苏科版七年级上册 4.3 用一元一次方程解决问题教案

（一）一元一次方程
一、等式的性质
1、等式的性质：
（1）等式的两边加上（或减去）同一个数(或式子)，结果仍相等。
如果a=b,那么a±c=b±c
（2）等式两边同乘同一个数，或除以同一个不为０的数，结果仍相等。
如果a=b,那么ac=bc
;
如果a=b且c不等于0，那么a÷c=b÷c
掌握关键:
<1>
“两
边”
“同一个数(或式子)
”
<2>
“除以同一个不为0的数”
补充性质：（1）对称性：等式的左右两边交换位置，所得的结果仍是等式，即由a=b可以推得b=a.
（2）传递性：如果a=b,b=c,那么a=c.
利用等式的性质解方程，实质就是将方程转化为x=a（a是常数）的形式
例题1、运用等式性质进行的变形，不正确的是（　　）
A、如果a=b，那么a-c=b-c
B、如果a=b，那么a+c=b+c
C、如果a=b，那么
D、如果a=b，那么ac=bc
二、从算式到方程
1、一元一次方程
方程：方程是含有未知数的等式。列方程式，要先设字母表示未知数（通常用x、y、z等字母表示未知数），，然后根据题目中的相等关系写出等式。
注：①、方程有两个条件，一是含有未知数，二是含有“=”，二者缺一不可。
②、方程一定是等式，但等式不一定是方程，如6+2=8,又如a+b=b+a,a+2a=3a，它们是表示运算律的恒等式，其中的字母不是未知数而是任意数，故他们也不是方程。
性质：只含有一个未知数（元），未知数的次数是1，等号两边都是整式（包含单项式与多项式）的方程。
注：
Ⅰ、一元一次方程中分母不含未知数，即方程是由整式组成的
Ⅱ、一元一次方程中只含有一个未知数，
Ⅲ、一元一次方程化简以后未知数的次数为1，是指含有未知数的项的最高次数为1
Ⅳ、注意判别一元一次方程与恒等式（式中的字母取任意值等式都恒成立）。
例题:
1．下列方程：①5=6一7y；②；③；④；⑤2a－5=7．其中，属于一元一次方程的有(
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．若关于的方程是一元一次方程，则=
．w
三、解题方法：
步骤
具体做法
依据
注意事项
1.去分母
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数
等式基本性质2
防止漏乘（尤其整数项），注意添括号；
2.去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号
去括号法则、分配律
括号前面是“+”号，括号可以直
去，括号前面是“-”号，括号里的每一项都要变号
3.移项
把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(移项一定要变号)
等式基本性质1
移项要变号，不移不变号；
4.合并同类项
将方程化简成
合并同类项法则
计算要仔细
5.化系数为1
方程两边同时除以未知数的系数，得到方程
的解
等式基本性质2
计算要仔细，分
分母勿颠倒
一：移项
①定义：把等式一边的含有未知数的某项移到另一边，叫做移项。
②通常常数项要移到方程的右边，未知项要移到方程的左边。
③移项时要变号：移正变负，移负变正
。
例题：1．（3分）下列四组变形中，属于移项变形的是（　　）
A．由2x﹣1＝0，得x＝
B．由5x+6＝0，得5x＝﹣6
C．由＝2，得x＝6
D．由5x＝2，得x＝
二：系数化为1
①一元一次方程的最简形式y=ax+b
②定义：当把方程化为最简形式ax=b后，方程两边都除以未知数的系数a
，得到方程的解x=a/b的过程叫做系数化为1.
③系数化为1时，未知数的系数做分母。
例题：1．关于x的方程﹣ax=b（a≠0）的解是（
）
A.
x=
B.
x=﹣
C.
x=﹣
D.
x=
三：去分母
去分母时要注意三点：
①确定各分母的最小公倍数；
②不含分母的项也要乘以最小公倍数；
③去掉分母后对分子加括号。
例题：1.在解方程时，两边都乘6，去分母后，正确的是(　　)
A.
B.
C.
D.
2.解方程
（1）
（2）－=1
李明同学在解方程并正确地解方程去分母时，方程右边的－1没有乘3，因而求
得方程的解为x=2，试求a的值，并正确的解方程。
分母由小数化为整数
①上下同时乘上相同的数，使得分母为整数
②化简
例题：1、将方程的分母化为整数，方程为（
）
下列方程的解答过程是否有错误？若有错误，简要说明产生错误的原因，并改正.
解方程：
解：原方程可化为：
去分母，得5（10x+30）-2（4x-10）=-250
去括号、移项、合并同类项，得42x=-420
∴x=10
一、普通题型：
题型一：问的值是否是方程的解
方法：将的值代入方程的左、右两边，看等式是否成立。
例题：检验和是不是方程的解
题型二：给出的方程含参数，已知解，求参数
方法：将解代入原方程，从而得到关于参数的方程，解方程求参数
例题：1．是方程的解，则的值是（
）
A．4
　　　　　
B．－2
　　　　C．－4
　　　　
D．2
2.(1)若关于的方程的解为2，则=
;
(2)若关于的方程和的解的和为4,求的值.
题型三：方程中含参数，但在解方程过程中将式子中某一项看错了，从而得到错误的解，求参数的值
方法：将错误的解代入错误的方程中，等式仍然成立，从而得到关于参数的正确方程，解方程求参数
例题：小张在解关于x的方程时，误将看成得到的解为，请你求出原来方程的解。
题型四：给出的两个方程中，其中一个方程含参数，并且题目写出“方程有相同解”或者“这个方程的解同时也满足另一个方程”。要求参数的值或者含参数代数式的值
方法：求出其中一个不含参的方程的解，并将这个解代入到另一个方程中，从而得到关于参数的方程，解方程求参数即可
例题1.已知方程的解也是关于的方程的解，求、的值。
题型五：解方程的题中，方程含绝对值或者单纯解方程
方法：根据绝对值的代数意义：分情况讨论。
例题：1、解方程：|x－2|－3＝0
2、
5|x|-16＝3|x|-4
题型六：方程中含绝对值，探讨方程解的个数
方法：根据绝对值的代数意义去绝对值，再根据一元一次方程的步骤解方程。
例题：求的解的个数
2.若关于的方程的解满足方程，则
.
题型八：方程解的讨论
当方程中的系数是用字母表示时，这样的方程叫含字母系数的方程，含字母系数的一元一次方程总可以化为ax=b的形式，继续求解时，一般要对字母系数a、b进行讨论。
（1）当时，方程有唯一解；
（2）当时，方程无解；
（3）当时，方程有无数个解。
例2：已知关于x的方程无解，试求a的值。
已知关于x的方程kx=7－x有正整数解，则整数k的值为
．
4、问：当a、b满足什么条件时，方程；(1)有唯一解；（2）有无数解；
（3）无解
二、实际应用与一元一次方程
列一元一次方程解应用题的一般步骤：
（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系；
（2）设未知数，一般求什么就设什么为x，有时也可间接设未知数；
（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程；
（4）解方程
（5）检验，看方程的解是否符合题意；
（6）作答。
题型一：和、差、倍、分问题
例题：小明暑期读了一本名著，这本名著一共有950页，已知他读了的是没读过的三倍，问小明还有多少页书没读？
题型二：调配问题
例题：有两个工程队，甲工程队有32人，乙工程队有28人，如果是甲工程队的人数是工程队人数的2倍，需从乙工程队抽调多少人到甲工程队？
“某幼儿园给小朋友分苹果，若每个小朋友分3个则剩1个；若每个小朋友分4个则少2个，问有多少个小朋友？”若设共有x个小朋友，则列出的方程是（　　）
A．3x﹣1=4x+2
B．3x+1=4x﹣2
C．=
D．=
题型三：行程问题（四种
重点）
1.相遇问题
路程＝速度×时间
时间＝路程÷速度
速度＝路程÷时间
快行距＋慢行距＝原距
例题：甲、乙两人从相距500米的A、B两地分别出发，4小时后两人相遇，已知甲的速度是乙的速度的两倍，求甲、乙两人的速度
（9分）如图，A，B两地相距450千米，两地之间有一个加油站O，且AO=270千米，一辆轿车从A地出发，以每小时90千米的速度开往B地，一辆客车从B地出发，以每小时60千米的速度开往A地，两车同时出发，设出发时间为t小时．
（1）经过几小时两车相遇？
（2）当出发2小时时，轿车和客车分别距离加油站O多远？
（3）经过几小时，两车相距50千米？
2.追及问题
①行程中追及问题：快行距－慢行距＝原距
例题：1.甲分钟跑240米，乙每分钟跑200米，乙比甲先跑30分钟，问何时甲能追上乙？
2.弟弟和妈妈从家里出发一同去外婆家，他们走了1
h后，哥哥发现带给外婆的礼品忘在家里，便立刻带上礼品以每小时6
km的速度去追，如果弟弟和妈妈每小时行2
km，他们从家里到外婆家需要1
h
45
min，哥哥能在弟弟和妈妈到外婆家之前追上他们吗?
②时钟追及问题：整个钟面为360度，上面有12个大格，每个大格为30度；60个小格，每个小格为6度。
分针速度：每分钟走1小格，每分钟走6度
时针速度：每分钟走小格，每分钟走0.5度
例题：在6点和7点之间，什么时刻时钟的分针和时针重合？
3.环形跑道
例题：甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步，甲分钟跑240米，乙每分钟跑200米，二人同时同地同向出发，几分钟后二人相遇？若背向跑，几分钟后相遇？
4.航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度
逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度
水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2
例题：1.一艘船在两个码头之间航行，水流的速度是3千米/时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头之间的距离。
题型四：打折利润价格问题
利润=售价-成本
例题;1.一件商品标价121元，若九折出售，仍可获利10%，则这件商品的进价为
元.（常熟）
2.某品牌电脑原价为m元，先降价n元，又降价20%后售价为（
）
A．0.8（m＋n）元
B．0.8（m－n）元
C．0.2（m＋n）元
D．0.2（m－n）元
3.小丽在水果店用36元买了苹果和梨共6千克，已知苹果每千克10元，梨每千克4元.（苏州市区）
(1)小丽买了苹果和梨各多少千克?
(2)若苹果进价是每千克8元，梨每千克3元，问这次购买中水果店赚了多少钱?
题型五：工程问题
工作总量＝工作效率×工作时间
例题：一项工程，甲单独做要10天完成，乙单独做要15天完成，两人合做4天后，剩下的部分由乙单独做，还需要几天完成？
题型六：数字问题
例题：若一个两位数十位上数字与个位上数字之和为8，把这个两位数减去36后，得到的结果恰好是这个两个位数对调之后组成的数，求原来的两位数是多少？
题型七：年龄问题
例题：甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的两倍，那么乙现在的年龄是多少岁？
第七类：方案设计问题
例题1.某市实施居民用水阶梯价格制度，按年度用水量计算，将居民家庭全年用
水量划分为三个阶梯，水价按阶梯递增:
第一阶梯:年用水量不超过200吨，每吨水价为3元;
第二阶梯:年用水量超过200吨但不超过300吨的部分，每吨水价为3.
5元;
第三阶梯:年用水量超过300吨的部分，每吨水价为6元.
(1)小明家2018年用水180吨，这一年应缴纳水费
元;
(2)小亮家2018年缴纳水费810元，则小亮家这一年用水多少吨?
2.目前，我市城市居民用电收费方式有以下两种:
普通电价付费方式:全天0.
52元/度;
峰谷电价付费方式:峰时(早8:00~晚21:00)0.
65元/度;谷时(晚21:00~早8:00)0.
40元/度.
(1)小丽老师家10月份总用电量为280度.
①若其中峰时电量为80度，则小丽老师家按照哪种方式付电费比较合适?能省多少元?
②若小丽老师交费137元，那么，小丽老师家峰时电量为多少度?
(2)到11月份付费时，小丽老师发现11月份总用电量为320度，用峰谷电价付费方式比
普通电价付费方式省了18.
4元，那么，11月份小丽老师家峰时电量为多少度