北师大版九年级数学上册第六章反比例函数重点题型归纳学案（Word版，无答案）

第六章
反比例函数
【学习目标】
1.会判断一个函数是否是反比例函数.(重点)
2.会求反比例函数的表达式．（难点）
3.掌握反比例函数图象的特征.（重点）
4.会利用反比例函数图象解决相关问题.（难点）
【知识点内容】
知识点一：反比例函数的概念：一般地，如果两个变量y与x的关系可以表示成，的形式，那么称
y
是
x
的反比例函数.
形如、、的函数称为y关于x的反比例函数。
例题1：在下列关系式中，x均为自变量，哪些式反比例函数？每个反比例函数相应的k值是多少？
1．已知是反比例函数，则m＝　
　．
2．已知函数是反比例函数，则k＝　
　．
②确定反比例函数解析式：用待定系数法求反比例函数
例题2：已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（﹣3，﹣6）．
（1）求这个函数的表达式；
（2）点B（4，），C（2，﹣5）是否在这个函数的图象上？
3．某反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数图象也经过点（　　）
A．（2，﹣3）
B．（﹣3，﹣3）
C．（2，3）
D．（﹣4，6）
4．若反比例函数y＝的图象经过点（﹣1，2），则这个函数的图象一定经过点（　　）
A．（﹣2，﹣1）
B．（﹣，2）
C．（2，﹣1）
D．（，2）
知识点二：反比例函数图像与性质
反比例函数
k的符号
k＞0
k＜0
图象
性质
①
②函数图象经过一、三象限，在每个现象内，y随x的值增大而减少
①
②函数图象经过二、四象限，在每个现象内，y随x的值增大而增大
反比例函数图象是轴对称图形，也是中心对称图形，关于原点对称
5．关于反比例函数y＝图象，下列说法正确的是（　　）
A．点（﹣2，1）在它的图象上
B．它的图象经过原点
C．它的图象在第一、三象限
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
6．已知反比例函数y＝﹣，下列结论：①图象必经过（﹣2，4）；②图象在二，四象限内；③y随x的增大而增大；④当x＞﹣1时，则y＞8．其中错误的结论有（　　）个
A．3
B．2
C．1
D．0
7．已知反比例函数，下列说法中正确的是（　　）
A．该函数的图象分布在第一、三象限
B．点（﹣4，﹣3）在函数图象上
C．y随x的增大而增大
D．若点（﹣2，y1）和（﹣1，y2）在该函数图象上，则y1＜y2
②利用反比例函数图像解决比大小问题
例题3：已知点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（3，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则（　　）
A．y1＜y2＜y3
B．y3＜y2＜y1
C．y3＜y1＜y2
D．y2＜y1＜y3
8．反比例函数y＝图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），其中x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3
B．y2＜y1＜y3
C．y3＜y1＜y2
D．y3＜y2＜y1
9．函数（a为常数）的图象上有三点（﹣4，y1），（﹣1，y2），（2，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y3＜y1＜y2
B．y3＜y2＜y1
C．y1＜y2＜y3
D．y2＜y3＜y1
10．若点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都是反比例函数y＝﹣图象上的点，并且y1＜0＜y2＜y3，则下列各式中正确的是（　　）
A．x1＜x2＜x3
B．x1＜x3＜x2
C．x2＜x1＜x3
D．x2＜x3＜x1
③通过图像性质求未知数取值范围
例题4．反比例函数y＝的图象有一支位于第一象限，则常数a的取值范围是　
　．
11．在反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（　　）
A．k＞1
B．k＞0
C．k≥1
D．k＜1
12．已知A（﹣1，y1），B（2，y2）两点在双曲线y＝上，且
y1＞y2，则m的取值范围是（　　）
A．m＜0
B．m＞0
C．m＞﹣
D．m＜﹣
13．已知反比例函数的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则m的取值范围是　
　．
④通过图像解决一次函数与反比例函数大小问题（找交点分成四部分、谁大谁在上）
例题5．如图，一次函数y1＝k1x+b（k1≠0）的图象与反比例函数y2＝（k2≠0）的图象交于A，B两点，观察图象，当y1＞y2时，x的取值范围是　
　．
(例题5)
（14题图）
14．如图，已知一次函数y＝mx+n与反比例函数的图象交于A（3，1）、B（﹣1，﹣3）两点．观察图象，可知不等式的解集是　
　．
15．如图，一次函数y1＝x﹣1与反比例函数的图象交于点A（2，1）、B（﹣1，﹣2），则使y1＞y2的x的取值范围是　
　．
（题15图）（题16图）
16．如图，一次函数y1＝ax+b（a≠0）与反比例函数的图象交于A（1，4）、B（4，1）两点，若使y1＞y2，则x的取值范围是　
　．
变式17．如图，正比例函数y1＝k1x与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点，根据图象可直接写出当y1＞y2时，x的取值范围是　
　．
（题17图）
（题18图）
变式18．如图，一次函数的图象y＝﹣x+b与反比例函数的图象y＝交于A（2，﹣4），B（m，2）两点．当x满足条件　
　时，一次函数的值大于反比例函数值．
⑤一次函数与反比例函数的大致图像
（理解好一次函数中k、b的意义、反比例函数中k的意义）
一次函数
反比例函数
例题6．在同一个直角坐标系中，函数y＝kx和的图象的大致位置是（　　）
A．
B．
C．
D．
19．在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数y＝和y＝kx+3的图象大致是（　　）
A．
B．
C．
D．
20．若ab＜0，则正比例函数y＝ax与反比例函数y＝在同一坐标系中的大致图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
21．已知k1＜0＜k2，则函数y＝k1x﹣1和y＝的图象大致是（　　）
A．
B．
C．
D．
22．若ab＞0，则一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝在同一坐标系中的大致图象是（　　）
A．
B．
C．
D．
23．已知关于x的函数y＝k（x+1）和y＝﹣（k≠0），它们在同一坐标系中的大致图象是（　　）
A．
B．
C．
D．
24．在同一直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y＝（k≠0）的图象大致是（　　）
A．
B．
C．
D．
知识点三：反比例函数解析式中k的几何意义
过双曲线()
上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.
过双曲线()
上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三
角形的面积为.
要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.
例题7．如图，点A是反比例函数y＝图象上的一个动点，过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足点分别为B、C，矩形ABOC的面积为4，则k＝　
　．
（例题7）（题25图）（题26图）
25．如图，点A是反比例函数y＝图象上的一点，AB垂直x轴于点B，若S△ABO＝2.5，则k的值为（　　）
A．2.5
B．5
C．﹣5
D．﹣2.5
26．如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD，四边形ABCD的面积为3，则这个反比例函数的解析式为　
　．
27．已知反比例函数在第一象限的图象如图所示，点A在其图象上，点B为x轴正半轴上一点，连接AO、AB，且AO＝AB，则S△AOB＝　
　．
（题27图）（题28图）
28．如图，直线x＝2与反比例函数和的图象分别交于A、B两点，若点P是y轴上任意一点，则△PAB的面积是　
　．
29．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为　
　．
（题29图）（题30图）
30．如图，点A是反比例函数y＝的图象上一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，线段AB交反比例函数y＝的图象于点C，则△OAC的面积为　
　．
31．双曲线y1、y2在第一象限的图象如图，，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C，若S△AOB＝1，则y2的解析式是　
　．
四：解答题
①相加最小型
1．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（1，4），B（4，n）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求一次函数的解析式；
（3）点P是x轴上的一动点，试确定点P并求出它的坐标，使PA+PB最小．
2．如图，一次函数y1＝k1x+b的图象与反比例函数y2＝（x＞0）的图象交于A、B两点，与y轴交于C点，已知A点坐标为（2，1），C点坐标为（0，3）
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）在x轴上找一点P，使得△PAB的周长最小，请求出点P的坐标．
②求围成面积
3．如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A（1，4）、点B（﹣4，n）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△OAB的面积；
（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．
4．如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；
（3）直接写出一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围．
③已知面积反推点坐标
5．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于点A（1，6），B（3，n）两点．与x轴交于点
C．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若点M在x轴上，且△AMC的面积为6，求点M的坐标．
（3）结合图形，直接写出kx+b﹣＞0时x的取值范围．
（4）在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小，直接写出满足条件的点P的坐标是　
　．
6．如图，矩形ABOD的顶点A是函数y＝与函数y＝﹣x﹣（k+1）在第二象限的交点，AB⊥x轴于B，AD⊥y轴于D，且矩形ABOD的面积为3．
（1）求两函数的解析式．
（2）求两函数的交点A、C的坐标．
（3）若点P是y轴上一动点，且S△APC＝5，求点P的坐标．
7．如图，一次函数y＝x+4的图象与反比例函数y＝（k为常数且k≠0）的图象交于A（﹣1，a），B两点，与x轴交于点C．
（1）求a，k的值及点B的坐标；
（2）若点P在x轴上，且S△ACP＝S△BOC，直接写出点P的坐标．
8．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．
（1）根据图象，直接写出满足k1x+b＞的x的取值范围；
（2）求这两个函数的表达式；
（3）点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：2，求点P的坐标．
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