4.3 对数（Word解析版）

高中数学同步练习 人教A版 第一册
4.3 对数
一、单选题（共10题；共20分）
1.对数的发明是数学史上的_é???¤§????????????_可以改进数字的计算方法、提高计算速度和准确度.已知 ， ，若从集合 ， 中各任取一个数 ， ，则 为整数的个数为（??? ） 【来源：21·世纪·教育·网】
A.?4???????????????????????????????????????????B.?5???????????????????????????????????????????C.?6???????????????????????????????????????????D.?7
2.下列各式化简运算结果为1的是：（??? ）
A.?????????B.?????????C.?????????D.?
3.计算： （??? ）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????????????C.?5???????????????????????????????????????????D.?7
4.若实数a，b满足 ，则 （??? ）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?1
5.计算: (??? )
A.?1???????????????????????????????????B.?-1???????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
6.设 ， ，则下列式子错误的是（??? ）
A.???????????????????????B.???????????????????????C.???????????????????????D.?
7.下列说法正确的是（??? ）
A.?若 ，则 ???????????????????????B.?若 ，则
C.? ，则 ?????????????????????????D.?若 ，则
8.若 ， ，则 的值为（??? ）
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
9.若 则 （??? ）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
10.设 ，且 ，则m等于(??? )
A.????????????????????????????????????????B.?10???????????????????????????????????????C.?20???????????????????????????????????????D.?100
二、填空题（共10题；共12分）
11.已知 为1的正数，且 ，则 的值为________
12.已知 用 表示 和 分别为________
13.若 则 的值为________
14.幂函数y=xα,_????±????????????_正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点A(1,0),B(0,1),连接AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα,y=xβ的图像三等分,即有BM=MN=NA,那么,αβ等于________.? 21·世纪*教育网
15.已知 ，则 ________
16.已知 ，则 ________.
17. ________.
18.________， ________.
19.若 ；则 ________.
20.若 ,则 ________, ________.
三、解答题（共10题；共90分）
21.??
（1）证明对数换底公式： 其中 且 ， 且 ， ）
（2）已知 ，试用m表示 .
22.计算:
.
23.计算:
（1） ;
（2） .
24.计算
（Ⅰ）
（Ⅱ）
25.??
（1）已知 ， ，用a，b表示 ．
（2）求值 ．
26.计算：?????????????????
（1） ；
（2）若 ，求 的值．
27.计算：?????????????
（1） ．
（2）若 ，求 的值．
28.?????????????????????
（1）计算： ；
（2）已知 ( ) ，求 的值.
29.计算下列式子的值：
（1） ；
（2） .
30.???
（1）求值 ；
（2）已知 ， ，试用 、 表示 .
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【考点】对数的运算性质
【解析】【解答】若 为正整数，则 ，则 ， 共有以下几种情况：
， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ；
共6个.
故答案为：C.
【分析】只需满足 即可，然后判断 ， 的可能取值.
2.【答案】 A
【考点】对数的运算性质
【解析】【解答】A. ，故正确；
B. ，故错误；???
C. ，故错误；
D. ，故错误
故答案为：A
【分析】直接利用对数的运算性质和运算法则求解.
3.【答案】 C
【考点】对数的运算性质
【解析】【解答】根据对数运算及指数幂运算,化简可得
故答案为：C
【分析】由对数的运算性质,结合零次幂的值,即可求得算式的值.
4.【答案】 D
【考点】指数式与对数式的互化，对数的运算性质，换底公式的应用
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
．
故答案为：D．
【分析】先将指数式化成对数式，求出 ，再利用换底公式的推论 以及对数的运算法则即可求出．
5.【答案】 B
【考点】对数的运算性质
【解析】【解答】
则
?
故答案为：B.
【分析】根据 ,化简 即可求得答案.
6.【答案】 D
【考点】对数的运算性质
【解析】【解_??????A?????±__ 图像，当 时， ，所以A符合题意；
B：由 图像，当 时， ，所以B符合题意；
C： ，又 ，所以C符合题意；
D:因为 ，
又
所以 。
故答案为：D
【分析】直接利用对数的运算性质化简即可得到答案。
7.【答案】 B
【考点】对数的运算性质
【解析】【解答】A. 若 ，则 ，当 时不成立，错误；
B. 若 ，则 ，正确；
C. ，则 ， 也成立，错误；
D. 若 ，则 ，当 不成立，错误；
故答案为：B
【分析】依次判断每个选 时不成立， 错误； 正确； 也成立， 错误；当 不成立， 错误；得到答案.21世纪教育网版权所有
8.【答案】 B
【考点】对数的运算性质
【解析】【解答】由 ，得 ，
所以 ，
故答案为：B.
【分析】由 ，得 ，再利用对数的运算性质计算即可.
9.【答案】 C
【考点】对数的运算性质
【解析】【解答】 ．
故答案为：C.
【分析】根据对数的运算性质即可解出．
10.【答案】 B
【考点】对数的运算性质
【解析】【解答】由 得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
故答案为：B．
【分析】求出 ，代入 ，根据对数的运算性质求出m的值即可．
二、填空题
11.【答案】
【考点】对数的运算性质
【解析】【解答】由 ，
可得 ， ， ，
．
故答案为：
【分析】根据对数运算公式，可以将 转化，得到 ， ， 的等量关系，将此等量关系代入所求式子即可解决．21·cn·jy·com
12.【答案】 1-a或2-a
【考点】对数的运算性质
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
，
故答案为：1-a或2-a
【分析】根据对数的运算求解即可.
13.【答案】 1
【考点】指数式与对数式的互化，对数的运算性质
【解析】【解答】由题意可得， ， ，
∵
故答案为：1
【分析】将指数式化为对数式得 ， ，代入可得， ，根据换底公式可求值.
14.【答案】 1
【考点】对数的运算性质
【解析】【解答】由条件,得M ,N ,
可得 ,
即α=lo ,β=lo .
所以αβ=lo o =1.
【分析】由条件,得M ,N ,则 ,结合对数的运算法则可得αβ=1.
15.【答案】 2a+b
【考点】对数的运算性质
【解析】【解答】因为 .
故答案为：2a+b.
【分析】利用对数的运算律及进行计算即可.
16.【答案】 4
【考点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】 ， .
故答案为：4.
【分析】根据对数运算与指数运算的关系可直接求得结果.
17.【答案】 2
【考点】对数的运算性质
【解析】【解答】
故答案为：2
【分析】根据对数的运算法则及性质运算即可.
18.【答案】 π-1；-4
【考点】对数的运算性质
【解析】【解_??????(1)__ ；(2) .
故答案为： π-1 ； -4
【分析】根据指对数的运算求解即可.
19.【答案】 4
【考点】换底公式的应用
【解析】【解答】因为 .故 ,即 .
由对数函数定义域有 ,故 .
故答案为：4
【分析】利用换底公式化成同底的对数方程求解即可.
20.【答案】 ；
【考点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】由 得 ，所以 ， .
故答案为：(1). ????(2).
【分析】将对数式化为指数式，求得 的值，进而求得 的值以及 的值.
三、解答题
21.【答案】 （1）解：设 ，写成指数式 .
两边取以 为底的对数，得 .
因为 ， ，因此上式两边可除以 ，得 .
所以，
（2）解：




【考点】对数的运算性质，换底公式的应用
【解析】【分析】（1）_?°??????°???è?????_为指数式，然后两边取对数，利用对数函数的应算法则，即可证明.（2）利用换底公式将等号左边化为以3为底的对数，然后根据对数运算法则化简即得.
22.【答案】 解：_(?????????)???_式
.
(方法二)原式


=13
【考点】对数的运算性质，换底公式的应用
【解析】【分析】利用对数运算公式，化简求得所求表达式的值.
23.【答案】 （1）解：



=3
（2）解：



【考点】对数的运算性质，换底公式的应用
【解析】【分析】（1）利用对数的运算性质计算即可；（2）利用对数的运算性质和换底公式计算即可.
24.【答案】 _è§?????????????__
；
（Ⅱ）

【考点】对数的运算性质
【解析】【分析】直接利用对数的运算性质化简求值．
25.【答案】 （1）解： ， ，得 ，

（2）解：原式


=1.5
【考点】指数式与对数式的互化，对数的运算性质
【解析】【分析】（1）指对互化，带入化简；（2）利用指数对数的运算性质求解.
26.【答案】 （1）
? .
（2）解：因为 所以

【考点】对数的运算性质
【解析】【分析】（1）根据式子特 部分提取公因式 ，即可化简求值（2）取对数后可得 ，计算即可求值.21cnjy.com
27.【答案】 _???1???è§????__ =lg5+ + +lg2 ?= + + ?=1+2=3
（2）解：∵2a=5b=10 www.21-cn-jy.com
∴a=log210，b=log510
∴ =log102+log105=log1010=1
【考点】指数式与对数式的互化，对数的运算性质
【解析】【分析】(1)根据指数与_?????°???è????????_则化简即可得结果.(2)要求 的值需求出a，b的值故可根据条件2a=5b=10结合指数式与对数式的转化公式：ab=N＜=＞b=logaN求出a，b然后代入再结合换底公式化简即可得解．2·1·c·n·j·y
28.【答案】 （1）解：原 .
（2）解：

?,


【考点】对数的运算性质
【解析】【分析】（1）结合对数的运算性质化简即可；（2）结合两次平方关系即可求得 .
29.【答案】 _???1???è§????__
（2）解：
【考点】对数的运算性质
【解析】【分析】（1）利用对数的运算性质进行计算即可；（2）利用幂指数性质来进行计算即可．
30.【答案】 （1）解：原式 ；
（2）解：由换底公式得 ，又 ，
因此， .
【考点】对数的运算性质，换底公式的应用
【解析】【分析】（1_????????¨?????°???_运算律、对数的运算律、换底公式以及对数恒等式可得出结果；（2）由换底公式可得出 ，然后利用换底公式可得出 ，并利用对数 和 表示分子和分母，代入化简计算即可.21教育网