5.1 任意角和弧度制（Word解析版）

高中数学同步练习 人教A版 第一册
5.1 任意角和弧度制
一、单选题（共10题；共20分）
1.《九章算术》是我国古_?????????????????°_富的数学名著，卷一《方田》[三三]“今有宛田，下周六步，径四步问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长6步，其所在圆的直径是4步，问这块田的面积是（??? ）平方步？ 21世纪教育网版权所有
A.?12???????????????????????????????????????????B.?9???????????????????????????????????????????C.?6???????????????????????????????????????????D.?3
2.与角 终边相同的角为（??? ）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
3. 是（??? ）
A.?第一象限角???????????????????????B.?第二象限角???????????????????????C.?第三象限角???????????????????????D.?第四象限角
4.已知角 为锐角，则下列各角中为第四象限角的是（??? ）
A.???????????????????????????B.???????????????????????????C.???????????????????????????D.?
5.已知角 是第三象限的角,则角 是(??? )
A.?第一或第二象限的角???????????????????????????????????????????B.?第二或第三象限的角
C.?第一或第三象限的角???????????????????????????????????????????D.?第二或第四象限的角【版权所有：21教育】
6.已知扇形的圆心角为 ，面积为 ，则该扇形的半径为（??? ）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
7.一个圆锥的母线长为l，母线与轴的夹角为 ，则该圆锥侧面展开图的圆心角大小为（??? ）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
8.已知a是第一象限角，那么 是（? ?）
A.?第一象限角????????????????B.?第二象限角????????????????C.?第一或第二象限角????????????????D.?第一或第三象限角
9.已知扇形的圆心角为 ，面积为 ，则该扇形的周长为（??? ）
A.?????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
10.与角 终边相同的角是（??? ）
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
二、填空题（共10题；共10分）
11. 化为弧度，结果是________.
12.已知某扇形的周长是 ，面积为 ，则该扇形的圆心角的弧度数是________.
13.已如扇形的圆心角为 ，弧长为 ，则扇形的面积为________.
14.已知角 满足 且 ，则角 是第________象限的角．
15.已知扇形的圆心角为 ，半径为5，则扇形的面积为________.
16.大于 且终边与角 重合的负角是________.
17.已知一扇形的圆心角的弧度数为3，面积为12，则该扇形的半径为________．
18.若1弧度的圆心角所对的弧长为2 ，则这个圆心角所在的扇形面积等于________
19.将角120°化成弧度为________（用含π的代数式表示）.
20.已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半，则这个扇形的圆心角是________．
三、解答题（共10题；共90分）
21.已知角 .
（Ⅰ）把角 写成 （ ）的形式，并确定角 所在的象限；
（Ⅱ）若角 与 的终边相同，且 ，求角 .
22.某体育_é???????¨è????¨???_的边角地建一个矩形的健身室，如图所示， 是一块边长为100 的正方形地皮，扇形 是运动场的一部分，其半径是80 ，矩形 就是拟建的健身室，其中G、M分别在 和 上，H在 上，设矩形 的面积为S， .
（1）将S表示为 的函数；
（2）求健身室面积的最大值，并指出此时的点H在 何处？
23.如图，学校门口有_?????????????????°_ ，已知半径为常数R， ，现由于防疫期间，学校要在其中圈出一块矩形场地 作为体温检测使用，其中点A、B在弧 上，且线段 平行于线段 .取 的中点为E，联结 ，交线段 于点F.记 ，
（1）用 表示线段 和 的长度；
（2）当 取何值时，矩形 的面积最大？最大值为多少？
24.如图，已知扇形的圆心角∠AOB＝ ，半径为 ，若点C是 上的一动点(不与点A，B重合). 21教育名师原创作品
（1）若弦 ，求 的长；
（2）求四边形OACB面积的最大值.
25.已知扇形的圆心角为 ，所在圆的半径为 .
（1）若 ， ，求扇形的弧长；
（2）若扇形的周长为24，当 为多少弧度时，该扇形面积 最大？并求出最大面积.
26.已知函数 的部分图像如图所示.
（1）求函数 的解析式；
（2）若函数 在 上取得最小值时对应的角度为 ，求半径为2，圆心角为 的扇形的面积. 21*cnjy*com
27.已知一扇形的 ，所在圆的半径为R，若扇形的周长为40cm,当它的圆心角 为多少弧度时，该扇形的面积最大？最大面积为多少？
28.某房地产开发商_?????????????¤????_费者购房，决定在一块闲置的扇形空地中修建一个花园．如图，已知扇形 的圆心角 ，半径为200米，现欲修建的花园为平行四边形 ，其中 ， 分别在 ， 上， 在 上．设 ，平行四边形 的面积为 .
（1）将 表示为关于 的函数；
（2）求 的最大值及相应的 值．
29.已知角α的终边上有一点 .
（1）求与角α终边相同的角的集合；
（2）求 的值.
30.已知 ，且 有意义.

（1）试判断角 是第几象限角；
（2）若角 的终边上一点是 ，且 |OM|=1 （ 为坐标原点），求 的值及 的值.
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答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【考点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：因为弧长为6步，所在圆的直径为4步，
所以 （平方步）.
故答案为：C.
【分析】根据扇形面积公式，求出扇形面积.
2.【答案】 C
【考点】终边相同的角
【解析】【解答】与角 终边相同的角可写成
令 ，则
故答案为：C
【分析】根据终边相同角的概念，可写出与 终边相同角，调整参数即可求解答案.
3.【答案】 D
【考点】象限角、轴线角
【解析】【解答】依题意， ，所以 是第四象限角.
故答案为：D
【分析】将 表示为 的形式，由此判断出其所在象限.
4.【答案】 C
【考点】象限角、轴线角
【解析】【解答 为锐角，所以 为第二象限角； 为第三象限角；
为第四象限角；
为第三象限角．
故答案为：C
【分析】根据角 的范围，确定四个选项所在象限，即可得出答案.
5.【答案】 D
【考点】象限角、轴线角
【解析】【解答】(方法一) ,则 ,此时角 为第二象限的角;取 ,则 ,此时角 为第四象限的角. www.21-cn-jy.com
(方法二)如图,
先将各象限分成两等份,再从x轴正半轴起,逆时针依次将各区域标上一?二?三?四,
则标有三的区域即为角 的终边所在的区域,
故角 为第二或第四象限的角.
故答案为：D
【分析】可采取特殊化的思路求解，也可将各象限分成两等份,再从x轴正半轴起,逆时针依次将各区域标上一?二?三?四，则标有三的即为所求区域.21·世纪*教育网
6.【答案】 A
【考点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】由题知： ，故 .
故答案为：A
【分析】利用扇形面积公式 计算即可.
7.【答案】 D
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台），扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设半径为r，
由母线长为l，母线与轴的夹角为 ，
得： ，
则底面圆的周长为： ，
所以该圆锥侧面展开图的圆心角大小为： .
故答案为：D.
【分析】利用已知条件得到底面圆的半径，再利用求圆心角的公式代入即可得出结果.
8.【答案】 D
【考点】象限角、轴线角
【解析】【解答】依题意得 ，
则 ，
当 时， 是第一象限角
当 时， 是第三象限角
故答案为：D
【分析】根据象限角写出 的取值范围，讨论即可知 在第一或第三象限角
9.【答案】 A
【考点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】 ，故 ，周长为： .
故答案为：A.
【分析】通过面积计算得到 ，再计算周长得到答案.
10.【答案】 C
【考点】终边相同的角
【解析】【解答】与角 终边相同的角的集合为 ,
当 时, ,
故答案为：C
【分析】先写出角 终边相同的角的集合,再对k赋值,进而判断选项即可.
二、填空题
11.【答案】
【考点】弧度制、角度制及其之间的换算
【解析】【解答】 ,
,
,
故答案为：
【分析】根据角度制与弧度制的关系 ，转化即可.
12.【答案】 2
【考点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答_???è??????????????_径为 ，所对弧长为 ，则有 ，解得 ，故 .
故答案为：2.
【分析】由扇形的周长和面积，可求出扇形的半径及弧长，进而可求出该扇形的圆心角.
13.【答案】
【考点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】扇形的圆心角为 ，弧长为 ，
则扇形的半径 ，
面积为 ．
故答案为： ．
【分析】根据扇形的弧长公式求出半径，再计算扇形的面积．
14.【答案】 三
【考点】象限角、轴线角
【解析】【解答】由 ，所以 为第三、第四象限角；由于 ，所以 为第二、第三象限角.故 为第三象限角. 2·1·c·n·j·y
故答案为：三
【分析】根据三角函数在各个象限的符号，确定 所在象限.
15.【答案】
【考点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】因为扇形的圆心角为 ，半径为 ，所以扇形的弧长 ，
所以面积 .
故答案为： .
【分析】利用弧长公式先求解弧长，再利用扇形的面积公式求解.
16.【答案】 -285°
【考点】终边相同的角
【解析】【解答】大于 且终边与角 重合的负角是-285°.
故答案为：-285°
【分析】根据终边相同的角的概念进行判断.
17.【答案】
【考点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设该扇形的半径为 ，∵圆心角为3弧度，所以弧长为 ，
所以面积为 ，解得 ．
故答案为： ．
【分析】由扇形弧长公式得出扇形半径与弧长的关系，根据扇形面积公式可得半径．
18.【答案】 2
【考点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设扇形所在的圆的半径为 ，则 （ ），
故圆心角所在的扇形面积等于 .
故答案为：2.
【分析】算出扇形所在的圆的半径后可得扇形的面积.
19.【答案】
【考点】弧度制、角度制及其之间的换算
【解析】【解答】由 ，得120° .
故答案为：
【分析】利用弧度与度转化公式直接得到答案.
20.【答案】
【考点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设扇形 ，弧长 ，根据题意 ，解得 ，而圆心角 ，故答案填（ ）rad。
【分析】设扇形的半径 ，弧长 ，利用已知条件结合扇形的周长公式和圆的周长公式，建立关于扇形的半径和弧长的方程组，解方程组求出扇形的弧长和半径，从而利用弧长公式求出扇形的圆心角对应的弧度数。【来源：21·世纪·教育·网】
三、解答题
21.【答案】 解：（Ⅰ） , ,
.
角 与 终边相同,
角 是第二象限角.
（Ⅱ） 角 与 的终边相同,
设 .
,
由 ,可得 .
又 ,
.

【考点】终边相同的角
【解析】【分析】（Ⅰ_???????????????è§?_的转化,即可把角 写成 的形式.进而根据 的值确定 所在的象限;（Ⅱ）根据 与 的终边相同且 ,即可确定 的值.
22.【答案】 （1）解：延长 交 于N，则 ， ，
， ，
∴
，
（2）解：令 ，
则 ， ，
，
当 ，即 时，S取得最大值2000，
，
，
，或 ，
即 ，
∴当点H在 的端点E或F处时，该健身室的面积最大，最大面积为
【考点】三角函数中的恒等变换应用，三角函数的最值，扇形的弧长与面积
【解析】【分析】（ 交 于N，则 ， ，由此可求出答案；（2）令 ，则 ， ，化简函数并利用二次函数求出最值．21·cn·jy·com
23.【答案】 （1）解：因为E为 的中点， ，所以 且 ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，即 ，则 ，
所以
（2）解：由(1)知，矩形 的面积
，
由题意知， 当 时，
【考点】二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式，扇形的弧长与面积
【解析】【分析】(1)由题目已知 且 ，在直角三角形中，结合三角函数值可求出 ；由题目已知可求出 ，进而可知 ，结合 即可求出 的长度.(2)由(1)可求出面积的表达式，结合二倍角公式以及辅助角公式可求 ，结合 即可求出面积的最大值.
24.【答案】 （1）解：在△OBC中，BC＝4( －1)，OB＝OC＝ ，
所以由余弦定理得cos∠BOC＝ ，
所以∠BOC＝ ，
于是 的长为 × ＝ .
（2）解：设∠AOC＝θ，θ∈ ，则∠BOC＝ －θ，
S四边形OACB＝S△AO_C???S???BO_C＝ × × sin θ＋ × × ·sin ＝24sin θ＋ cos θ＝ ，由于θ∈ ，所以 ，当θ＝ 时，四边形OACB的面积取得最大值16 21教育网
【考点】三角函数的最值，扇形的弧长与面积，余弦定理，三角形中的几何计算
【解析】【分析】（_1?????¨???è§????_ 中，利用余弦定理求得 的余弦值，进而求得 的大小，再利用弧长公式计算出 的长.（2）设 ，利用三角形 和三角形 的面积表示出四边形 的面积，利用三角恒等变换进行化简，结合三角函数最值的求法，求得四边形 的面积的最大值.www-2-1-cnjy-com
25.【答案】 （1）解：∵ ， ,∴
（2）解：设扇形的弧长为 ，则 ，即 （ ）,
扇形的面积 ，
所以当且仅当 时， 有最大值36，???????
此时 ,∴
【考点】二次函数在闭区间上的最值，扇形的弧长与面积
【解析】【分析】（1）由已知利_??¨??§é???????????_可计算得解．（2）根据扇形的弧长与半径的关系，建立等式，然后根据面积公式转化成关于r的二次函数，通过解二次函数最值即可得到结论．
26.【答案】 （1）解：∵ ，∴根据函数图象，得 .
又周期 满足 ，∴ .解得 .
当 时， .? ∴ .
∴ .故 .
（2）解：∵函数 的周期为 ，∴ 在 上的最小值为-2.
由题意，角 满足 ，即 .解得 .
∴半径为2，圆心角为 的扇形面积为
.
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，扇形的弧长与面积
【解析】【分析】_???1?????±???è±?_观察，最值求出 ，周期求出 ，特殊点求出 ，所以 ；（2）由题意得 ，所以扇形面积 ．
27.【答案】 解：设扇形的弧长为 cm,由题意知，
∴
∴
∴当 时，扇形的面积最大；这个最大值为 .
此时，
故当扇形的圆心角 为2弧度时，该扇形的面积最大，最大面积为 .
【考点】二次函数在闭区间上的最值，扇形的弧长与面积
【解析】【分析】 设扇形的弧长 cm,由题意知， ,然后再利用 ,得到S关于R的函数求解即可.21*cnjy*com
28.【答案】 （1）解：如图，
过 作 于 ，过 作 于 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
（2）解：
，
∵ ，∴ ，
∴当 ，即 时， 取得最大值，且最大值为 平方米
【考点】函数的最值及其几何意义，扇形的弧长与面积
【解析】【分析】（1） 作 于 ，过 作 于 ，利用三角函数，求出 和 长度，即可求出 关于 的函数.（2）利用二倍角和辅助角公式化简函数解析式，通过 的范围求出 的最大值及相应的 值.2-1-c-n-j-y
29.【答案】 _???1???è§???????_为角α的终边上有一点 ， 所以 ，且角 的终边在第二象限. 因为 ， 所以与角 终边相同的角的集合为
（2）解：由（1）知 ， 所以 【来源：21cnj*y.co*m】





【考点】终边相同的角，任意角三角函数的定义，同角三角函数间的基本关系，诱导公式
【解析】【分析】（1）根据_???è§??????°??????_义可得 ，再根据特殊的三角函数值求出 ，最后根据终边相同的角的表示方法得解.（2）根据诱导公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代值计算可得.【出处：21教育名师】
30.【答案】 （1）解：因为 ，所以 ,由 有意义，可知 ，
所以角 是第四象限角.
（2）解：因为 ，所以 ，得 ，
又因为角 是第四象限角，
所以 ，所以 ,所以 .
【考点】函数的定义域及其求法，象限角、轴线角，任意角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据 得到 ，结合对数函数定义域求得 ，由此即可判断出 所在象限；
（2）由已知垂直关系列方程，求得 的值，再根据三角函数的定义，即可求得 的值.