阳新一中2020—2021学年度高三一轮复习周测卷（二十七）

阳新一中2020—2021学年度高三一轮复习周测卷（二十七）
数学·综合测试卷一
一、单项选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A＝{x|x2-4x+3＜0}，集合，则A∩B＝
A．{x|1＜x≤2}
B．{x|2≤x＜3}
C．{x|2＜x＜3}
D．{x|1＜x＜3}
2．设复数，则|z|＝
A．
B．
C．
D．
3．设a为实数，则“”是“”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．研究人员随机调查统计了某地n名“上班族”每天在工作之余使用手机上网的时间，并将其绘制为如图所示的频率分布直方图．若第三组的人数为200，则第二组的人数是
A．450
B．400
C．350
D．300
5．设a＝30.2，b＝0.23，c＝log0.23，则a，b，c的大小关系是
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．a＞c＞b
D．c＞a＞b
6．若正实数a，b满足5a+4b＝ab，则2a+3b的最小值是
A．
B．
C．
D．
7．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有
A．50种
B．60种
C．70种
D．90种
8．设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|＝2，则
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求）
9．要得到y＝cos
2x的图象C1，只要将的图象C2作的变化是
A．将的图象C2向左平移个单位长度
B．将的图象C2向右平移个单位长度
C．先作C2关于x轴对称的图象C3，再将图象C3向右平移个单位长度
D．先作C2关于x轴对称的图象C3，再将图象C3向左平移个单位长度
10．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且，F为AE的中点，则
A．
B．
C．
D．
11．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且Sn＝λan-1（λ为常数）．若数列{bn}满足anbn＝-n2+9n-20，且bn+1＜bn，则满足条件的n的取值可以为
A．5
B．6
C．7
D．8
12．如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′，DD′交于M，N，则下列四个命题中是真命题的为
A．四边形MENF一定为矩形
B．平面MENF⊥平面BDD′B′
C．当M为BB′的中点时，四边形MENF的面积最小
D．四棱锥A-MENF的体积为常数
三、填空题
13．展开式的二项式系数之和为_______，x8的系数为_______．
14．若，则sin
2α的值为_______．
15．已知双曲线C的中心为坐标原点O，左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于P，Q两点．若PO∥QF2，QA1⊥QA2，则C的离心率为_______．
16．已知f(x)是R上的偶函数，且若关于x的方程2f2(x)-af(x)＝0有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是_______．
四、解答题（解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．从①，；②csin
C＝sin
A+bsin
B，B＝60°；③c＝2，这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答．
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，_______，求△ABC的面积S．
（注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分）
18．如图，在四棱锥P-ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB⊥BC，，E为AD的中点，AC与BE相交于点O．
（1）证明：PO⊥平面ABCD．
（2）求直线BC与平面PBD所成角的正弦值．
19．某水果种植基地引进一种新水果品种，经研究发现该水果每株的产量y（单位：千克）和与它“相近”的株数x具有线性相关关系（两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过1（单位：m）），并分别记录了相近株数为0，1，2，3，4时每株产量的相关数据如下：
x
0
1
2
3
4
y
15
12
11
9
8
（1）求出该种水果每株的产量y关于它“相近”株数x的回归方程．
（2）有一种植户准备种植该种水果500株且每株与它“相近”的株数都为m(m∈N
)，计划收获后能全部售出，价格为10元/千克，如果收入（收入＝产量×价格）不低于25000元，则m的最大值是多少？
（3）该种植基地在如图所示的直角梯形地块的每个交叉点（直线的交点）处都种了一株该种水果，其中每个小正方形的边长和直角三角形的直角边长都为1
m，已知该梯形地块周边无其他树木影响，若从所种的该水果中随机选取一株，试根据（1）中的回归方程预测它的产量的分布列与数学期望．
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，．
20．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝n2-n．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设（k为正整数），求数列{bn}的前2n项和T2n．
21．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，E为椭圆上一动点（异于左、右顶点），△EF1F2面积的最大值为．
（1）求椭圆C的方程．
（2）若直线l：y＝x+m与椭圆C相交于A，B两点，问：y轴上是否存在点M，使得△ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
22．已知函数．
（1）若f(x)在区间(-∞，+∞)上是单调递增函数，求a的取值范围．
（2）设g(x)＝exf(x)，当m≥1时，若g(x1)+g(x2)＝2g(m)，且x1≠x2，证明：x1+x2＜2m．
2020—2021学年度高三一轮复习周测卷（二十七）
数学·综合测试卷一
一、单项选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【解析】
因为集合A＝{x|x2-4x+3＜0}＝{x|1＜x＜3}，集合，所以A∩B＝{x|2≤x＜3}．故选B．
2．【解析】
因为，所以．故选D．
3．【解析】
由可得，若a＝-1，则成立，而不成立，所以应是充分不必要条件．故选A．
4．【解析】
由频率分布直方图可知，则2a＝1-(0.24+0.2+0.16)，得a＝0.20，所以第二组的人数是1000×0.40＝400．故选B．
5．【解析】
根据指数函数的性质，可得a＝30.2＞1，b＝0.23∈(0，1)，由对数函数的性质，可得c＝log0.23＜0，所以a＞b＞c．故选A．
6．【解析】
由5a+4b＝ab，得，所以
，当且仅当时取等号．故选C．
7．【解析】
分2种情况讨论：如果甲同学选牛，那么乙同学只能选兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种中任意选，所以选法有（种）；如果甲同学选马，那么乙同学能选牛、兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种中任意选，所以选法有（种），不同的选法共有30+40＝70（种）．故选C．
8．【解析】
如图，过点A，B分别作准线l：的垂线，垂足分别为A1，B1，因为，又因为△B1BC∽△A1AC，所以．由抛物线定义可得
，由|BF|＝|BB1|＝2，得，，所以直线AB的方程为
，联立解得yA＝2，xA＝2，所以．故
．故选A．
二、多项选择题（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．）
9．【解析】
要得到y＝cos
2x的图象C1，只要将的图象C2向左平移个单位长度即可，故A正确；或将的图象C2向右平移个单位长度，故B正确；或先作C2关于x轴对称的图象C3，再将图象C3向右平移个单位长度，故C正确．故选ABC．
10．【解析】
由向量加法的三角形法则，得
，故A正确；因为，所以，所以
，又F为AE的中点，所以，故B正确；所以，故C正确；所以，故D错误．故选ABC．
11．【解析】
因为a1＝1，且Sn＝λan-1（λ为常数），所以a1＝λ-1＝1，解得λ＝2，所以Sn＝2an-1，所以Sn-1＝2an-1-1(n≥2)，所以an＝2an-1，所以an＝2n-1．因为anbn＝-n2+9n-20，所以，所以，解得4＜n＜7．又因为n∈N
，所以n＝5或n＝6．故选AB．
12．【解析】
如图，因为EF⊥BD，EF⊥BB′，BD∩BB′＝B，所以EF⊥平面BDD′B′．又因为EF?平面MENF，所以平面MENF⊥平面BDD′B′，故B正确．EF⊥平面BDD′B′，MN?平面BDD′B′，所以EF⊥MN．若MF∥EN，ME∥NF，则四边形MENF为菱形，故A错误．因为菱形MENF的面积为，所以当M为BB′的中点时，四边形MENF的面积最小，故C正确．四棱锥A-MENF的体积为为常数，故D正确．故选BCD．
三、填空题
13．【答案】32
【解析】
由二项式定理，得展开式的二项式系数之和为25＝32，展开式的通项为，令，得r＝2，故x8的系数为．
14．【答案】【解析】
因为，所以
，整理得tan
α＝-3，所以或所以
．
15．【答案】【解析】
已知|A1A2|＝2a，QA1⊥QA2，则|OQ|＝a，渐近线OQ的斜率为，故．又F2(c，0)，PO∥QF2，所以，即，解得a＝b，故．
16．【答案】(0，2]∪[3，4]【解析】
由2f2(x)-af(x)＝0，得f(x)＝0或，因为f(0)＝0，f(x)是R上的偶函数，方程f(x)＝0或有三个不相等的实数根，所以当x＞0时，有唯一一个实数根，如图所示，，所以a∈(0，2]∪[3，4]．
四、解答题（解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解：选择条件①：
因为，，A，C∈(0，π)，
所以，，
所以．
由正弦定理，得，
所以
．
选择条件②：
因为csin
C＝sin
A+bsin
B，
所以由正弦定理，得c2＝a+b2．
因为a＝3，所以b2＝c2-3．
又因为B＝60°，
所以，
所以c＝4，
所以．
选择条件③：
因为c＝2，，
所以由余弦定理，得，
即，
解得或，b＝-2（舍去）．
又因为，
所以△ABC的面积．
18．（1）证明：因为AP⊥平面PCD，CD?平面PCD，
所以AP⊥CD．
因为AD∥BC，，
所以四边形BCDE为平行四边形，
所以BE∥CD，所以AP⊥BE．
又因为AB⊥BC，，且E为AD的中点，
所以四边形ABCE为正方形，所以BE⊥AC．
又AP∩AC＝A，所以BE⊥平面APC．
因为PO?平面APC，所以BE⊥PO．
因为AP⊥平面PCD，PC?平面PCD，
所以AP⊥PC．
又，
所以△PAC为等腰直角三角形，O为斜边AC上的中点，
所以PO⊥AC，且AC∩BE＝O，
所以PO⊥平面ABCD．
（2）解：以O为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示．
设OB＝1，则B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，D(-2，1，0)，
则，，．
设平面PBD的法向量为
，
则即
令z＝1，得．
设直线BC与平面PBD所成角为θ，
则．
19．解：（1）由题意，得，．
，
，
所以．
，
所以．
（2）设每株的产量为y千克，根据题意可得10×500y≥25000，
所以y≥5．
令
，得，即m的最大值是5．
（3）由回归方程可得，当x＝1时，，
当x＝2时，，当x＝3时，，
当x＝4时，，
所以，
，
，
．
即的分布列为
P
12.7
11
9.3
7.6
，
即一株产量的数学期望为．
20．解：（1）因为2Sn＝n2-n，
所以2Sn-1＝(n-1)2-n+1(n≥2)，
所以an＝Sn-Sn-1＝n-1(n≥2)，
当n＝1时，a1＝S1＝0，也符合上式，
所以数列{an}是以0为首项，1为公差的等差数列，
故an＝n-1．
（2）由（1）知，（k为正整数）．
所以
．
21．解：（1）△AF1F2面积的最大值为，则．
又，a2＝b2+c2，
解得a2＝4，b2＝1，
所以椭圆C的方程为．
（2）假设y轴上存在点M(0，t)，△ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为N(x0，y0)，
由消去y，得5x2+8mx+4m2-4＝0，
Δ＝64m2-20(4m2-4)＝16(5-m2)＞0，
解得m2＜5，
所以，
，
所以，，
所以，
由题意可知，AM⊥BM，MN⊥l，
由MN⊥l，得，
得，
由AM⊥BM，得
．
又y1＝x1+m，y2＝x2+m，
可得2x1x2+(m-t)(x1+x2)+(m-t)2＝0，
则
，解得m＝±1，
当m＝1时，点满足题意；当m＝-1时，点满足题意，
故y轴上存在点，使得△ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形．
22．（1）解：因为f(x)在区间(-∞，+∞)上是单调递增函数，
所以在R上，恒成立，
即a≥(4-2x)ex，
设h(x)＝(4-2x)ex，x∈R，
所以h′(x)＝(2-2x)ex，
所以当x∈(-∞，1)时，h′(x)＞0，h(x)在区间(-∞，1)上为增函数，
当x∈(1，+∞)时，h′(x)＜0，h(x)在区间(1，+∞)上为减函数，
所以h(x)max＝h(1)＝2e．
因为a≥[(4-2x)ex]max，
所以a≥2e，即a的取值范围为[2e，+∞)．
（2）证明：方法一：因为g(x)＝ex(x2-4x+5)-a，
所以g′(x)＝ex(x-1)2≥0，
所以g(x)在区间(-∞，+∞)上为增函数．
因为g(x1)+g(x2)＝2g(m)，即g(x1)-g(m)＝g(m)-g(x2)，
g(x1)-g(m)和g(m)-g(x2)同号，
所以不妨设x1＜m＜x2，设h(x)＝g(2m-x)+g(x)-2g(m)(x＞m≥1)，
所以φ′(x)＝-e2m-x(2m-x-1)2+ex(x-1)2．
因为e2m-x＜ex，(2m-x-1)2-(x-1)2＝(2m-2)·(2m-2x)≤0，
所以h′(x)＞0，所以h(x)在区间(m，+∞)上为增函数，
所以h(x)＞h(m)＝0，所以h(x2)＝g(2m-x2)+g(x2)-2g(m)＞0，
所以g(2m-x2)＞2g(m)-g(x2)＝g(x1)，
所以2m-x2＞x1，即x1+x2＜2m．
方法二：
因为g(x)＝exf(x)＝(x2-4x+5)ex-a，g(x1)+g(x2)＝2g(m)，m∈[1，+∞)，
所以，
所以
，
所以设φ(x)＝(x2-4x+5)ex，x∈R，
则φ(x1)+φ(x2)＝2φ(m)，
所以φ′(x)＝(x-1)2ex≥0，
所以φ(x)在R上单调递增，且φ′(1)＝0．
令x1∈(-∞，m)，x2∈(m，+∞)，
设F(x)＝φ(m+x)+φ(m-x)，x∈(0，+∞)，
所以F′(x)＝(m+x-1)2em+x-(m-x-
1)2em-x．
因为x＞0，
所以em+x＞em-x＞0，(m+x-1)2-(m-x-1)2＝(2m-2)2x≥0，
所以F′(x)＞0，F(x)在区间(0，+∞)上单调递增，
所以F(x)＞F(0)＝2φ(m)，
所以φ(m+x)+φ(m-x)＞2φ(m)，x∈(0，+∞)．
令x＝m-x1，
所以φ(m+m-x1)+φ(m-m+x1)＞2φ(m)，
即φ(2m-x1)+φ(x1)＞2φ(m)．
又因为φ(x1)+φ(x2)＝2φ(m)，
所以φ(2m-x1)+2φ(m)-φ(x2)＞2φ(m)，
即φ(2m-x1)＞φ(x2)．
因为φ(x)在R上单调递增，
所以2m-x1＞x2，即x1+x2＜2m得证．