4.5 函数的应用（二）（Word解析版）

高中数学同步练习 人教A版 第一册
4.5 函数的应用（二）
一、单选题（共10题；共20分）
1.函数 的零点所在的大致区间是（??? ）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
2.函数 的零点是（?? ）
A.????????????????????????????????B.? 和 ???????????????????????????????C.?1???????????????????????????????D.?1和-1
3.函数 的零点个数为（??? ）
A.?0个???????????????????????????????????????B.?1个???????????????????????????????????????C.?2个???????????????????????????????????????D.?3个
4.函数 的方程 有三个不同的实数解，则实数 的取值范围是（??? ）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
5.方程 的非空解集中有且最多有一个负实数元素的充要条件为（??? ）
A.? 或 ???????????B.? 或 ???????????C.? 或 ???????????D.? 或
6.下列区间，包含函数 零点的是（??? ）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
7.设函数 与函数 的图象交点坐标为 ，则 所在的大致区间是（??? ）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
8.已知函数 义域 上单调递增，且对于任意 ，方程 有且只有一个实数解，则函数 在区间 上的所有零点的和为（ ）
A.???????????????????????????B.???????????????????????????C.???????????????????????????D.?
9.已知函数 在 上由两个零点，则 的取值范围为（??? ）
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
10.若函数 在 上有零点，则实数 的取值范围（??? ）
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
二、填空题（共10题；共13分）
11.已知二次函数 ， 为实数.
⑴若此函数有两个不同的零点，一个在 内，另一个在 内则 的取值范围是________
⑵若此函数的两个不同零点都在区间 内，则 的取值范围是________.
12.已知函数 ，用二分法判断方程 在区间 内至少有________ 个实数解.
13. 在区间 上的零点的个数是________.
14.“一元二次方程 有两个正实数根”的一个充分不必要条件可以为________；一个必要不充分条件可以为________.
15.若三个关于 ， ， 中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围为________.
16.已知函数 直线 恰有两个交点，则实数 的取值范围是________.
17.如图， 的一条棱长为x，其余棱长均为2，记四面体 的表面积为 ，则函数 的定义域为________；最大值为________.
18.函数 的零点个数为________.
19.关于x的一元二次方程 在区间 上有实数解则实数m的取值范围为________.
20.设函数 __???????????????_ 的奇函数，且 ，当 时， ，则函数 在区间 上的所有零点的和为________.
三、解答题（共10题；共105分）
21.已知二次函数f_(x)?????????_项系数为a(a<0).1,3是函数y=f(x)+2x的两个零点.若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求f(x)的解析式.
22.对于定义 的函数 ，若同时满足下列两个条件：① 在 上具有单调性；②存在区间 ，使 在区间 上的值域也为 ，则称 为 上的“精彩函数”，区间 为函数 的“精彩区间”．
（1）判断 是否为函数 的“精彩区间”，并说明理由；
（2）判断函数 是否为“精彩函数”，并说明理由；
（3）若函数 是“精彩函数”，求实数 的取值范围．
23.已知函数 .
（1）求函数 的单调递减区间；
（2）若函数 在 上有两个零点，求实数 的取值范围.
24.已知一元二次方程 有两个不等实根 .
（1）求实数 的取值范围；
（2）若 且 ，求实数 的取值范围.
25.已知函数 ， .
（1）若不等式 的解集为 ，且 ，求a的值；
（2）当 时，求关于x的不等式 的解集.
26.设二次函数 ，其中a?b? .
（1）若 ， ，且关于x的不等式 的解集为 ，求a的取值范围；
（2）若a?b? ，且 ? 均为奇数，求证：方程 无整数根；
（3）若 ， ， ，求证：方程 有两个大于1的根的充要条件是 .
27.设函数 （ ）且 .
（1）求证：方程 有两个不同的实根；
（2）设 、 是方程 的两个不同实根，求 的取值范围；
（3）求证：方程 的两个不同实根 、 至少有一个在范围 内.
28.已知函数 .
（Ⅰ）设 ，用定义证明：函数 在 上是增函数；
（Ⅱ）若函数 ，且 在区间 上有零点，求实数 的取值范围.
29.已知函数 ．
（1）求 的单调递增区间；
（2）当 ，关于 的方程 恰有三个不同的实数根，求 的取值范围．
30.已知向量 ， ，函数 .
（1）求 的最小正周期及 图象的对称轴方程；
（2）若先将 的_???è±?????????????_纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后再向左平移 个单位长度得到函数 的图象，求函数 在区间 内的所有零点之和.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【考点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】根据条件， ， ， ，可得，
，所以，函数 的零点所在的大致区间是
故答案为：B
【分析】利用零点存在定理，计算求解即可
2.【答案】 D
【考点】函数的零点
【解析】【解答】令 得 ，所以函数 的零点是1和-1.
故答案为：D.
【分析】令 ，求出 的值，然后可得零点.
3.【答案】 A
【考点】根的存在性及根的个数判断，函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】令 ，其判别式为 ，
所以方程 无解，即函数 无零点.
故答案为：A.
【分析】令 ，计算判别式，即可判定函数的零点个数.
4.【答案】 C
【考点】根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】解：由题可知，函数 ，
当 时，得 ，当 时，得 ，
作出函数 和直线 的图象如下图：
观察图象，可知 时，直线与曲线有3个交点，
故实数 的取值范围是 .
故答案为：C.
【分析】由函数 可知 和 ，作出函数 和直线 的图象，观察图象即可得到直线与曲线有3个交点的情况的 的取值范围．
5.【答案】 A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】若方程 的非空解集中有且最多有一个负实数元素，
当 时， ，符合题意；
当 时，由方程 有实根，得到 ，解得 ；
若 ，则方程 有且仅有一个实根 ，符合题意；
若 且 _???????¨??????¤???_不等实根，设这两个实根分别为 ， ，若方程的解集中有且最多有一个负实数元素，则 ，即 ；21·cn·jy·com
当 或 时，关于 的方程 的解集中有且最多有一个负实数元素；
综上方程 的非空解集中有且最多有一个负实数元素的充要条件为 或 .
故答案为：A.
【分析】根据_é???????????è?¨è??_ 符合题意；再讨论 ，根据方程有实根，得到 ，分别讨论 ， 且 两种情况，即可得出结果.www-2-1-cnjy-com
6.【答案】 C
【考点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】根据函数解析式可知 在 上为单调递增函数
且
由零点存在定理可知,零点位于 内
故答案为：C
【分析】由函数单调性,结合零点存在定理,即可判断函数零点所在区间.
7.【答案】 B
【考点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】解：根据题意，设 ，
则 ，
即
函数 存在零点 ，
即函数 与函数 图象的交点横坐标 所在的区间为 ．
故答案为：B．
【分析】构造函数 ，判断函数 的零点在哪个区间即可．
8.【答案】 B
【考点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】数 定义域 上单调递增，且对于任意 ，方程 有且只有一个实数解，则 是连续函数,可得 ,画出 与 的图象,如图 【出处：21教育名师】
图象交点横坐标就是函数 的零点,由图知, 在区间 （ ）上的所有零点的和为 ,
故答案为：B.

【分析】利用任意?， 方程??有且只有一个实数解，则 是连续函数,可得 ,从而求出分段函数解析式，再利用分段函数解析式画出分段函数图象，再结合分段函数在定义域的单调性和两函数 与 的图象交点横坐标就是函数 的零点的等价关系，结合两函数 与 的图象求出函数??在区间??上的所有零点的和。
9.【答案】 B
【考点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】 ，由 ，又 ，
则可令 ，
又函数 在 上有两个零点，作图分析：
则 ，解得 .
故答案为：B.
【分析】先化简 ，再令 ，求出 范围，根据 在 上有两个零点，作图分析，求得 的取值范围.
10.【答案】 A
【考点】函数的值域，函数的零点
【解析】【解答】因为函数 在 上有零点，
所以方程 在 上有解，
设 ，
， ， ，
，
，
当 时，y取得最大值 ，当 时，y取得最小值 ，
故可得 ， .
故答案为：A.
【分析】由题意_???????????°é?????_的概念可得方程 在 上有解，令 ，通过换元法求得y在 上的值域即可得解.
二、填空题
11.【答案】 ；（3,4）
【考点】函数的零点与方程根的关系，函数零点的判定定理
【解析】【解_?????????1?????±_二次函数 有两个不同的零点，一个在 内，另一个在 ，函数对称轴为 ，结合二次函数的图像与零点存在性定理可知： ，即 ，解得 【版权所有：21教育】
所以 的取值范围是
⑵由二次函数 的两个不同的零点都在区间 ，函数对称轴为 ，结合二次函数的图像与零点存在性定理可知： ，即 ，解得
所以 的取值范围是
【分析】（1）结合二_????????°?????????_与零点存在性定理，得到关于 的不等式组 ，求解不等式组即可得结果.（2）结合二次函数的图像与零点存在性定理，得到关于 的不等式组 ，求解不等式组即可得结果.21·世纪*教育网
12.【答案】 1
【考点】二分法求方程的近似解，函数零点的判定定理
【解析】【解答】因为 ，
所以 ， ，
因此在 内存在零点，
又 ，
由 ，可得零点在 内，
因此 在 内至少有一个零点，
即方程 在区间 内至少有一个实数解.
故答案为：1.
【分析】由零点存在定理，根据二分法的步骤，即可得出结果.
13.【答案】 5
【考点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】 ,
时, , ，
当 时， 的解有 ，
的解有 ，
的解有 ,
故共有 5个零点，
故答案为：5
【分析】由 ，求出 的范围，根据正弦函数为零，确定 的值，再由三角函数值确定角即可.
14.【答案】 a＞3（答案不唯一）；a＞-1（答案不唯一）
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，一元二次方程的解集及其根与系数的关系，根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】解：因为一元二次方程 有两个正实数根，
所以 ，解得 .
所以一元二次方程 有两个正实数根的充要条件为 .
故一元二次方程 有两个正实数根的一个充分不必要条件可以为 ；
一元二次方程 有两个正实数根的一个必要不充分条件可以为 .
故答案为： ； .
【分析】先求使一元二次方程 有两个正实数根的充要条件，再根据条件求解即可.
15.【答案】
【考点】根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】解：_è????????????¨?é??_没有实根，则 ，解得 ，
所以当至少有一个方程有实根时， 或 ，
故答案为: .
【分析】结合判别式求出当三个方程都没有实根时的实数a的取值范围，进而可求出所求答案.
16.【答案】
【考点】函数与方程的综合运用
【解析】【解答】函数 定义域为
当 时,
当 时,
当 时,
画出函数图像如下图所示:
直线 过定点
由图像可知,当 时,与 和 两部分图像各有一个交点;
当 时,与 和 两部分图像各有一个交点.
综上可知,当 时与函数有两个交点
故答案为:
【分析】根据函数解析式,分类讨论即可确定解析式.画出函数图像,由直线所过定点,结合图像即可求得 的取值范围.21教育网
17.【答案】 ；
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，函数与方程的综合运用
【解析】【解答】设 ，取 的中点为N，连接 ，
则 ,且 .
在 中可得 .
取 的中点为M，连接 ，则 ,
又 ，所以
则 ，则定义域为
由 (当且仅当 ，即 时等号成立)
所以当 时， 有最大值 .
故答案为：8； ?.
【分析】设 的中点为N，连接 ，则 ,且 ,在 中可得 ,取 的中点为M，连接 ，则 , ,即得到函数的定义域，由 ， ，表示出 ，求出其最大值即可.
18.【答案】 6
【考点】根的存在性及根的个数判断，函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数 的零点，即方程 的解，令 ，
也就是函数 与 的交点，在同一平面直角坐标系中画出 与 的图象如下所示，由图可知 与 有6个交点，即 有6个零点.
故答案为：6
【分析】函数 的零点个数，令 ， ，转化函数 与 的交点个数，在同一平面直角坐标系中画出函数图象即可解答.
19.【答案】 m≤-1
【考点】根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】解： 关于x的二次方程 在区间 ， 上有实根， ，
且 ，即 ，故函数 的图象和直线 在区间 ， 上有交点．
当 时，在区间 ， 上函数 取得最小值为2，函数y无最大值，
， ．
故答案为： ．
【分析】由题意可得函数 的图象和直线 在区间 ， 上有交点，数形结合求得m的范围．
20.【答案】 6
【考点】奇函数，函数的周期性，函数的零点
【解析】【解答】由于函数 为定义域为 的奇函数，则 ，
，所以，函数 是周期为4的周期函数，
作出函数 与函数 在区间 上的图象，如下图所示：
由图象可知，函数 与函数 在区间 上的图象共有6个交点，
且有3对关于直线 对称，
因此，函数 在区间 上的所有零点的和为 .
故答案为：6.
【分析】推导出函数 是周期为4的周期函数 ，然后作出函数 与函数 在区间 上的图象，利用对称性可求得函数 在区间 上的零点之和.21世纪教育网版权所有
三、解答题
21.【答案】 解：因为1,3是y=f(x)+2x的两个零点,且a<0,
所以f(x)+2x=a(x-1)(x-3),
得f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.①
所以f(x)+6a=ax2-(2+4a)x+9a=0.②
又方程②有两个相等的实根,
所以Δ=[-(2+4a)]2-4a·9a=0,
即5a2-4a-1=0,
解得a=1(舍去)或a=- .
将a=- 代入①,得
f(x)=- x2- x- .
【考点】函数解析式的求解及常用方法，一元二次方程的解集及其根与系数的关系，函数的零点与方程根的关系 www.21-cn-jy.com
【解析】【分析】_??±é?????????????¨_待定系数法，f(x)+2x=a(x-1)(x-3),则f(x)+6a=ax2-(2+4a)x+9a=0.利用方程的判别式可得a=- .则f(x)=- x2- x- .2-1-c-n-j-y
22.【答案】 （1）解：由题意， 是 上的增函数，
易知 在 上的值域为 ，
所以函数 是“精彩区间”， 是该函数的“精彩区间”.
（2）解：不是精彩函数，证明如下：
因为函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以函数 在定义域 上不单调，不满足“精彩函数”的第一个条件，
所以函数 不是“精彩函数”.
（3）解：由题意，函数 的定义域为 ，且 在定义域上为单调递增函数，
因为函数 是“精彩函数”，所以方程 至少存在两个不等的实数解，
方程整理得 ，
所以该方程有两个不等_????????°??????è??_为 ，不妨设 ，则 ， ，
令 ，
由题意得， ，
即 ，解得 .
所以实数 的取值范围是 .
【考点】函数的最值及其几何意义，二次函数的性质，根的存在性及根的个数判断
【解析】【分析】（1）_?????¤????????°__ 是否满足“精彩函数”的条件，从而可判断 是否为函数 的“精彩区间”；（2）判断函数 是否满足“精彩函数”的条件即可；（3）由 是“精彩函数”，可知 至少存在两个不等的实数解，可转化为 有两个不等的实数根，两实根都不小于 和 ，结合二次函数的性质，求出 的取值范围.21cnjy.com
23.【答案】 （1）
.? ，
得： . 故函数 的单调递减区间为
（2）解：函数 在 上有两个零点，等价于方程 在 有两个不等的实根，即函数 在 上的图像与直线 有两个不同的交点.
作出函数 在 上的图像，由 得： .
【考点】函数单调性的性质，两角和与差的正弦公式，函数与方程的综合运用
【解析】【分析_??????1????????¨_两角和与差的正弦公式、降次公式和辅助角公式化简 解析式，根据三角函数的单调减区间的求法，求得 的单调减区间.（2）将 在 上有两个零点转化为 在 有 【来源：21·世纪·教育·网】
两个不等的实根，结合 在区间 上的图像，求得 的取值范围.
24.【答案】 （1_???è§??????±é?????_， ，解得 或 .
（2）解：由根与系数关系得， ， ， 21*cnjy*com
，
，解得 .
所以实数 的取值范围是 .
【考点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系，根的存在性及根的个数判断
【解析】【分析】（1）_??±???????????????_程有两个不等实根，可得 ，进而可求出实数 的取值范围；（2）由 ，可得 ，计算即可.【来源：21cnj*y.co*m】
25.【答案】 （1）解：因为 的解集为 ，
所以 为方程 的两个根
由韦达定理得： ，解得 .
（2）解：由 得： ，所以
⑴当 时，不等式的解集是
⑵当 时，不等式的解集是
⑶当 时
当 时， ，不等式的解集是 或
当 时，不等式可化为 ，不等式的解集是
当 时， ，不等式的解集是 或
综上可得：
当 时，不等式的解集是 ；
当 时，不等式的解集是 ；
当 时，不等式的解集是 或 ；
当 时，不等式的解集是 ；
当 时，不等式的解集是 或
【考点】一元二次不等式的解法，根的存在性及根的个数判断
【解析】【分析】（ 为方程 的两个根，用韦达定理构建方程解出来即可.（2） ，分情况讨论即可.21*cnjy*com
26.【答案】 （1）解：由 且解集为 ，
∴ 即 ，解得： .
（2）解： ， 均为奇数，知：a+b为偶数，
∴ 有两根为 ，则 ， ，
⒈当 、 __????????°??????_若 都为整数，则 、 必须同时可被 整除，显然不成立；若 为整数， 不为整数， 都为偶数，则 与题设矛盾；
⒉当 为奇数时，若 都为整数， 必为奇数，则 必有一奇一偶， 必为偶数，而 为奇数，不成立；若 ，整理得 ，当 为奇数时， 为偶数，则 为偶数，与题设矛盾；当 为偶数时， 为奇数，则 为偶数，与题设矛盾；
综上，知：方程 无整数根；
（3）解：由题意，知： ，
若 有两个大于1的根时，有 ，解得 ；
若 开口向上且对称轴为 ， ， ，所以 有两个大于1的根；
综上，有：方程 有两个大于1的根的充要条件是 .
【考点】二次函数的性质，一元二次方程的解集及其根与系数的关系，根的存在性及根的个数判断
【解析】【分_?????????1??????_据不等式解集为 ，结合分式、二次函数的性质即可求参数a的范围；（2）利用反证法，分类讨论 都为整数、 为整数， 不为整数，结合 、 的奇偶性即可证明；（3）根据二次方程根的分布列条件求解证明即可.21教育名师原创作品
27.【答案】 （1）证明：因为函数 （ ）且 ，
所以 ，即 ，
则方程 ，即 ，且 ，
，
所以方程 有两个不同的实根；
（2）解：因为 、 是方程 的两个不同实根，
，又因为 ，
所以 ，
所以 的取值范围：
（3）证明：当 时，因为 ，所以
因为 ，所以 ，
由（1）得： ，所以
所以 ，
所以方程 的两个不同实根 、 至少有一个在范围 内；
当 时，因为 ，所以 ，
因为 ，所以
所以 ，
所以方程 的两个不同实根 、 至少有一个在范围 内
综上所述：方程 的两个不同实根 、 至少有一个在范围 内
【考点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系，根的存在性及根的个数判断
【解析】【分析】（1） 得到 ，再判断 ，最后判断方程 有两个不同的实根；（2）先求出方程 的两个不同实根 ，再化简整理得 求出 的取值范围；（3）直接分两种情况讨论，当 时，化简整理得到 ，判断方程 的两个不同实根 、 至少有一个在范围 内；当 时，化简整理得到 ，判断方程 的两个不同实根 、 至少有一个在范围 内，最后判断方程 的两个不同实根 、 至少有一个在范围 内
28.【答案】 解：（Ⅰ）证明:由题意得 .
任取 ,且 ,
则

.
因为 ,且 ,
所以 , , ,
所以 ,
所以函数 在 上是增函数.
（Ⅱ）由题意 的定义域为 .由（Ⅰ）知, 在 上单调递增,
所以 在 上单调递增.
因为 在区间 上有零点,
所以
所以 .
【考点】函数单调性的判断与证明，函数零点的判定定理
【解析】【分_??????????????????_取 ,且 ,代入解析式可求得 ,变形后即可判断函数的单调性.（Ⅱ）先判断出函数 与 的单调性,即可根据零点存在定理求得 的取值范围.
29.【答案】 （1）解：令 ，
解得 ，
故 的单调递增区间为
（2）解： 等价于 ，
解得 或 ，
因为 ，所以 ， ，
如图，绘出函数 的图像，
方程 有三个不同的实数根等价于 有一个实数解且 有两个不同的实数解或 有两个不同的实数解且 有一个实数解，
①当 或 时， 无解，不符合题意；
②当 时，则 ， 有一个实数解， 有两个不同的实数解，符合题意；?
③当 时，则 ， 有两个不同的实数解， 有一个实数解，符合题意；
④当 时，则 ， 有一个实数解， 至多有一个实数解，不符合题意，
综上，m的取值范围为
【考点】函数的单调性及单调区间，函数的图象，函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）本题可根据_???????????°??????_调性得出 ，然后通过计算即可得出结果；（2）首先可通过 解得 或 ，然后绘出函数 在区间 上的图像，再然后将“有三个不同的实数根”转化为 有一个实数解且 有两个不同的实数解或 有两个不同的实数解且 有一个实数解，最后分为 或 、 、 、 四种情况进行讨论，即可得出结果.
30.【答案】 （1）解：由题 ， ，
所以

.
可得 ，即函数的最小正周期为 ，
令 ，解得
所以函数 的最小正周期为 ，对称轴方程为
（2）解：由（1）知 ，
将 的图象上每个点横坐标变为原来的2倍，可得 ，
然后将 向左平移 个单位长度得到函数 ，
令 ，即 ，
由图可知， 在 上有4个零点： ， ， ， ，
根据对称性有 ， ，
所以所有零点和为 .
【考点】数量积的坐标表达式，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的奇偶性与对称性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，函数的零点 2·1·c·n·j·y
【解析】【分析】（1）结合向量_?????°é???§???????_标运算，化简求得 ，再利用三角函数的图象与性质，即可求解；（2）根据三角函数的图象变换，求得 ，结合函数的零点的概念和正弦函数的图象的性质，即可求解.