5.5 三角恒等变换（Word解析版）

高中数学同步练习 人教A版 第一册
5.5 三角恒等变换
一、单选题（共10题；共20分）
1.若 ， ，则 （??? ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
2.已知 的值等于（??? ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
3.若 ， ，则 （??? ）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.?-1?????????????????????????????????????????D.?1
4.已知 ，则 =（??? ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
5.设函数 ，其中m、n、 、 为已知实常数， ，有下列四个命题：（1）若 ，则 对任意实数x恒成立；（2）若 ，则函数 为奇函数；（3）若 ，则函数 为偶函数；（4）当 时，若 ，则 （ ）；则上述命题中，正确的个数是（??? ）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
6.已知 ，则 （??? ）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.?1??????????????????????????????????????????D.?
7. （??? ）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
8.若 ，则 （??? ）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?21*cnjy*com
9.设单位向量 ，则 的值为（?? ）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
10.当 函数 取得最小值，则 的值为（??? ）
A.?- ?????????????????????????B.??????????????????????????C.?- ?????????????????????????D.?【出处：21教育名师】
二、填空题（共10题；共10分）
11.若 ， ， ，则 ________.
12.已知 ， ，则 ________.
13.已知 都是锐角， ，则 =________
14.若 ，则 ________.
15.函数 的最小正周期是________
16.若 ，则 ________.
17.已知 ，则 ________．
18.若 ，则 ________.
19.已知 ，则 ________．
20.已知 ，则 的值为________.
三、解答题（共10题；共100分）
21.已知 ， .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
22.在 中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c， ．
（1）求角C的大小；
（2）若 ， ．求：
（ⅰ）边长c；
（ⅱ） 的值．
23.???
（1）已知 ， ，求x；
（2）已知 ， ，求 的值．
24.已知 ， ，且 .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
25.在 中，角 的对边分别为 ，已知 成等比数列，且 ．
（1）若 ，求 的值；
（2）求 的值．
26.已知向量 ， ，
（1）若 ，求 的值﹔
（2）若 ，求 值.
27.在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .
（1）求 的大小；
（2）若 ，且 的面积为 ，求 .
28.求下列各式的值.
（1） ；
（2） .
29.已知 ，其中 为锐角，
（1）求 的值；
（2）求 的值.
30.如图，海_é????????è?°?§?è??_正以每小时 15 海里的速度沿方位角120?方向航行，距离走私船18 海里处的缉私艇测得该走私船当前的方位角为 ，并即刻以每小时 21 海里的速度径直追赶．
（1）求缉私艇追上走私船所需的最短时间;
（2）求缉私艇用时最短的追赶方向(方位角 )的余弦值
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【考点】二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：
故
又
即
由 ，
解得： .
故答案为：B.
【分析】根据 ，先求出 ，利用二倍角公式可以解出结果.
2.【答案】 B
【考点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】 .
故答案为：B.
【分析】利用两角和与差的正弦公式求得答案.
3.【答案】 A
【考点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】由 ，
故答案为：A
【分析】由两角差的正切公式直接计算．
4.【答案】 C
【考点】两角和与差的正切公式，二倍角的正弦公式
【解析】【解_??????è§??????±__ 得 ，即 ，
解得 ，
因为 ，
所以
故答案为：C
【分析】由 化简求出 的值，而 ，从而可求得结果.
5.【答案】 C
【考点】函数奇偶性的判断，三角函数中的恒等变换应用，两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】
不妨设 ． 为已知实常数.
若 ，则得 ；若 ，则得 ．
于是当 时， 对任意实数 恒成立，即命题（1）是真命题；
当 ，它为奇函数，即命题（2）是真命题；
当 ，它为偶函数，即命题（3）是真命题；
当 时，令 ，则
，
上述方程中，若 ，则 ，这与 矛盾，所以 ．
将该方程的两边同除以 得
，令 （ ），
则 ，解得 ?（ ）．
不妨取 ， （ 且 ），
则 ，即 （ ），所以命题（4）是假命题．
故答案为：C
【分析】利用两角和的余弦公式化简 表达式.
对于命题（1），将 化简得到的表达式代入上述 表达式，可判断出（1）选项的真假；
对于命题（2）选 化简得到的表达式代入上述 表达式，可判断出 为奇函数，由此判断出（2）选项的真假；21·cn·jy·com
对于命题（3）选项，将 简得到的表达式代入上述 表达式，可判断出 为偶函数，由此判断出（3）选项的真假；2-1-c-n-j-y
对于命题（4）选项，根据 、 ，求得 的零点的表达式，进而判断出（4）选项的真假.
6.【答案】 D
【考点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】 ．
故答案为：D．
【分析】由两角差的正切公式计算．
7.【答案】 C
【考点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】 ．
故答案为：C
【分析】利用两角和的余弦公式的逆应用即可求解.
8.【答案】 C
【考点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】 ，

，
，
，
，
故答案为：C.
【分析】利用配角得 ，再利用两角差的余弦公式，即可得答案；
9.【答案】 A
【考点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】由题设 ，则 ，
故答案为：A．

【分析】利用已知_??????????????????_向量的模，从而 ， 再利用二倍角的余弦公式变形，从而求出 的值。21cnjy.com
10.【答案】 A
【考点】两角和与差的正弦公式，同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】由题可知：
所以 ，则
所以
所以
故答案为：A
【分析】利用辅助角公式可知函数 然后把 代入结合平方关系可得 ，最后利用两角和的正弦公式计算可得结果.21·世纪*教育网
二、填空题
11.【答案】
【考点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 ，
所以 ，
同理可得： ，
故
.
故答案为： .
【分析】由于 ，利用两角和差公式可求出 的值.
12.【答案】 2
【考点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】由 得 ，解得 .
故答案为：2
【分析】利用两角和的正切公式列方程，解方程求得 的值.
13.【答案】
【考点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】∵ 都是锐角，∴ ，
又 ，
∴ ， ，
∴
．
故答案为 ．
【分析】由已知求出 ，再由两角差的正弦公式计算 ．
14.【答案】
【考点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：因为 ，所以
故答案为：
【分析】利用两角差的正切公式计算可得；
15.【答案】
【考点】二倍角的余弦公式，三角函数的周期性及其求法
【解析】【解答】解：f（x）＝1﹣2sin2x＝cos2x
∴函数最小正周期T π
故答案为π．
【分析】先利用二倍角余弦公式对函数解析式进行化简整理，进而利用三角函数最小正周期的公式求得函数的最小正周期．21教育网
16.【答案】
【考点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】因为 ，
所以 .
故答案为：
【分析】直接使用二倍角余弦公式代入求值即可..
17.【答案】
【考点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】 ，
。

【分析】利用已知条件 ， 结合二倍角的余弦公式，从而求出角的余弦值。
18.【答案】
【考点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】
因为 ，
所以 ，
故答案为： .
【分析】本题首先可以根据 以及 对原式进行化简，然后根据 即可得出结果.
19.【答案】
【考点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】 ，由二倍角的余弦公式可得， ，故答案为 。
【分析】利用已知条件结合二倍角的余弦公式，从而求出角的余弦值。
20.【答案】
【考点】二倍角的正切公式，同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】 时，等式不成立，
当 时，分子和分母上下同时除以 ，得 ，
解得：
.
故答案为：
【分析】首先分子和分母上下同时除以 ，求得 ，再利用二倍角公式求解.
三、解答题
21.【答案】 （1）解：因为 ， ，
所以 ，
所以
，
即
（2）解： ，
，


即
【考点】两角和与差的余弦公式，两角和与差的正弦公式
【解析】【分析】（1）利用两角和差公式求解；（2）利用二倍角公式、两角和差公式求解.
22.【答案】 （1）解：由已知及正弦定理得
， ，
，
（2）解：（ⅰ）因为 ， ，
由余弦定理得 ，
（ⅱ）由 ，因为 为锐角，所以
， ，

【考点】两角和与差的正弦公式，正弦定理，余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正_????????????????·?_知条件，求得 的值，由此求得角C的大小.（2）（ⅰ）已知两边和夹角，用余弦定理求得边c；（ⅱ）由两角差的正弦公式求得 的值.
23.【答案】 （ ， ，即 或 .
当 时，
（2）解：由 ，得 ， ∴ ，
【考点】三角函数的化简求值，两角和与差的正切公式
【解析】【分析】（1）利用特殊角的函数值，可求x的值.（2）先求 的值，再根据两角差的正切可求 的值．www.21-cn-jy.com
24.【答案】 （1）解 ， ，得 .
.
则
（2）解:由 ，得 ，
所以 .



【考点】两角和与差的正弦公式，二倍角的正切公式，同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】(1)_?????¨????????????_得出 的值，再由商数关系得出 ，结合二倍角的正切公式计算即可；(2)由平方关系得出 的值，再由 结合两角差的余弦公式求解即可.2·1·c·n·j·y
25.【答案】 （_1???è§??????±__ ，得 ， 成等比数列， ，
由余弦定理 ，得 ，则 ，故
（2）解：由 得 ，由 及正弦定理得 ，
于是
【考点】等比数列的性质，两角和与差的正弦公式，正弦定理，余弦定理
【解析】【分析】（1）_??±???é?????é????°_量积可得 ，根据等比数列的性质可得 ，结合余弦定理可得 ；（2）由 ，得 ，由 及正弦定理得 ，通分，利用两角和的正弦公式化简 .
26.【答案】 （1）解：由 得， ，
，

（2）解：由 得，
，


【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示，数量积判断两个平面向量的垂直关系，二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系的运用 【来源：21·世纪·教育·网】
【解析】【分析】（1）由向量垂直知数量积为0，化简即可求解（2）根据向量平行的性质，可得 ，根据弦化切即可求解.www-2-1-cnjy-com
27.【答案】 （1）解：因为 ，即 ，
由正弦定理得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
又 是 的内角，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 .
（2）解：因 ，所以 ，又 ，所以 ，
由余弦定理 ，
所以 .
【考点】两角和与差的正弦公式，正弦定理，余弦定理
【解析】【分析】(1)_?????¨????????????_及两角差的正弦公式可得 ，根据 的范围即可求出 的大小；(2)利用三角形的面积公式 可求出 ，再由余弦定理即可求出 .
28.【答案】 （1）解：原式 ；




（2）解：原式



【考点】弦切互化，两角和与差的正弦公式，二倍角的正弦公式
【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简即可；（2）先切化弦，再利用两角差的正弦公式化简即可.【来源：21cnj*y.co*m】
29.【答案_???_???1???è§?_：化简 得： ，又因为 ，且 为锐角，所以可得： .
且由 可得： .




（2）解：因为 ;
所以
【考点】二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式，二倍角的正切公式，同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）化简已知 ，再与 且 为锐角联立解方程可得： ,再通过诱导公式化简并代入 与 的值即可求得答案；（2）通过二倍角公式化简并代入 即可求得答案.
30.【答案】 （1）解：如下图所示，
在 点处缉私舰赶上走私舰
在 中， ，
，设缉私艇追上走私船的最短时间为 小时，
则 ；
即 ，
化简得 ，
解得 或 （不合题意，舍去）；
所以缉私艇追上走私船所需的最短时间是2小时；
（2）解： 中， ， ， ，
所以 ，
所以 ，

，
所以缉私艇用时最短的追赶方向（方位角 的余弦值是 ．
【考点】两角和与差的余弦公式，余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）_è??????§?è??è?????_走私船的最短时间为 小时，利用余弦定理列方程求出 的值；（2）利用余弦定理和两角和的余弦值，即可求出缉私艇用时最短的追赶方向（方位角 的余弦值．21世纪教育网版权所有