔高】
1.
（2011?嘉兴）目前“自驾游”已成为人们出游的重要方式．“五一”节，林老师驾轿车从舟山出发，上高速公路途经舟山跨海大桥和杭州湾跨海大桥到嘉兴下高速，其间用了4.5小时；返回时平均速度提高了10千米/小时，比去时少用了半小时回到舟山．
（1）求舟山与嘉兴两地间的高速公路路程；
（2）两座跨海大桥的长度及过桥费见下表：
大桥名称
舟山跨海大桥
杭州湾跨海大桥
大桥长度
48千米
36千米
过桥费
100元
80元
我省交通部门规定：轿车的高速公路通行费y（元）的计算方法为：
，其中
（元/千米）为高速公路里程费，
（千米）为高速公路里程（不包括跨海大桥长），b（元）为跨海大桥过桥费．若林老师从舟山到嘉兴所花的高速公路通行费为295.4元，求轿车的高速公路里程费
．
【答案】解：（1）设舟山与嘉兴两地间的高速公路路程为s千米，
由题意得，
4.5s-4s=180，
0.5s=180，
解得s=360，
所以舟山与嘉兴两地间的高速公路路程为：360千米；
（2）轿车的高速公路通行费y（元）的计算方法为：，
根据表格和林老师的通行费可知，
y=295.4，=360-48-36=276，b=100+80=180，将它们代入中得，
295.4=276+180+5，
解得=0.4，
所以轿车的高速公路里程费为：0.4元/千米．
【解析】（1）根据往返的时间、速度和路程可得到一个一元一次方程，解此方程可得舟山与嘉兴两地间的高速公路路程；（2）根据表格和林老师从舟山到嘉兴所花的高速公路通行费可以将解析式转换成一个含有未知数的一元一次方程，解此方程可得轿车的高速公路里程费．
2.
小明在360米长的环形跑道上跑了一圈，前一半时间里，他每秒跑5米，后一半时间里每秒跑4米．他跑后半圏用了多少秒．
【答案】解：设前一半时间是秒；
根据题意可得：
5+4=360，
解得：
=40；
则他前40秒跑了40×5=200（米），后40秒跑了40×4=160（米）；
后半圈的长度是：360÷2=180（米）；
那么他先以每秒跑5米的速度跑了180-160=20（米）；所用时间是：20÷5=4（秒）；
剩下160米40秒跑完；
那么他后半圈路程用时：4+40=44（秒）．
答：他跑后半圏用了44秒．
【解析】根据题意，设前一半时间是x秒，也是后一半的时间，然后再求出各自跑的路程，再看看后半圈路程分别是以哪个速度跑的，然后再进一步解答即可．
课程小结
1.
用一元一次方程解实际问题的步骤
2.
解决行程问题的方法和技巧
3.
解决工程问题的方法和技巧
4.
解决分配问题的方法和技巧
课后作业
【基础】
1.
一轮船航行于两个码头之间，逆水需10小时，顺水需6小时．已知水流速度为3千米/时，求该船在静水中的速度和两码头间的距离．
【答案】解：设船在静水中的速度为千米/时，则顺水速度为千米/时，逆水速度为千米/时，由题意，得
，
解得：，
两码头间的距离为：6×（12+3）=90千米．
答：该船在静水中的速度是12千米/时，两码头间的距离为90千米．
【解析】设船在静水中的速度为x千米/时，则顺水速度为（x+3）千米/时，逆水速度为（x-3）千米/时，根据往返路程相等建立等量关系求出其解就可以求出结论．
2.
一批零件按计划生产需15天完成，实行承包后，调动了工人的生产积极性，每天可多生产30个零件，因此提前3天完成任务，求原计划每天生产多少个零件？
解法一：设原计划每天生产个零件，根据题意，可得方程：_____________．
解法二：设实际每天生产个零件，根据题意，可得方程：_______________．
不论哪种方法，都可求得原计划每天生产零件____________个．
【答案】解：（1）设原计划每天生产个零件，则实际每天生产个，
由题意得，；
解得：，即原计划生产120个．
（2）设实际每天生产个零件，则，
解得：．
不论哪种方法，都可求得原计划每天生产零件120个．
故答案为：
【解析】解法一：设原计划每天生产个零件，则实际每天生产个，再由12天完成任务可得出方程．
解法二：设实际每天生产个零件，则根据原计划生产需要15天完成可得出方程．
3.
甲、乙两车间各有工人若干，如果从乙车间调100人去甲车间，那么甲车间的人数是乙车间剩余人数的6倍；如果从甲车间调100人去乙车间，则两车间的人数相等．求原来甲、乙车间各有多少人？
【答案】解：设乙车间人，则甲车间（+200）人，由题意得，
+200+100=6（-100），
解得=180．
答：乙车间180人，则甲车间380人．
【解析】首先设乙车间人，根据“从甲车间调100人去乙车间，则两车间的人数相等”可得甲车间（+200）人，再根据“从乙车间调100人去甲车间，那么甲车间的人数是乙车间剩余人数的6倍”可得等量关系甲车间人数+100=（乙车间人数-100）×6，根据等量关系列出方程即可．
4.
纺织厂第一车间工人人数是第二车间工人人数的3倍，如果从第一车间调20名
工人去第二车间，则两个车间人数相等，那么两个车间原来各有工人多少名？
【答案】解：设原第二车间原有工人人，则第一车间原有工人为3人，
根据题意得：，
解得：；
．
答：第一车间原有60人，第二车间原有20人．
【解析】根据题意知本题的等量关系：第一车间的人数-20=第二车间的人数+20，据此等量关系可列方程解答．
5.
某车间40名工人生产一种螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓18个或螺母24个，一个螺栓要配两个螺母，应该分配多少名工人生产螺栓，多少名生产螺母，才能使每天的产品刚好配套？
【答案】解：设可设分配名工人生产螺栓，（40-）名工人生产螺母．
由题意得：2×18=24（40-）
解得：=16，
∴40-=24．
答：应该分配16名工人生产螺栓，24名生产螺母，才能使每天的产品刚好配套．
【解析】此题可设分配名工人生产螺栓，（40-）名工人生产螺母，根据等量关系“2×每天生产螺栓的个数=每天生产螺母的个数”列出方程求解即可．
6.
某班举办了一次集邮展览，展出的邮票若平均每人3张则多24张，若平均每人4张则少26张，这个班级有多少名学生？一共展出了多少张邮票？
【答案】解：设这个班级有名学生，那么邮票共有（3+24）或（4-26），
则3+24=4-26，
解得=50，
∴3+24=3×50+24=174．
答：这个班级有50名学生，一共展出了174张邮票．
【解析】此类题目贴近生活，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．.
【巩固】
1.
两码头相距s千米，一船顺水航行需小时，逆水航行需b小时，那么水流速度为（　　）A．
B．
C．
D．
【答案】解：∵两码头相距s千米，一船顺水航行需小时，逆水航行需b小时，
∴这艘船顺水航行的速度为，逆水航行的速度为
∴水流的速度=（顺水航行的速度-逆水航行的速度）=（-）=．
故选A．
【解析】先根据速度=路程÷时间，可知这艘船顺水航行的速度为，逆水航行的速度为，再根据顺水航行的速度=船在静水中航行的速度+水流的速度，逆水航行的速度=船在静水中航行的速度-水流的速度，可知水流的速度=（顺水航行的速度-逆水航行的速度），从而得出结果．
2.
某服装厂生产一批西装，每2米宽面布可以裁上衣3件或裁裤子4条，现有宽面布245米，为了使上衣和裤子配套，裁上衣和裤子应该各用宽面布多少米？
【答案】解：设裁上衣用米布，则：
解得：=140，
245-=105．
答：裁上衣用宽面布140米，裁裤子用宽面布105米．
【解析】设裁上衣用米布，利用每2米宽面布可以裁上衣3件或裁裤子4条，可得出每件上衣和裤子所用的布料数量，进而得出等式求出即可．
3.
学校春游，如果每辆汽车坐45人，则有28人没有上车；如果每辆坐50人，则空出一辆汽车，并且有一辆车还可以坐12人，问共有多少汽车，多少学生？
【答案】解：设有辆汽车，由题意得：
45+28=50（-1）-12，
解得：=18，
45×18+28=838（人），
答：共有18辆汽车，838个学生．
【解析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，根据关键语句表示出学生人数，进而得到方程．
4.
天平的两个盘A、B内分别盛有51克、45克盐，应该从A盘内取出________克盐放到B盘内，才能使天平平衡．
【答案】解：设应该从盘A内拿出盐放到盘B内，才能使两者所盛盐的质量相等，由题意得：
51-=45+，
解得：=3，
故答案是：3．
【解析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是表示出调后两者所盛盐的质量，再根据调后的质量相等列出方程即可．
5.
甲、乙两个工程队，甲队32人，乙队28人，要使甲队人数是乙队人数的2倍，那么需要从乙队抽调_______人到甲队．
【答案】解：设要抽调的人数是人，根据题意得：
32+=2（28-）
解得：=8
故答案为：8．
【解析】本题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，表示出调后甲队和乙队各有多少人，再抓住关键语句，列出方程．
6.
某管道由甲、乙两工程队单独施工分别需30天、20天．
（1）如果两队从两端同时相向施工，需要多少天铺好？
（2）又知甲队单独施工每天需付200元的施工费，乙队单独施工每天需付280元的施工费，那么是由甲队单独施工，还是由乙队单独施工，还是由两队同时施工，请你按照少花钱多办事的原则，设计一个方案，并说明理由．
【答案】解：（1）若这项工程的工程总量为1，则甲乙的工作效率为：、．
设两队从两端同时相向施工，需要天铺好，
由题意得：=12（天），
答：两队从两端同时相向施工，需要12天铺好．
（2）设完成这项工程所需总费用为y元，由题意得：
方案一：甲单独施工，所需费用y=200×30=6000元；
方案二：乙单独施工，所需费用y=20×280=5600元；
方案三：甲、乙同时施工，所需费用y=12×（200+280）=5760元，
即：6000元＞5760元＞5600元，方案二所需总费用最少，
所以，按照少花钱多办事的原则，应选择方案二：整项工程由乙单独施工．
【解析】（1）可设这项工程的工程总量为1，则甲乙的工作效率为：、．则甲乙合作的效率为：，依施工所需天数=工程总量÷工作的效率为等量关系，可求出两队同时施工所需的天数；（2）依施工所需费用=每天的是施工费×施工所需天数为等量关系列出方程，求出施工费用最少的那个方案．
7.
（2012?福州）某次大会安排代表住宿，若每间2人，则有12人没有床位；若每间3人，则多出两个空床位，问住宿共有几间？代表共有几人？（列简易方程求解）
【答案】解：设共有房间个，根据题意得：
，
解得：
=14，
2×14+12=40（人），
答：住宿共有14间，代表共有40人．
【解析】设共有房间个，根据“若每间2人，则有12人没有床位；”可得人数为：2+12；根据“若每间3人，则多出两个空床位，”可得人数为：3-2；又根据总人数不变，可列方程为：；可以求出床位数，进而求出总人数就比较简单．
【拔高】
1.某厂生产一批西装，每2米布可以裁上衣3件，或裁裤子4条，现有花呢240米，为了使上衣和裤子配套，裁上衣和裤子应该各用花呢多少米？
【答案】解：设做衣服件，上衣就是件，裤子是条．
那么做上衣用布米，做裤子用布米；
根据题意得：
解得：
≈205.71，上衣和裤子为整数，衣服必须是3的倍数，裤子是4的倍数，那么取=204．
也就是说，可以做204件上衣，204条裤子．
204件上衣用布204÷3×2=136（米）；
204条裤子用布204÷4×2=102（米）；
还剩：240-136-102=2（米）．
做到这里有两种可能：
第一种，剩下的2米不能分开用，就不再做上衣和裤子了．那么答案是：136米做上衣，102米做裤子，可以做204套．
第二种，剩下的2米布，1米用来做1件上衣，1米用来做2条裤子（其中1条不要了，无法配对）；
那么答案是：137米做上衣，103米做裤子，可以做205套．
【解析】解决本题根据用同样的布做的上衣和裤子之间的关系，求出可以做的套数，再根据做的套数求出需要的用布量，注意对剩下的2米布进行讨论．
错题总结
错题题号
错题比例
错题原因
错题知识点小结
课堂运用
课后作业
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