5.3 诱导公式（Word解析版）

高中数学同步练习 人教A版 第一册
5.3 诱导公式
一、单选题（共10题；共20分）
1. （??? ）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
2.已知 ，则 等于（?? ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
3. （??? ）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
4. =（?? ）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
5.已知 ， 的值为（??? ）
A.?-3??????????????????????????????????????????B.?-1??????????????????????????????????????????C.?1??????????????????????????????????????????D.?3
6.已知 ，则 （?? ）
A.????????????????????B.?????????????????????C.?????????????????????D.?
7.已知 ，则 （??? ）
A.????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
8.化简 的值为（??? ）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
9.已知x∈R，则下列等式恒成立的是（?? ）
A.? ＝ ?????B.??????C.??????D.?
10.在 中，下列关系正确的是（??? ）
A.?
B.?
C.?
D.?
二、填空题（共10题；共12分）
11.设 ， ，则 之间的大小关系是________.（用“<”连接）.
12.求值： ________．
13.已知 为锐角，则 ________
14.已知 ，则 的值________
15.已知 ，则 ________.
16.已知 ，且 ，则 ________.
17.已知函数 ， ，有以下结论：
①函数 的最小正周期为π；
②函数 的最大值为2；
③将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象；
④将函数 的图象向左平移 个单位后得到函数 的图象.
其中正确结论的序号是________.
18.计算 _______； 的值是________.
19.已知 ，则 ________， ________.
20.若 ，则 ________.
三、解答题（共10题；共95分）
21.在 角A，B，C所对的边分别是 ，若 ， .
（1）求a；
（2）求 面积的最大值.
22.化简或求值：
（1） ；
（2）化简 .
23.已知角 点坐标 ， .
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）求 的值.
24.在锐角 __?????????è§?A_，B，C所对的边分别为a，b，c， ， ，AB边上中线CD长为4． 【来源：21cnj*y.co*m】
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）求 的面积．
25.如图，在 中，点 为边 上一点满足 ，且 .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
26.已知 分别为 三个内角 的对边，且满足： .
（1）求 ；
（2）若 ，且 ，求 的面积.
27.化简求值：
（1） ；
（2） .
28.求值：
（1） ；
（2） .
29.已知 .
（1）化简 ；
（2）若 ，且 ，求 的值．
30.在锐角三角形 ，b，c分别为角A，B，C的对边，且
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）若 ，求 的周长L的最大值.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【考点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】因为
则
由诱导公式可知
故答案为：B
【分析】将 先化为 的角,再结合诱导公式即可求得三角函数值.
2.【答案】 D
【考点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】通过观_???é??????????????_ 与 两角整体相加得 ，可由诱导公式的 ，所以 = ,
故答案为：D. 【出处：21教育名师】
【分析】利用角与角之间的关系式，结合诱导公式，从而求出 ?的值。
3.【答案】 C
【考点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】由题意可得 .
故答案为： C .
【分析】利用诱导公式即可求得.
4.【答案】 D
【考点】两角和与差的正弦公式，运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】原式= = = ，
故答案为：D.

【分析】利用诱导公式结合两角和的正弦公式，从而化简求值。
5.【答案】 B
【考点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】
故答案为：B.
【分析】根据诱导公式将分子、分母化为同角，即可求解.
6.【答案】 A
【考点】正弦函数的图象，余弦函数的图象，运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】因为 ，所以
.
故答案为：A.
【分析】由题意结合诱导公式和三角函数的性质化简三角函数式即可.
7.【答案】 D
【考点】二倍角的余弦公式，运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】 ，

.
故答案为：D.
【分析】利用诱导公式化简已知可得 ,进而利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求即可计算得解.【版权所有：21教育】
8.【答案】 B
【考点】两角和与差的余弦公式，诱导公式
【解析】【解答】


.
故答案为：B.
【分析】利用诱导公式将 化为 ，再根据两角和的余弦公式可求得结果.
9.【答案】 A
【考点】诱导公式
【解析】【解答】∵ ＝ ，A成立；∵ ，B不成立；
∵ ，C不成立；∵ ，D不成立，
故答案为：A
【分析】利用诱导公式，判断各个选项中的式子是否成立，从而得出结论．
10.【答案】 B
【考点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】 中， ，
A选项， ，A不符合题意；
B选项， ，B符合题意；
C选项， ，C不符合题意；
D选项， ，D不符合题意.
故答案为：B
【分析】 中， ，利用三角函数诱导公式逐项验证.
二、填空题
11.【答案】 b＜a＜c
【考点】正弦函数的单调性，诱导公式
【解析】【解答】 ，因为 ，所以 ，
又 ，所以 .
故答案为：
【分析】利用诱导公式 ，再利用正弦函数的单调性即可求出 ，由 ，即可求解.
12.【答案】
【考点】两角和与差的正弦公式，运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】依题意原式
.
故答案为：
【分析】利用诱导公式和两角差的正弦公式进行化简求值.
13.【答案】
【考点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】由 为锐角，有
则
故答案为：
【分析】先根据条件求出 ，然后由诱导公式可得 ，得出答案.
14.【答案】
【考点】同角三角函数间的基本关系，运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】设 ，则 ，
所以
故答案为：
【分析】设 转化为 的函数，再利用诱导公式以及同角三角函数关系求解.
15.【答案】
【考点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解 ，所以 .
故答案为： .
【分析】直接利用诱导公式计算得到答案.
16.【答案】 1
【考点】两角和与差的余弦公式，运用诱导公式化简求值
【解析】【解答 ，且 ，则
故答案为：1.
【分析】由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．
17.【答案】 ①④
【考点】二倍角的正弦公式，正弦函数的图象，诱导公式，正弦函数的周期性
【解析】【解答】 ， .
因为 ，
所以 的最小正周期为： ，故结论①正确；
因为 的最大值为 ，所以结论②不正确；
因为函数 的图象向右平移 个单位后得到函数的解析式为：
，所以结论③不正确；
因为函数 的图象向左平移 个单位后得到函数的解析式为：
，所以结论④正确.
故答案为：①④
【分析】利用诱导公式化简两个函数的解析式，根据二倍角的正弦公式，结合正弦型函数的性质逐一判断即可.
18.【答案】 ；
【考点】两角和与差的余弦公式，两角和与差的正弦公式，诱导公式
【解析】【解答】空1：
空2：
故答案为： ；
【分析】空1；根据两角和的余弦公式，结合特殊角的三角函数值进行求解即可；
空2：根据诱导公式，逆用两角和的正弦公式，结合特殊角的三角函数值进行求解即可.
19.【答案】 ；
【考点】二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式，同角三角函数间的基本关系，诱导公式
【解析】【解答】 ， ，所以 ， ，
， .
故答案为： ； .
【分析】先根据诱导公式求出 ，再由同角三角函数的关系求出 ，最后再由正余弦的二倍角公式求得结果即可.21cnjy.com
20.【答案】 -3
【考点】两角和与差的正切公式，同角三角函数间的基本关系，诱导公式
【解析】【解答】解：由已知得 ，所以 ，
所以 ，
故答案为：-3．
【分析】由条件通过诱导公式和同角三角函数基本关系求出 ，进而利用两角和的正切公式可求出 ．
三、解答题
21.【答案】 （1）解：因为 ，
所以 ， ，
由正弦定理可得 ? ，
因为 ，所以
（2）解：由余弦定理可得 ，
即 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，
所以 面积的最大值为 .
【考点】基本不等式在最值问题中的应用，二倍角的正弦公式，诱导公式，正弦定理，余弦定理
【解析】【分析】（1）先利_??¨??????è§???????_化简，再用诱导公式化简，然后利用正弦定理把角统一成边，再结合 可求出a的值；（2）由余弦定理得 ，从而可得 ，再利用三角形面积公式，结合基本不等式可求出 面积的最大值.
22.【答案】 （1）解：原式



（2）解：原式



=-1
【考点】同角三角函数间的基本关系，运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简计算即可；（2）利用同角三角函数的平方关系以及诱导公式化简计算可得出答案.2·1·c·n·j·y
23.【答案】 _???1???è§???????_ 终边过点 ，∴ ， ， ，




=-3
（2）解：



（3）解：





【考点】两角和与差的余弦公式，两角和与差的正弦公式，两角和与差的正切公式，任意角三角函数的定义，运用诱导公式化简求值 【来源：21·世纪·教育·网】
【解析】【分析】（_1?????±?????????_数定义求出 ， ， ，用诱导公式化简后可得；（2）用两角和的正切公式计算；（3）用两角和的正弦、余弦公式变形后代入 的值即得．
24.【答案】 解：（Ⅰ）∵ ， ，
∴ ， ，
，
∴ ．
（Ⅱ）∵ ，设 ， ， ，
由余弦定理： ， ， ∴ ，
在 ，即 ，解得 （ 舍去），
∴ ， ，

【考点】两角和与差的余弦公式，运用诱导公式化简求值，余弦定理
【解析】【分_?????????????????±_诱导公式和两角和的余弦公式可得 ；（Ⅱ）在 中，由正弦定理得 ，设 ， ， ，由余弦定理得 ，再在 中，由余弦定理求得 ，从而得各边长，由面积公式可得三角形面积．21·cn·jy·com
25.【答案】 （1）解：因为 ， ， ，
所以
；
（2）解：设 ，则 ，
所以在 中，由正弦定理可得 ，
所以 ，所以 .
【考点】二倍角的余弦公式，诱导公式，正弦定理
【解析】【分析】_???1?????±???é??_几何的知识结合诱导公式可得 ，再由余弦的二倍角公式即可得解；（2）设 ，则 ，由正弦定理可得 ，即可得解.
26.【答案】 （1）解：因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 即 ；
（2）解：因为 ， ，
所以 ，
又在 中，由余弦定 ，所以 ，
所以 ，所以 .
【考点】平面向量数量积的运算，二倍角的正弦公式，诱导公式，正弦定理
【解析】【分_?????????1?????±_题意结合正弦定理、诱导公式、二倍角公式可得 ，即可得解；（2）由平面向量数量积的定义及运算律可得 ，再由余弦定理可得 ，求得 后，由三角形面积公式即可得解.21教育网
27.【答案】 （1）解：





.
（2）解：






.
【考点】两角和与差的正弦公式，同角三角函数间的基本关系，运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦、余弦、正切公式计算可得；（2）利用同角三角函数的基本关系及诱导公式以及两角和的正弦公式计算可得；21·世纪*教育网
28.【答案】 （1）解: 原式



.
（2）解: 原 .
【考点】两角和与差的余弦公式，两角和与差的正切公式，诱导公式
【解析】【分析】（1）利用_è?±???????????????_ , ,再利用余弦的差角公式求解即可；（2）利用正切的和角公式求解即可.www-2-1-cnjy-com
29.【答案】 （1）解_???f(?±)???_ ＝sin α·cos α.
（2）解：由f(α)＝sin α·cos α＝ 可知，2-1-c-n-j-y
(cos α_???sin_?±_)2＝cos2α－2sin α·cos α＋sin2α＝1－2sin α·cos α＝1－2× ＝ www.21-cn-jy.com
又∵ ＜α＜ ，? ∴cos α＜sin α，即cos α－sin α＜0.
∴cos α－sin α＝ .
【考点】同角三角函数间的基本关系，诱导公式
【解析】【分析】（1）利用三角函_??°???è?±?????????_，即可化简得到 ； （2）由（1）和 得 ，进而可得 的值．21*cnjy*com
30.【答案】 解：（Ⅰ）∵ ，∴ ①，
∵ ，∴ ②，
又 ③， ④，
将①②③④代入已知，得 ，
得 ，即 ，
又 ，∴ ，即 .
（Ⅱ）由正弦定理得，

∵ ，∴ ，
当 时，即 ， 的周长 .
【考点】两角和与差的余弦公式，两角和与差的正弦公式，诱导公式，正弦定理
【解析】【分析】(_???)??±é????????_用诱导公式和两角和差正余弦公式得到关于A的三角方程，然后结合角的范围即可确定∠ 的大小；(Ⅱ)由题意结合正弦定理将边长整理为关于∠B的三角函数式，然后结合三角函数的性质和角的范围即可求得周长的最大值.21世纪教育网版权所有