4.1 指数（Word解析版）

高中数学同步练习 人教A版 第一册
4.1 指数
一、单选题（共10题；共20分）
1.下列运算正确的是（??? ）
A.???????????????B.???????????????C.???????????????D.?
2.计算： （ ??）.
A.?5????????????????????????????????????????B.?25????????????????????????????????????????C.?±5????????????????????????????????????????D.?±25
3.计算 （??? ）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
4.化简： （??? ）
A.?3?????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.? 或3
5.计算 的结果为（??? ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
6.下列各式：① ；③ ．中正确的个数是（??? ）
A.?3???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?1???????????????????????????????????????????D.?0
7. 的值最接近（??? ）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
8.式子 经过计算可得到（ ??）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.?－ ??????????????????????????????????D.?－
9.已知 ，求 的值为（??? ）
A.?2??????????????????????????????????????????B.?8??????????????????????????????????????????C.?10??????????????????????????????????????????D.?14
10.对于函数 （ ， 且 ），下列说法：①当 且 时，函数 为 上单调增函数；②函数 满足 ；③函数 可能具有奇偶性；④当 时，对于任意的 ，总有 ；其中正确的是（??? ） www.21-cn-jy.com
A.?①②??????????????????????????????????B.?②③??????????????????????????????????C.?①②③④??????????????????????????????????D.?③④
二、填空题（共10题；共11分）
11.已知等式 (其中 为整数)成立，则 ________
12.计算 =________.
13.计算 =________
14.方程 的解为________.
15.计算： ________.
16.已知 ， ，则 ________， ________.
17.已知 ，则 ________．
18.下列命题中所有正确的序号是________．
①函数 在 上是增函数；
②函数 的定义域是 ，则函数 的定义域为 ；
③已知 = ，且 ，则 ；
④ 为奇函数．
19. 则 的值为________.
20.计算： ________．
三、解答题（共10题；共100分）
21.已知函数 为偶函数.
（1）求实数 的值；
（2）求不等式 的解集；
（3）若不等式 有实数解，求实数 的取值范围.
22.计算求值：
（1）
（2）若 ， 求 的值
23.计算： .
24.计算下列各式的值：
（1） ；
（2） ．
25.计算：
（1）
（2）
26.设 ，求证：
（1） ；
（2） .
27.已知函数 ．
（1）判断函数 的奇偶性，并加以证明；
（2）求方程 的实数解．
28.计算：
（1） ；
（2） .
29.????????????????
（1）求值： ；
（2）设 ，化简： ．
30.化简求值：（请写出化简步骤过程）
（1）
（2）
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【考点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】对于A， ，A不符合题意.
对于B， ，B不符合题意.
对于C， ，C符合题意.
对于D， ，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据指数幂的运算性质逐项检验可得正确的选项.
2.【答案】 A
【考点】有理数指数幂的化简求值
【解析】【解答】 ，
故答案为：A.
【分析】直接根据指数的运算性质即可得结果.
3.【答案】 A
【考点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】
故答案为：A
【分析】直接利用分数指数幂的运算法则求解即可,化简过程注意避免出现计算错误.
4.【答案】 C
【考点】方根与根式及根式的化简运算
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】根据根式的性质 化简即可.
5.【答案】 C
【考点】有理数指数幂的化简求值
【解析】【解答】
故答案为：
【分析】直接利用指数幂运算法则得到答案.
6.【答案】 D
【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算
【解析】【解答】① ，是错误的，如： ，所以该结论是错误的；
② ，是错误的，因为当 或-1时， ，原式没有意义，所以是错误的；
③ ，是错误的，因为等式左边是一个负数，等式右边是一个正数，所以等式错误.
故答案为：D
【分析】逐一分析判断每一个选项得解.
7.【答案】 B
【考点】方根与根式及根式的化简运算
【解析】【解答】由立方和、立方差公式得：
，
.
所以 .
故答案为：B.
【分析】首先根据立方和、立方差公式得到 ，再将分式化简即可得到答案.
8.【答案】 D
【考点】分数指数幂
【解析】【解答】因为 ，所以a＜0，
所以 ．
故答案为：D．
【分析】利用被开方数非负，推出a的范围，然后求解即可．
9.【答案】 D
【考点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解： ，
两边同时3次方得： ，
化简得： ，
又 ，
，
故答案为：D．
【分析】对原等式两边同时3次方，再利用有理数指数幂的运算性质即可得出．
10.【答案】 C
【考点】奇偶性与单调性的综合，有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：对于①，当 且 时，函数 为 上单调增函数，即①正确；
对于②， ， ，即 ，即②正确；
对于③，当 时， ，函数既是奇函数，由是偶函数，即③正确，
对于④， ，
当且仅当 ，即 时取等号，即④正确，
综上可得①②③④均正确，
故答案为：C.
【分析】由函数的单调性及奇偶性可得①③正确，由指数的运算可得②正确，由重要不等式的应用可得④正确.
二、填空题
11.【答案】 -2020或-1或-2
【考点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】因为 ，
所以 或 且 为偶数或 且 ，
解得 或 或 ，
故答案为：-2020或-1或-2
【分析】根据指数幂的性质计算即可.
12.【答案】 44
【考点】方根与根式及根式的化简运算
【解析】【解答】 .
故答案为：44.
【分析】利用平方差可得计算结果.
13.【答案】 -1
【考点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】原式 .
故答案为：-1.
【分析】利用指数幂的运算规则计算可得所求的结果.
14.【答案】 6
【考点】分数指数幂
【解析】【解答】 ， ，解得 .
故答案为：6
【分析】分数化为以2为底的指数，指数相等即可解出x.
15.【答案】 3
【考点】分数指数幂
【解析】【解答】
故答案为：3
【分析】运用指数的知识运算即可
16.【答案】 5；15
【考点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】由 ，得 ， .
故答案为：5；15
【分析】由 ，可得 ，然后利用指数幂的运算性质可得本题答案.
17.【答案】 3
【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
故答案为：3．
【分析】由 可得， ， ，代入数据计算即可得出．
18.【答案】 ①④
【考点】函数奇偶性的判断，函数奇偶性的性质，有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：当 且 恒成立，故 （1） 恒成立，故函数 且 的图象一定过定点 ，故①正确；
函数 的定义域是 ，则函数 的定义域为 ，故②错误；
已知 ，且 ，则 ，故③错误；
的定义域为 ，
且 ，故 为奇函数，故④正确；
故答案为：①④
【分析】根据指数的运 且 恒成立，求出函数图象所过的定点，可判断①；根据抽象函数的定义域的求法，可判断②；根据奇函数的图象和性质，求出 ，可判断③；根据奇函数的定义及判定方法，可判断④21世纪教育网版权所有
19.【答案】 11
【考点】有理数指数幂的化简求值
【解析】【解答】因为
所以 ，
所以 ，
故答案为：11.
【分析】将原式平方化简即可得答案.
20.【答案】 5
【考点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】原式= ,故填5.
【分析】由已知利用指数与对数的运算性质，即可化简求值.
三、解答题
21.【答案】 （1）解：∵ 是偶函数，
，
即 ，
即 恒成立，
则 ，
得
（2）解：∵ ，
∴ ，
不等式 等价为 ，
即 ，
得 ，
得 ，
即不等式的解集为
（3）解：不等式 等价为 ，
即 ，
，当且仅当 时，取等号，
则 ，
∵函数 在 上是增函数，
则 的最小值为3，
即 ，
故实数 的取值范围是
【考点】函数单调性的性质，函数奇偶性的性质，有理数指数幂的运算性质
【解析】【分析】（_1???????????????_数的定义建立方程即可求实数 的值；（2）求出 的表达式，结合指数函数的运算法则转化为一元二次不等式进行求解即可求不等式 的解集；（3）利用参数分离法，结合基本不等式的性质进行转化求解即可．21教育网
22.【答案】__???1???è§????_原式
?

?
（2）解：


【考点】有理数指数幂的化简求值
【解析】【分析】根据指数式的运算化简即可。
23.【答案】 由题意可得：
.
【考点】有理数指数幂的运算性质，有理数指数幂的化简求值
【解析】【分析】由题意结合分数指数幂的运算法则整理计算即可求得最终结果.
24.【答案】 _???1???è§???????_式

（2）解：原式

【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算
【解析】【分析】（1）代入指数运算法则和根式和分数指数幂的公式转化求解；（2）代入对数运算法则求解.21cnjy.com
25.【答案】 （1）解：




（2）解：
?
?
?
.
【考点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【分析】（1）利用有理数指数幂运算法则计算即可；（2）利用有理数指数幂运算法则计算即可.
26.【答案】 （1）解：∵ ，
∴左边 ，右边 ，即左边 右边，
所以原式得证
（2）解：∵
∴左边 ，右边 ，即左边 右边，
所以原式得证
【考点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【分析】（1）利用指数的运算性质可直接得结果；（2）直接利用指数的运算性质可得结果.
27.【答案】 （1）解：根据题意，函数 ，其定义域为 ，
，
故函数 为奇函数
（2）解：根据题意， ，即 ，
变形可得 ，解可得
【考点】函数奇偶性的判断，有理数指数幂的化简求值
【解析】【分析】（1）根据_é?????????±???????_数的定义域，分析 与 的关系，即可得答案；（2）根据题意，由 ，变形可得 ，由对数的定义可得答案．
28.【答案_???_???1???è§?_：

（2）解： .
【考点】有理数指数幂的化简求值
【解析】【分析】（1）利用指数运算公式化简所求表达式；（2）利用指数运算公式化简所求表达式.
29.【答案】 （1）解：原式 ．
（2）解：原式
．
【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算
【解析】【分析_??????1?????????_利用分数指幂性质、运算法则及对数的性质、运算法则求解，解题过程注意计算准确的准确性；（2）利用平方差公式 及立方差公式 将式子变形；21·cn·jy·com
30.【答案】 （1）解：

，
（2）解：

【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算，有理数指数幂的运算性质
【解析】【分析】（1）根据指数的运算法则及性质运算即可（2）根据根式与分数指数幂的转化计算即可.