5.4 三角函数的图象与性质（Word解析版）

高中数学同步练习 人教A版 第一册
5.4 三角函数的图象与性质
一、单选题（共10题；共20分）
1.将函数 的图象向右平移 个单位长度得到 的图象，若函数 在区间 上单调递增，且 的最大负零点在区间 上，则 的取值范围是（??? ）
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
2.已知函数 的最小正周期为 ，将函数 的图象沿 轴向右平移 个单位，得到函数 的图象，则下列说法正确的是（??? ）
A.?函数 在 上是增函数?????????????????????????B.?函数 的图象关于直线 对称
C.?函数 是奇函数?????????????????????????????????????????????D.?函数 的图象关于点 中心对称
3.已知函数 的图象关y轴对称，则实数 的取值可能是（??? ）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
4.将曲线 的每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到的曲线的对称中心为(??? ) 21教育名师原创作品
A.?
B.?
C.?
D.?
5.已知函数 在区间 （其中 ）上单调递增，则实数a的取值范围是（??? ）
A.??????????B.??????????C.??????????D.?
6.已知函数 ， 的值域为 ，则 的值不可能是（??? ）
A.?1??????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
7.如图所示，函数 的部分图象与坐标轴分别交于点 ，则 的面积等于（??? ）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
8.函数 的定义域是（??? ）
A.???????????????????????????????B.?
C.??????????????????????????D.?2-1-c-n-j-y
9.函数y＝tan 的定域是（??? ）
A.???????????B.???????????C.???????????D.?
10.已知函数 ， 时， 有唯一解，则满足条件的 的个数是（??? ）
A.?5???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????????D.?8
二、填空题（共10题；共11分）
11.函数y=tan（ + ），x∈（0， ]的值域是________．
12.已知函数 ，若实数 互不相等，且满足 ，则 的取值范围是________.
13.已知方程 在区间 内有两个相异的解 ，则k的取值范围是________．
14.函数 的最小值为________.
15.函数 的图象向右平移 个单位后与函数 的图象重合，则下列结论正确的是________.
① 的一个周期为 ；??????? ② 的图象关于 对称；
③ 是 的一个零点；??? ④ 在 单调递减；
16.关于函数 ，有下列命题：
① 为偶函数；
②方程 的解集为 ；
③ 的图象关于点 对称；
④ 在 内的增区间为 和 ；
⑤ 的振幅为4，频率为 ，初相为 ．
其中真命题的序号为________．
17.函数 的单调递增区间为________.
18.函数y＝3tan(2x＋ )的对称中心的坐标为________．
19.使不等式 －2sinx≥0成立的x的取值集合是________.
20.已知函数 的图象关于原点对称，且其周期为2，则 ________， ________.
三、解答题（共10题；共90分）
21.已知函数 （ ， ， ）的部分图象如下图所示.
?
（1）求 的解析式；
（2）求函数 在 的单调减区间.
22.已知函数
（I）求 的值
（II）求 的最小正周期及单调递增区间.
23.已知函数 = (其中 )的图象与x轴的相邻两个交点之间的距离为 ,且图象上一个最高点为
（1）求 的解析式和单调增区间;
（2）当 ],求 的值域.
24.已知函数 .
（Ⅰ）求函数 的最小正周期以及 在区间 上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若 ， ，求 的值.
25.已知函数 （ ， ， ）的一段图像如下图所示，
（1）求函数 的解析式；
（2）求函数 的单调增区间；
26.已知函数 ；
（1）求 的最小正周期及对称中心；
（2）若 ，求 的最大值和最小值.
27.已知函数
（1）求函数 的定义域及最小正周期；
（2）求函数 的单调增区间.
28.已知函数 ， .
（1）求 的单调递增区间；
（2）若 ，求 的值域.
29.已知函数 .
（1）若函数 在区间 上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）求函数 在区间 上的所有零点之和.
30.已知函数 ， ．
（1）求函数 的单调减区间；
（2）若存在 ，使等式 成立，求实数 的取值范围．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【考点】正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】将函数 的图象向右平移 个单位长度,
可得 ，
在区间 上单调递增， 的最大负零点在区间 上，
? ，
即 ，①
令 ，得 ，
又 的最大负零点在区间 上，
所以只需 ,
解得 ②
由①②及已知条件可知 ，
故答案为：B
【分析】先根据图象的变 ，根据函数的单调性确定 时， ， 的最大负零点在区间 上只需由 解得 ,求 的交集即可.21世纪教育网版权所有
2.【答案】 A
【考点】正弦函数的奇偶性与对称性，正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，得 ，
∴ ，
∴ ，
对于A，由 ， ，此时 单调递减，则函数 单调递增，则A对；
对于B，由 得， ，则B不符合题意；
对于C， ，则函数 是偶函数，则C不符合题意；
对于D，由 得， ，则D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】由辅_???è§????????????¨_期公式可求得 ，再根据图象变换可求得 ，再根据整体法和三角函数的性质逐一判断各选项即可．21教育网
3.【答案】 C
【考点】正弦函数的奇偶性与对称性
【解析】【解答】因为函数 的图象关 轴对称，
所以有 ，
结合选项，可知C项满足条件，
故答案为：C.
【分析】首先利用正弦型函数的对称轴的特征，得到等量关系式，观察选项求得结果.
4.【答案】 A
【考点】正弦函数的奇偶性与对称性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】将曲线 上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍后得到曲线 ,
令 ,得
故答案为：A
【分析】由图像变换原则可得新曲线为 ,令 求解即可
5.【答案】 B
【考点】正弦函数的单调性
【解析】【解答】解： 函数 在区间 （其中 ）上单调递增，
则 ，求得 ，故有 ，
故答案为：B．
【分析】由条件利用正弦函数的单调性，可得 ，求得a的范围．
6.【答案】 C
【考点】正弦函数的定义域和值域
【解析】【解答】 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
解得 .
故答案为：C.
【分析】得到 后，根据正弦函数的图象和性质可得结果.
7.【答案】 A
【考点】三角函数的周期性及其求法，正切函数的图象，三角形中的几何计算
【解析】【解答】在 中，令 ，得 ，故 ，
又因为函数 的最小正周期为 ，所以 ，
∴ ，
故答案为：A。

【分析】利用函数图象与_yè???????¤??????_D，令 ，得 ，从而求出点D的坐标，从而求出OD的长，再利用正切型函数的最小正周期公式，从而求出EF的长，再利用三角形面积公式，从而求出三角形 的面积。21·cn·jy·com
8.【答案】 C
【考点】函数的定义域及其求法，余弦函数的图象
【解析】【解答】解：由 得： .
所以函数 的定义域是 .
故答案为：C.
【分析】根据函数的定义域得到： ，求解不等式即可得出定义域.
9.【答案】 C
【考点】正切函数的定义域和值域
【解析】【解答】 ，
， ，
， ，
函数的定义域是 ，
故答案为：C．
【分析】由正切函数的定义得， ， ，求出x的取值范围．
10.【答案】 B
【考点】正弦函数的图象，函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】当 时,
∵ 有唯一解，根据正弦函数 的图象可得
，解得
又
当 时,
解得 ,
又 ,
综上所述,
故答案为：B
【分析】对ω进行分类讨论，当 ，通过 可确定 的范围 ，由 ，得到 ，从而得到 ，再根据ω∈Z，可得 的值；当 时,同理可得 的值.2·1·c·n·j·y
二、填空题
11.【答案】
【考点】正切函数的定义域和值域，正切函数的单调性
【解析】【解答】解：由 ， ， ，
结合正切函数的性质可得： ．
故答案为 ， ．
【分析】根据 ， ，求解 的范围，结合正切函数的性质可得值域；
12.【答案】 （8,23）
【考点】余弦函数的奇偶性与对称性，分段函数的应用
【解析】【解答】由题意函数 在 上递减， 上递增， 上递减，作出图像，如图．
设 ，则 ，不妨设 ，
，由 ，得 ，所以 ，所以 .
故答案为：（8,23）．
【分析】研究函数的单调性，确定 的关系及范围．
13.【答案】 [0,1)
【考点】三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的单调性，正弦函数的零点与最值
【解析】【解答】由题意可知：
方程 在 上有两个不同的实数解，
令 ，
等价于两函数的图象在区间 内有两个交点.
由
如图
所以
故答案为：
【分析】采用数形_??????????????????_转化为函数 的图象在区间 内有两个交点，可得结果.
14.【答案】 -3
【考点】余弦函数的单调性，余弦函数的零点与最值
【解析】【解答】 ，
，
，
所以函数的最小值为-3.
故答案为：-3
【分析】根据余弦型函数的图象与性质即可求解.
15.【答案】 ①②③
【考点】正弦函数的奇偶性与对称性，正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，正弦函数的周期性，正弦函数的零点与最值 21cnjy.com
【解析】【解答】解： 函数 的图象向右平移 个单位后与函数 的图象重合，
，
的一个周期为 ，故①正确；
的对称轴满足： ， ，
当 时， 的图象关于 对称，故②正确；
由 ， 得 ，
是 的一个零点，故③正确；
当 时， ，
在 上单调递增，故④错误．
故答案为：①②③．
【分析】先由图像的平移变换推导出 的解析式，再分析函数的周期、零点、对称性、单调性，判断是否正确．【来源：21·世纪·教育·网】
16.【答案】 ③⑤
【考点】正弦函数的图象，正弦函数的奇偶性与对称性，正弦函数的单调性，y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义 www-2-1-cnjy-com
【解析】【解答】_?????????é?????__ ，令 ，则 ，所以①错误.
②，由 得 .当 ，即 时， ，但 ，所以②错误.
③， ，所以 的图象关于点 对称，即③正确.
④，由于 ，
，
所以 不是 的增区间，所以④错误.
⑤， 的振幅为 ，周期 ，频率为 ，初相为 ，所以⑤正确.
故答案为：③⑤
【分析】①利_??¨???è§??????°???_奇偶性判断真假；②解三角方程来判断真假；③利用代入法判断真假；④利用单调性的知识判断真假；⑤根据 的有关概念判断真假.
17.【答案】
【考点】正切函数的单调性
【解析】【解答】解 ，解得 ，
则函数的单调递增区间为 ，
故答案为: .
【分析】由正切函数的单调性可得 ，解不等式即可求出函数的递增区间.
18.【答案】 ( － ，0)(k∈Z)
【考点】正切函数的奇偶性与对称性
【解析】【解答】令2x＋ ＝ (k∈Z)，得x＝ － (k∈Z)，
∴对称中心的坐标为( － ，0)(k∈Z)．
故答案为( － ，0)(k∈Z)
【分析】利用正切函数的对称中心求解即可.
19.【答案】
【考点】正弦函数的定义域和值域
【解析】【解答】原不等式可化为 ，∴ ． ．
故答案为：
【分析】不等式变形为 ，然后由正弦函数性质可得．
20.【答案】 ；
【考点】三角函数的周期性及其求法，余弦函数的奇偶性与对称性
【解析】【解答】由于函数 的最小正周期为2，则 ，则 ，
因为函数 的图象关于原点对称，则 ，
，因此， .
故答案为： ； .
【分析】由函数 的最小正周期可求得 的值，由该函数的图象关于原点对称结合 的取值范围可求得 的值.【来源：21cnj*y.co*m】
三、解答题
21.【答案】 （1）解：由图 ，且 ，所以 ，所以 ，将点 代入解析式可得 ，所以 ，又 ，所以 ，即
（2）解：令 ， 得 ，
所以函数 在 的单调减区间为
【考点】正弦函数的单调性，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】（1）_?????????è±???????_的信息可以求得 ,从而可得 的解析式；（2）先根据函数的解析式求出 的减区间，然后对 赋值可得 的单调减区间.
22.【答案】 解：（Ⅰ）f（x）＝sin2x﹣cos2x sin x cos x，
＝﹣cos2x sin2x，
＝﹣2 ，
则f（ ）＝﹣2sin（ ）＝2，
（Ⅱ）因为 ．
所以 的最小正周期是 ．
由正弦函数的性质得
，
解得 ，
所以， 的单调递增区间是 ．
【考点】三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性
【解析】【分析】（Ⅰ）直接_?????¨???è§??????°_关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值．（Ⅱ）直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间．
23.【答案】 （1_???è§??????±???é??_点为 得 ，由x轴上相邻的两个交点之间的距离为 得 = ，即 ，由点 在图象上得 = , ，故 = , .又 ，故 = ，令 ,解得 ，所以函数 在 上单调递增.
（2）解： ], ，当 = ，即 时， 取得最大值2；当 = ，即 时， 取得最小值-1，故 的值域为[-1,2]
【考点】正弦函数的定义域和值域，正弦函数的单调性，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式 21·世纪*教育网
【解析】【分析】_(1)??????é??_中条件，利用函数性质，求得函数的解析式，并利用整体代换，计算函数的单调递增区间；(2)利用整体代换，求得 的取值范围，由此确定函数的最值及取到最值时相应的x的值.www.21-cn-jy.com
24.【答案】 解：（Ⅰ）由余弦的降幂公式,结合正弦的差角公式及辅助角公式化简可得




所以函数 的最小正周期为 .
当 时, ,
,
所以函数 在区间 上的最大值为2,最小值为 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 .
因为 ,所以 .
由 ,得 .
从而 .
所以


【考点】三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的单调性
【解析】【分析】（Ⅰ）由_?????????é????????_式,结合正弦的差角公式及辅助角公式化简三角函数式,即可求得最小正周期.结合正弦函数的图像与性质即可求得在区间 上的最大值和最小值.（Ⅱ）由（Ⅰ）将 代入即可求得 .根据 及同角三角函数关系式求得 .即可由配凑法及余弦的差角公式求得 .【版权所有：21教育】
25.【答案】 _???1???è§??????±_题意知： ， ， ， ，
过点 ， ，
，解得 ，
又 ， ，则
（2）解：令 ， ，解得 ，
所以函数 的单调增区间为 ，
【考点】正弦函数的单调性，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】（1）根据图_è±???±???????±????_A、周期求出 ，再代入特殊点 求出 即可求得函数解析式；（2）根据正弦函数的单调性列不等式求解即可.21*cnjy*com
26.【答案】 （1）解：
∴ 的最小正周期为
令 ，则
∴ 的对称中心为
（2）解： ，

∴当 ，即 时， 的最小值为 ；
当 ，即 时， 的最大值为2
【考点】三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的奇偶性与对称性，正弦函数的零点与最值
【解析】【分析】（_1????????¨è?????_角公式将函数化简为 ，代入正弦型函数的周期公式 及对称中心方程即可求解；（2）由x的范围，求出 的范围，根据正弦函数的图像与性质可得，当 时， 取得最大值，当 时， 取得最小值，即可得答案.
27.【答案】 （1）解：因为
所以
所以
所以 的最小正周期为 .
要使 有意义，则 得，
所以 的定义域为
（2）解：令 得，
，
所以 .
所以 单调递增区间是
【考点】三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，正切函数的定义域和值域 21*cnjy*com
【解析】【分析】（1_????°?????????????_并利用二倍角的正弦公式与余弦公式，可得 ，利用周期公式，可得最小正周期，然后根据正切函数需满足的条件可得函数的定义域.（2）根据（1）的结论，使用整体法， ，简单计算可得结果.【出处：21教育名师】
28.【答案】 （1）解：由题意，函数
，
令 ，解得 ，
即函数 的单调递增区间为
（2）解：由 ，可得 ，则 ，
故 的值域为
【考点】三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的单调性
【解析】【分析】（1_?????±???è§???????_变换的公式，化简函数 ，再结合三角函数的性质，即可求解；（2）由 ，求得 ，结合正弦函数的形式，即可求解.
29.【答案】 （1）解：由 ，
得 ， ．
取 ，可得 ，
函数 在区间 ， 上单调递增，
实数a的取值范围是
（2）解：由 ，
得 或 ， ．
又 ， ， ， ， ．
即函数 在区间 ， 上的所有零点是0， ，
故零点之和为
【考点】正弦函数的单调性，正弦函数的零点与最值
【解析】【分析】（1）求出函数 的单调增区间，结合函数 在区间 ， 上单调递增，即可求得实数a的取值范围；（2）由 ，求解 在 上的值，即可得到函数 在区间 上的所有零点之和．
30.【答案】__???1???è§????_

?
由 （ ）
解得 ?（ ）．
所以所求函数 的单调减区间是 ，
（2）解： 时， ， ，
即 ．
令 （ ），则关于 的方程 在 上有解，
即关于 的方程 在 上有解．
当 时， ．
所以 ，则 ．
因此所求实数 的取值范围是
【考点】二次函数的性质，三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的单调性
【解析】【分析】（_1????????¨é?????_公式和辅助角公式化简 表达式，根据三角函数单调区间的求法，求得函数 的单调减区间.（2）首先求得当 时 的值域.利用换元法令 ，将 转化为 ，根据 的范围，结合二次函数的性质，求得 的取值范围.