4.4 对数函数（Word解析版）

高中数学同步练习 人教A版 第一册
4.4 对数函数
一、单选题（共10题；共20分）
1.若关于 的解集为 ，则 的取值范围是（??? ）
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
2.设 ， ， ，则(?? )
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
3.设 ， ， ，则（??? ）
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
4.设 ， ， ，则(??? )
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
5.“ ”是“ ”成立的（??? ）.
A.?充分非必要条件?????????????B.?必要非充分条件?????????????C.?充要条件?????????????D.?既非充分又非必要条件
6.设 ， ，则a，b，c的大小关系是（??? ）
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
7.函数y＝ 的定义域是（??? ）
A.?[－ ，－1)∪(1， ]??????????????????????????????????B.?[－ ，－1)∪(1， )
C.?[－2，－1)∪(1，2]????????????????????????????????????????????D.?(－2，－1)∪(1，2)21·cn·jy·com
8.函数y=loga（x+_4???-1???a_＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m，n均大于0，则 的最小值为（?? ） 【版权所有：21教育】
A.?2???????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?10
9.已知函数 有四个不同的实数根 ， ， ， ，则 的取值范围是（??? ）
A.?????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
10.设 ，则 的大小关系（??? ）
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
二、填空题（共10题；共10分）
11.若存在实数 时，函数 的值域也为 ，其中 且 ，则实数 的取值范围是________. 【来源：21·世纪·教育·网】
12. （ ）的反函数 ________
13.若函数 （ 且 ）的反函数的图像都过点P，则点P的坐标是________.
14.函数 的定义域为________.
15.函数 的定义域为________．
16.方程 的解的个数为________.
17.数学家已经证_???????????°?????°_ 与对数函数 的图象当且仅当 时有两个不同的公共点.若对任意的 ，都有 恒成立，则实数 的取值范围是________.（注： 是自然对数的底数）
18.设函数 ，若 ，则实数 的取值范围是________．
19.若函数 的值域是 ，则实数 的取值范围是________．
20.函数 的图像恒过定点 ，则点 的坐标是________．
三、解答题（共10题；共100分）
21.已知 且 ），若函数 在区间 上的最大值与最小值之差为1．
（1）求实数 的值；
（2）若 ，求函数 的值域．
22.已知 ， 且 ．
（Ⅰ）求 的最大值及此时a，b的值；
（Ⅱ）求 的最小值及此时a，b的值．
23.已知函数 的定义域为 .
（1）若 ，求实数 的取值范围；
（2）求函数 的定义域 .
24.已知函数 ，其中 为常数，且 .
（1）求实数 的值；
（2）若对于任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
25.已知二次函数 满足 ，且 .
（1）求 的解析式；
（2）设函数 ，当 时，求 的最小值；
（3）设函数 ，若对任意 ，总存在 ，使得 成立，求m的取值范围.
26.如果函数 定义域内的所有 ，存在常数 ， ，都有 ，那么称 是“中心对称函数”，对称中心是点 .
（1）证明点 是函数 的对称中心；
（2）已知函数 （ 且 ， ）的对称中心是点 .
①求实数 的值；
②若存在 ，使得 在 上的值域为 ，求实数 的取值范围.
27.已知函数
（1）求函数 的定义域；
（2）判断函数 的奇偶性；
28.已知函数 (其中 )的部分图象如图.
（1）根据图象，求 的解析式；
（2）求函数 的单调递减区间.
29.已知函数 （ 且 ）,它的反函数图象过点 .
（1）求实数 的值；
（2）若存在 使得 成立，求实数 的取值范围.
30.已知?

（1）当 时，解不等式 ；
（2） 在 恒成立，求实数 的取值范围.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【考点】对数函数的单调性与特殊点，一元二次不等式的解法
【解析】【解 得 ，即 恒成立，由于 时， 在 上不恒成立，故 ，解得 .
故答案为：C.
【分析】根据对数的性质列不等式，根据一元二次不等式恒成立时，判别式和开口方向的要求列不等式组，解不等式组求得 的取值范围.21教育网
2.【答案】 C
【考点】指数函数的单调性与特殊点，对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】 ,
,
,
,
故答案为：C.
【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出 的取值范围，从而可得结果.
3.【答案】 C
【考点】指数函数的图象与性质，对数函数的图象与性质
【解析】【解答】由指数函数与对数函数的图像与性质可知
所以
故答案为：C
【分析】根据对指数函数与对数函数的图像与性质,判断出 的范围,即可比较大小.
4.【答案】 A
【考点】指数函数单调性的应用，对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】先和0比较， ，
得到c最小，再与1比较 ，得到b最大，
故答案为：A．

【分析】利_??¨?·?????????????_合指数函数的单调性和对数函数的单调性，从而利用特殊值对应的指数和对数与a,b,c大小关系的比较，从而比较出a,b,c的大小关系。21世纪教育网版权所有
5.【答案】 B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】当 等价于 ，
是 的必要不充分条件，
∴“ ”是“ ”成立的必要不充分条件，
故答案为：B.
【分析】根据对数函数的性质将对数不等式进行等价转化，注意使对数有意义的条件，然后根据充分、必要条件的定义作出判定即可.21cnjy.com
6.【答案】 C
【考点】指数函数的单调性与特殊点，对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由题意 ， ，
，
所以 .
故答案为：C.
【分析】由题意结合指数函数、对数函数的性质可得 ，即可得解.
7.【答案】 A
【考点】函数的定义域及其求法，对数函数的定义域
【解析】【解答】函 的定义域满足
即 ，解得
故答案为：A
【分析】由函数表达式知，被开_?????°?¤§?????????_于0，对数的真数大于0，即 ，可得答案．
8.【答案】 C
【考点】对数函数的图象与性质，基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】函数y＝loga（x+4）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，
当x+4＝1时，即x＝﹣3，y＝﹣1，则A（﹣3，﹣1），
∴﹣3m﹣n+1＝0，
∴3m+n＝1，
∴ __???3m+n_）（ ）＝5 5+2 5+2 ，当且仅当n m时取等号，
故最小值为5+2 ，
故答案为：C
【分析】函数y_???loga???_x+4）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A（﹣3，﹣1），进而可得3m+n＝1，结合基本不等式可得 的最小值．2·1·c·n·j·y
9.【答案】 B
【考点】二次函数的图象，对数函数的图象与性质
【解析】【解答】当 ，方程 有四个不同的实数根 ， ， ， ，不妨依次由小到大，则由二次函数图像得对称性知 ，由对数函数性质知 ，且 2-1-c-n-j-y
，所以 ，所以 ，
故答案为：B．

【分析_????????¨?????????_数的解析式画出分段函数图象，再利用函数零点与方程的根、两函数y=f(x)和y=k的交点的横坐标的等价关系，结合两函数y=f(x)和y=k的图象，从而求出 的取值范围。21*cnjy*com
10.【答案】 C
【考点】指数函数单调性的应用，对数值大小的比较
【解析】【解答】 ， ， ，
所以 .
故答案为：C.
【分析】判断 与 大小关系，即可得到答案.
二、填空题
11.【答案】
【考点】对数函数的值域与最值
【解析】【解答】 为增函数，
且 时，函数 的值域也为 ，
，
相当于方程 有两不同实数根,
有两不同实根，
即 有两解，
整理得： ，
令 ，
有两个不同的正数根，
只需 即可，
解得 ，
故答案为：
【分析】由已知可构造 有两不同实数根，利用二次方程解出 的范围即可.
12.【答案】 （ ）
【考点】反函数
【解析】【解答】设 （ ）,所以 ，
因为x≥0，所以 ，所以 .
因为x≥0，所以y≥0，所以反函数 ， .
故答案为 ，
【分析】设 （ ）,求出 ，再求出原函数的值域即得反函数 .
13.【答案】 (0,-2)
【考点】反函数
【解析】【解答】令 ，此时 ，所以函数 过定点 ，
所以函数 （ 且 ）的反函数的图像都过点(0,-2).
故答案为：(0,-2)
【分析】首先求出函数 过的定点，再根据原函数与反函数图象关于 对称即可求出点P的坐标.
14.【答案】
【考点】对数函数的定义域
【解析】【解答】对数函数f（x）＝log2（x﹣1）中，
x﹣1＞0，
解得x＞1；
∴f（x）的定义域为（1，+∞）．
故答案为：（1，+∞）．
【分析】根据对数函数的真数大于0，列出不等式求解集即可．
15.【答案】 [-1,1]
【考点】函数的定义域及其求法，对数函数的定义域
【解析】【解答】由题意得：
，
函数定义域为：
【分析】根据定义域基本要求可得不等式组，解不等式组取交集得到结果.
16.【答案】 5
【考点】对数函数的图象与性质，正弦函数的图象
【解析】【解答】作出函数 与 的图像，如图所示，
当 时， ，
两个图像交点个数为5个.
故答案为：5.
【分析】画出函数 与 的图像，根据图像的交点个数，即可得到答案.
17.【答案】
【考点】指数函数单调性的应用，对数函数的图象与性质
【解析】【解答】_???è??????????????_ ，都有 恒成立”等价于“函数 恒在函数 的上方”，
所以 ，即 ．
故答案为： ， ．
【分析】由题意可得 在 的上方，由对数的性质和指数函数的单调性，可得 的范围．
18.【答案】
【考点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答 或 或 或 ，则实数 的取值范围是 ，故答案为 。
【分析】利用分段函数的解析式结合分类讨论的方法，从而结合交集和并集的运算法则，从而求出实数 的取值范围。21·世纪*教育网
19.【答案】
【考点】对数函数的值域与最值，分段函数的应用
【解析】【解答】当 ，即函数 在区间 上的值域为 .
由于函数 的值域为 ，则函数 在区间 上单调递减，
且有 ，即 ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【分析】求出函数 在区间 上的值域为 ，从而可得出函数 在区间 上单调递减，且有 ，得出关于实数 的不等式组，解出即可.www.21-cn-jy.com
20.【答案】 （2，1）
【考点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】 ， ，即 时， ， 点 的坐标是 ，故答案为 。
【分析】利用对数函数恒过定点的性质结合换元法，从而求出函数 的图象恒过的定点的坐标。【出处：21教育名师】
三、解答题
21.【答案】 （1）解：因为 ，所以 ，
所以 在 上为增函数．
又 在 上的最大值与最小值之差为1，
所以 ，即 ，所以
（2）解：函数 ，
令 ，因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
所以所求函数的值域为
【考点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1_??????????????????_ 可得 ，再根据函数的单调性可得其最值，利用最值之间的关系可求 的值．（2）令 ，根据 的范围可求 的范围，再根据二次函数的性质可求原函数的值域．
22.【答案】 解 ，
当且仅当 且 ，即 时取等号，
即最大值为 ，
（Ⅱ） ，

，
当且仅当 且 ，即 ， 时取等号
【考点】对数函数的单调性与特殊点，基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（Ⅰ）利用“乘1法”与基本不等式的性质，对数函数的单调性即可得出；（Ⅱ）先对已知式子进行化简，然后结合基本不等式即可求解．
23.【答案】 （1）解：函数 的定义域为 ，
则 ，
又 ，所以 ，
解得： ，
所以 的取值范围是 ， ；
（2）解： 的定义域满足 ，
等价于不等式 ，
因为 ，
所以当 时， ，定义域 ，
当 时， ，定义域 ，
当 时， ，定义域 ，
当 时， ，定义域 ．
【考点】对数函数的定义域，一元二次不等式的解法
【解析】【分析】（1_??????????????°???_数的定义列出不等式，结合题意求出 的取值范围；（2）根据 的定义域满足 ，解含有字母系数的不等式即可．
24.【答案_???_???1???è§?_：由题意 得 ， 得 ，
故实数 ，
（2）解：由(1)知 ，则有 ，则不等式 可化为 ，令函数 易知在区间 上单调递增，可得函数 ，故要使不等式 恒成立则需
【考点】函数解析式的求解及常用方法，指数函数的单调性与特殊点，对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】(1)由题中条件 ，求解实数 的值即可；(2)分离参数 ，令函数 ，利用函数的单调性，求解 即可得出答案.21教育名师原创作品
25.【答案】 （1）解：设 .
①∵ ,∴ ,
又∵ ,
∴ ,可得 ,
∴ 解得 即
（2）解：由题意知, , ,对称轴为 .
①当 ,即 时,函数h(x)在 上单调递增,
即 ；
②当 ,即 时,函数h(x)在 上单调递减,在 上单调递增,
即 .
综上,
（3）解：由题意可知 ,
∵函数 在 上单调递增,故最小值为 ,
函数 在 上单调递减,故最小值为 ,
∴ ,解得
【考点】函数解析式的求解及常用方法，二次函数的性质，二次函数在闭区间上的最值，对数函数的值域与最值，对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】(1) 根据 ,则可设 ,再根据题中所给的条件列出对应的等式对比得出所求的系数即可.(2)根据(1)中所求的 求得 ,再分析对称轴与区间 的位置关系进行分类讨论求解 的最小值即可.(3)根据题意可知需求 与 在区间上的最小值.再根据对数函数与二次函数的单调性求解最小值即可.
26.【答案】__???1???è§????_由题意，函数 ，可得 ，
所以函数 的图象关于点 对称.
（2）解：_??????????????°__ （ 且 ， ）的对称中心是点 ，
可得 ，即 ，解得 （ 舍）.
②因为 ，∴ ，可得 ，
又因为 ，∴ .
所以 在 上单调递减，
由 在 上的值域为
所以 ， ，
即 ，即 ，
即 为方程 的两个根，且 ，
?令 ，
则满足 ，所以实数 的取值范围 .
【考点】奇偶函数图象的对称性，二次函数的性质，对数函数的图象与性质
【解析】【分析】_???1????±????__ ，根据函数的定义，即可得到函数 的图象关于点 对称.（2）①根据函数函数的定义，利用 ，即可求得 . ②由 在 上的值域，得到方程组 ，转化为 为方程 的两个根，结合二次函数的性质，即可求解.
27.【答案】__???1???è§????_由题意得， ，解得 ，故函数 的定义域为
（2）解：由(1)知，函数的定义域关于原点对称，且
故函数 为偶函数．
【考点】函数奇偶性的判断，对数函数的定义域
【解析】【分_??????(1)???_据真数大于零，即可求出定义域；(2)先判断定义域是否关于原点对称，再判断 与 的关系，即可得出函数 的奇偶性．21*cnjy*com
28.【答案】 （1）解：由图象可得 ，
，即 ，
，且点 位于 的递增区间上，
，
又 ，即 ，
，解得 ，
由图象可得: ， 得 ，
当 时， ，
故
（2）解：要使 单调递减，应使 且 单调递减，

即 ，
于是 ，
故 的单调递减区间为
【考点】对数函数的单调区间，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】（1）_??±?????°??????è±?_的顶点坐标求出 和 ，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得 的解析式；（2）要使 单调递减，应使 且 单调递减，可得 解不等式组，求出 的范围即可.
29.【答案】 （1） 的反函数的图像过点 ，则函数 过点 .所以 ，变形为 ，解得： 或 ，又 且 ，所以 .
（2）解：存在 使得 ，等价于 在 上有解. 【来源：21cnj*y.co*m】
又 ，所以原不等式等价于 ，变形得： ，即 在 上有解.
， ，所以 ，即 ，解得： 或 .
【考点】函数恒成立问题，指数函数的图象与性质，反函数
【解析】【分析】（1）_???????????°??????_函数的关系可知：反函数图象过点 ，则函数的图像过点 ，代入求解即可求得 的值.（2）将 代入不等式化简可知，原不等式等价于 在 上有解.根据 的范围可知 ，所以对不等式变形为 ，参变分离变形为 ，根据存在性列出关于 的不等式，即可求出结果.www-2-1-cnjy-com
30.【答案】 （1）解：当 时，解不等式 ，得 ，
即 ， 故不等式的解集为
（2）解：由 在 恒成立，得 在 恒成立，
①当 时，有 ，得 ，
②当 时，有 ，得 ，
故实数 的取值范围 .
【考点】函数恒成立问题，对数函数的单调性与特殊点，指、对数不等式的解法
【解析】【分析】（1） 时，可得 ，即为 ，由对数函数的单调性，可得不不等式的解集；（2）由 在 上恒成立，得 在 上恒成立，讨论 ，根据 的范围，由恒成立思想，可得 的范围.