4.2 指数函数（Word解析版）

高中数学同步练习 人教A版 第一册
4.2 指数函数
一、单选题（共10题；共20分）
1.某工厂去年总产值为a,计划今后5年内每年比上一年增长10%,则这5年的最后一年该厂的总产值是(?? ) www-2-1-cnjy-com
A.?1.14a????????????????????????????????B.?1.15a????????????????????????????????C.?1.16a????????????????????????????????D.?(1+1.15)a
2.若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（??????? ）
A.??????????????????????????????B.??????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?
3.已知 ， ，则 的大小关系为（??? ）
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
4.已知 ， ，则 ， ， 的大小关系是（??? ）
A.?a＜b＜c?????????????????????????????B.?a＜c＜b?????????????????????????????C.?c＜b＜a?????????????????????????????D.?c＜a＜b
5.若 ， ， ，则（??? ）
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
6.函数 且 的图象必经过定点（??? ）
A.?????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
7.已知关于 的方程 有两个不等实根，则实数 的取值范围是 ??
A.? ， ????????????????????????B.?????????????????????????C.? ， ????????????????????????D.?
8.函数 和函数 的图象关于（??? ）对称.
A.?原点????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.? 轴????????????????????????????????????D.? 轴
9.若 ， ，则a、b、c的大小关系为（??? ）
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
10.若 ，则（? ?）
A.?????????????????????????B.?????????????????????????C.?????????????????????????D.?
二、填空题（共10题；共11分）
11.函数y= 的定义域是________．
12.对于函数 ，下列说法正确的是________．
①函数 的定义域为 ；②函数 为偶函数；
③函数 的值域为 ； ④函数 在定义域上为增函数；
⑤方程 有两个不相等的实数解．
13.函数 ，则它的值域为________．
14.函数 且 的图象恒过定点________．
15.当 且 时，函数 的图象经过的定点坐标为________.
16.某纯净水_?????¨??????è???¨?_中，每增加一次过滤可减少水中杂质的20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为________．(lg2≈0.3010) 21·cn·jy·com
17.函数 （ 且 ）的图象必过定点________
18.已知函数 ( 且 )图象恒过点 ，则点 坐标为________.
19.函数 （ 且 ）图象所过的定点坐标是________.
20.已知 ，则 的定义域是________； 的值域是________．
三、解答题（共10题；共100分）
21.已知函数 的图象关于原点对称.
（Ⅰ）求 ， 的值；
（Ⅱ）若函数 在 内存在零点，求实数 的取值范围.
22.已知函数 的图象经过点 ，其中 且 ．
（1）求a的值
（2）求函数 的值域．
23.已知 且满足不等式 ．
（1）求实数a的取值范围．
（2）求不等式 ．
（3）若函数 在区间 有最小值为 ，求实数a值．
24.定义在 上的奇函数 ，已知当 时， ．
（1）求 在 上的解析式；
（2）若 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
25.设集合 ， ．
（1）求 ；
（2）若集合 ，满足 ，求实数 的取值范围．
26.已知函数 ；
（1）若 ，求 的值；
（2）求 的值．
27.某地下车_?????¨????°???????_生故障的情况下，测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修，排气扇恢复正常．排气 后，测得车库内的一氧化碳浓度为 ，继续排气 ，又测得浓度为 ，经检测知该地下车库一氧化碳浓度 与排气时间 存在函数关系： （ ， 为常数）． 【版权所有：21教育】
（1）求 ， 的值；
（2）若地下车库中一氧化碳浓度不高于 为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？ 21教育名师原创作品
28.计算：
（1） ；
（2）已知 且 ，求x的取值范围．
29.已知函数 的图象经过点 .
（1）求 的值；
（2）求函数 的值域.
30.已知函数 ( ,且 ),且 .
（1）若 ,求实数 的取值范围;
（2）若方程 有两个解,求实数 的取值范围.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【考点】指数函数的实际应用
【解析】【解答】由题意,得x年后的总产值为y=a·(1+10%)x,
则5年后的总产值为a(1+10%)5,即1.15a.
故答案为：B.
【分析】首先写出x年后的总产值，然后求解最后一年该厂的总产值即可.
2.【答案】 B
【考点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】解：不等式 恒成立，即 ，即 恒成立，即 恒成立，所以 ，解得 ，所以实数 的取值范围是 ，
故答案为：B.
【分析】首先根据指数函_??°?????§è?¨????°?_不等式恒成立转化为 恒成立，利用判别式 ，从而求得实数 的取值范围.21cnjy.com
3.【答案】 C
【考点】指数函数的单调性与特殊点，对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：易知 ， ， ，所以 .
故答案为：C.
【分析】易知 ， ， ，根据 的范围即可比较出结果.
4.【答案】 D
【考点】指数函数的单调性与特殊点，对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解： ，即 ，又 ，
所以
故答案为：D.
【分析】先利用指数函数的性质比较 ，0的大小，再利用对数的性质比较 与0的大小，从而可比较出 ， ， 的大小关系【来源：21·世纪·教育·网】
5.【答案】 D
【考点】指数函数的单调性与特殊点，对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由指数函数的单调性有：
， .
由对数函数的单调性有：
所以 .
故答案为：D
【分析】由指数函数和对数函数的图像可以判断 和0, 1的大小，从而可以判断出答案.
6.【答案】 D
【考点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：令 ，解得 ，
此时 ，故得 ，此点与底数 的取值无关，
故函数 且 的图象必经过定点
故答案为：D．
【分析】由指数函数的定义可知，当指数为0时，指数式的值为1，故令指数 ，解得 ， ，故得定点 ．
7.【答案】 D
【考点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解： 或 ，即 ，或者 ，
当 时，有一个解，
当 时，有一个解，
所以 时，方程 有两个不等实根，
故答案为：D．
【分析】分离参数，再根据指数函数性质求出．
8.【答案】 C
【考点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】因为 ， ，所以 和 的图象关于 轴对称.
故答案为：C.
【分析】由函数 与 关于 轴对称，结合 ， ，可得出答案.
9.【答案】 D
【考点】指数函数的单调性与特殊点，对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴
故答案为：D.
【分析】 形式不同，故采取中间量法比较大小，分别和0，1进行比较即可得解.
10.【答案】 C
【考点】指数函数单调性的应用，对数函数的单调性与特殊点，幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】因为
对于A,当 时, 所以A不符合题意;
对于B,当 时, 为单调递减函数,所以 时 ,所以B不符合题意;
对于C,由换底 ,当 时 ,
所以 ,即 ,所以C符合题意;
对于D,因为 单调递减,而 ,所以 ,所以D不符合题意.
综上可知,C为正确选项.
故答案为：C
【分析】根据指数函数、对数函数和幂函数的图像与性质,结合单调性及特殊值即可判定选项.
二、填空题
11.【答案】 [0，+∞）
【考点】函数的定义域及其求法，指数函数单调性的应用
【解析】【解答】解：由题意可得 ，
解不等式可得
所以函数的定义域是[0，+∞），
故答案为：[0，+∞）
【分析】根据偶次方根的被开方数大于等于零，得到不等式，再根据指数函数的性质解不等式即可得函数的定义域．21教育网
12.【答案】 ①②⑤
【考点】复合函数的单调性，函数奇偶性的判断，指数函数的定义、解析式、定义域和值域
【解析】【解答】由 ，可知定义域为 ，故①正确；
，定义域为 ，所以 为偶函数，故②正确；
，当且仅当 时取等号，
所以函数的值域为 ，故③错误；
，令 ，则 ，
当 时， 为减函数，当 时， 为增函数，
因为 为增函数，
所以 在 为减函数，在 上为增函数，故④错误；
由 ， ，结合单调性作出函数的大致图像可知，
方程 有两个不相等的实数解，
故⑤正确.
故答案为：①②⑤
【分析】由指数函数的性质可得定义域，进而判断①；利用函数奇偶性的定义可判断②；利用复合函数的单调性以及奇偶性可判断③④⑤.www.21-cn-jy.com
13.【答案】
【考点】二次函数的性质，指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由已知 ，
令 ，则 ，
所以 ，
则当 即 时，y取得最小值 ，
当 即 时，y取得最大值13，
所以函数的值域为 ．
故答案为： ．
【分析】令 ，将问题转化为二次函数求解即可.
14.【答案】 （2,2）
【考点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】令 ，得 ，代入 得， ，
因此函数图象过定点（2,2）．
故答案为：（2,2）.
【分析】令解析式中的指数 求出x的值，再代入解析式求出y的值，即可求得结果.
15.【答案】 （-1,2）
【考点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】由题意，令 ，则 ，此时 ,
故所过定点为（-1,2）.
故答案为：（-1,2）.
【分析】根据指数函数的性质可知 恒过 ，故令 ，进而求解即可
16.【答案】 14
【考点】指数函数的实际应用
【解析】【解答】由题意列式 ，两边取对数得 ， ．
即至少需要过滤的次数为14．
【分析】先列出指数关系式，再两边取对数可得答案．
17.【答案】
【考点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】令 ，得 ，此时 ，
所以函数 （ 且 ）的图象必过定点 .
故答案为： .
【分析】令 可得定点的横坐标，进而可得定点的纵坐标.
18.【答案】 （1,4）
【考点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】令 ，即 ，有 .
所以 .
故答案为 .

【分析】利用指数函数的图象与性质，令 ，即可求出恒过点 的坐标.
19.【答案】 （2019,2020）
【考点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为 （ 且 ）
令 解得 ，则
故函数恒过点（2019,2020）
故答案为：（2019,2020）
【分析】令指数为0，即可求出函数恒过的定点.
20.【答案】 ；
【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域
【解析】【解答】要使函数 有意义，则
的定义域为
令 ，则 的值域即是 的值域，
又 在 上单调递增，
故 时， 的值域为
即 的值域是
故答案为：（1） ，（2）
【分析】（1）根据函数成立的条_??????????????????_义的条件即可求出函数的定义域；（2）令 ，则可把求 的值域转化为求 的值域，再根据函数的单调性求出函数的值域。2·1·c·n·j·y
三、解答题
21.【答案】 解：（Ⅰ）函数 的图象关于原点对称，
所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
解得 ， ；
（Ⅱ）由 ，由题设知 在 内有解，即方程 在 内有解.
在 内递增，得 .
所以当 时，函数 在 内存在零点.
【考点】函数奇偶性的性质，函数恒成立问题，指数函数综合题
【解析】【分析_????????????é?????_说明函数 是奇函数，因此有 恒成立，由恒等式知识可得关于 的方程组，从而可解得 ；（Ⅱ）把函数 化简得 ，这样问题转化为方程 在 内有解，也即 在 内有解，只要作为函数，求出函数的值域即得．
22.【答案】 （1）解：因为函数 的图象经过点 ，
所以 ．
（2）解：由 得 ，
因为函数在 上是减函数，
所以当 时，函数取最大值2，
故 ，
所以函数
故函数 的值域为 ．
【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域
【解析】【分析】（_1?????????é?????_，由待定系数法即可得答案；（2）结合（1）得 ，由指数函数性质即可得答案.21*cnjy*com
23.【答案】 （1）解： ，
，即 ，
， 又 ， ．
（2）解：由 知 ，
．
等价于 ??? 即 ，??? ，
即不等式的解集为
（3）解： ，
函数 在区间 上为减函数，
当 时，y有最小值为 ，
即 ，
，
解得 或 舍去 ，
所以 ．
【考点】指数函数单调性的应用，对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】_???1????????????_数函数的单调性即可求解；（2）由题意利用指数函数的性质求出 的范围，再利用指数?对数函数的性质，求得 的解集.（3）根据a的范围，利用对数函数的性质，求出a的值.【来源：21cnj*y.co*m】
24.【答案】 （1）解：由题意，函数 是定义在 上的奇函数，
所以 ，解得 ，
又由当 时， ，
当 时，则 ，可得 ，
又 是奇函数，所以 ，
所以当 时， ．
（2）解：因为 ， 恒成立，
即 在 恒成立，可得 在 时恒成立，
因为 ，所以 ，
设函数 ，根据基本初等函数的性质，可得函数 在 上单调递减，
因为 所以函数 的最大值为 ，
所以 ，即实数 的取值范围是 ．
【考点】函数解析式的求解及常用方法，函数的最值及其几何意义，函数奇偶性的性质，指数函数的定义、解析式、定义域和值域 【出处：21教育名师】
【解析】【分析】（1）由函数 是奇函数，求得 ，再结合函数的奇偶性，即可求解函数 在 上的解析式；（2）把 ，不等式 恒成立，转化为 ，构造新函数 ，结合基本初等函数的性质，求得函数的最值，即可求解．
25.【答案】 （1）解：由题意，根据指数函数的运算性质，可得 ，
由对数函数的运算性质，可得 ，
所以 ；
（2）解：由题意，可得集合 ，
因为 ，所以 ，解得 ，即实数 的取值范围 .
【考点】交集及其运算，指数函数单调性的应用，对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1） 、 ，利用交集的定义可求得集合 ；（2）求出集合 ，利用条件 可得出关于实数 的不等式，由此可解得实数 的取值范围.
26.【答案】 （1）解： ， ．
，
（2）解：设 ，则
，
两式相加得：
由（1）得：
，
∴ .
【考点】指数函数综合题
【解析】【分析】_???1?????????__ 的表达式，求出 的表达式，再进行分式通分运算，可得 ．（2）设 ，再把 的表达式运用加法交换律改写成 ，把两式相加利用 求出 的值．2-1-c-n-j-y
27.【答案】__???1???è§????_由题意，可得方程组 ，解得
（2）解：由(1)知 ．
由题意，可得 ，
即 ，即 ，解得 ．
所以至少排气 ，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态
【考点】指数函数的实际应用，指、对数不等式的解法
【解析】【分析】(1)将 和 分别代入 ,列方程组可解得 ,从而可得.(2) 由(1)知 ,然后利用指数函数的单调性解不等式 即可得到.21*cnjy*com
28.【答案】 （1）解：


（2）解：当 时， 为减函数，
则不等式 可化为： ，即 ，
解得： ，
当 时， 为增函数，
则不等式 可化为： ，即 ，
解得：
【考点】有理数指数幂的运算性质，指数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）直接根据指数的运算性质计算即可；（2）分为 和 两种情形，根据指数函数的单调性解不等式即可.21世纪教育网版权所有
29.【答案】 （1）解：因为函_??°??????è±????è??_点 ，故 ，故 .
（2）解： ，因为 ，所以 ，
所以 ，故函数的值域为 .
【考点】函数的值域，指数函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）利用图象经过的点得到关于 方程，从而可求 的值.（2）根据指数函数的性质可求函数的值域.21·世纪*教育网
30.【答案】 （1）解：∵
∴ 则
即 ,则函数 是增函数
由 ,得
得 ,
即实数 的取值范围是
（2）解： ,由题知 图象与 图象有两个不同交点,
由图知:
【考点】指数函数单调性的应用，函数与方程的综合运用，函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）由 的值，再利用指数函数的单调性解不等式，即可得答案；（2）作出函数 与 的图象，利用两个图象有两个交点，可得实数 的取值范围.