5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）（Word解析版）

高中数学同步练习 人教A版 第一册
5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）
一、单选题（共10题；共20分）
1.把函数 图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再将图象向右平移 个单位，得到函数 ，那么 的值为（?? ）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
2.要得到函数 的图像，只需要将函数 的图像（??? ）
A.?向左平移 个单位?????B.?向右平移 个单位?????C.?向左平移 个单位?????D.?向右平移 个单位
3.已知函数 （ ， ， ）的部分图象如图所示，若将函数 的图象向右平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，则 的取值可能为（??? ）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
4.函数 _????°???????è±????_每个点的纵坐标保持不变，横坐标扩大为原来的2倍，然后再将它的图形沿x轴向左平移 个单位，得到函数 的图象，则函数 的解析式是（?? ?）
A.????????????B.????????????C.????????????D.?
5.为了得到函数 的图像，只需将函数 的图像（??? ）
A.?向右平移 个单位??????B.?向右平移 个单位??????C.?向左平移 个单位??????D.?向左平移 个单位2-1-c-n-j-y
6.函数 的图像可以由 的图像（??? ）个单位得到.
A.?向左平移 ?????????????????????B.?向右平移 ?????????????????????C.?向左平移 ?????????????????????D.?向右平移
7.为了得到函数 的图象，可以将函数 的图象（ ??）
A.?向右平移
B.?向左平移 个单位
C.?向右平移 个单位
D.?向左平移 个单位
8.为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象（??? ）
A.?向左平移 _?????????é???????_????????????????????????????????????B.?向左平移 个单位长度
C.?向右平移 个单位长度?????????????????????????????????????D.?向右平移 个单位长度
9.若 的最小值为-2，其图像相邻最高点与最低点横坐标之差为 ，且图像过点（0，1），则其解析式是（ ??）
A.?????????????B.?????????????C.?????????????D.?
10.已知函数 的部分图象如下图所示，则函数 的解析式（????? ）
A.??????????????????????????????????????????B.?
C.???????????????????????????????????????????D.?
二、填空题（共10题；共12分）
11.把函数 的图象向左平移 个单位，得到的函数是________.
12.若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数.给出下列三个函数： 21教育名师原创作品
① ；② ；③ .
其中，为“同形”函数的序号是________.
13.已知函数 （ ， ， ）在半个周期内的图象如图所示，则 ________．
14.把函数 图象向右平移 个单位，得函数 （ ）的图象，则 的值等于________.
15.函数 的部分图像如图所示．若 （点A为图像的一个最高点）， ，则 ________， ________．
16.已知函数 的部分图象如图所示，则 的值为________.
?
17.将函数 的图象向左平移 个单位长度，若所得图象关于原点对称，则a的值为________． 【来源：21cnj*y.co*m】
18.关于函数 有下列命题：①函数 的周期为 ；②直线 是 的一条对称轴；③点 是 的图象的一个对称中心；④将 的图象向左平移 个单位，可得到 的图象；其中正确的序号是________.（把你认为正确的序号都写上）
19.已知函数 的部分图象如图所示，则 ________， ________．
20.设函数 （其中A， ， 为常数且A＞0， ＞0， ）的部分图象如图所示，若 （ ），则 的值为________．
三、解答题（共10题；共95分）
21.已知函数 满足下列3个条件：
①函数 的周期为 ；② 是函数 的对称轴；③ .
（1）请任选其中二个条件，并求出此时函数 的解析式；
（2）若 ，求函数 的最值.
22.已知函数 的部分图象如图所示.
（1）求函数 的解析式；
（2）求函数 在区间 上的值域.
23.设 ．
（1）求使不等式 成立的x的取值集合；
（2）先将 图象_????????????????¨?_坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；再向右平移 个单位；最后向下平移 个单位得到函数 的图象．若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
24.已知函数 的部分图象如图所示．
（1）求 的解析式；
（2）求 在 上的最大值和最小值．
25.已知函数 ， ．
（1）将函数 _?????????è?¨?¤????_ （其中 ， ， ， ）形式；
（2）用五点法列表并作出函数 一个周期内的图象．
?????? ? ? ? ? ?
????????? ? ? ? ? ?
???????? ? ? ? ? ?
26.已知函数 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）若将函数 每点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，求 在区间 上的值域. 2·1·c·n·j·y
27.已知函数 的部分图像如图所示.
（1）求 的解析式及对称中心坐标；
（2）先将 __???????????????_标缩短到原来的 倍，再向右平移 个单位，最后将图像向上平移1个单位后得到 的图像，求函数 在 上的单调增区间和最值.
28.已知函数 ．
（Ⅰ）求 的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）将函数 像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移 个单位长度，得到函数 的图像，若关于 的方程 在 上恰有2个根，求 的取值范围．
29.已知函数 ．
（1）求函数 的最小正周期；
（2）将函数 的图象右移 个单位得到 的图象，求函数 的单调递增区间．
30.已知函数 , 的部分图象如图所示.
（1）求 的解析式,并说明 的图象怎样经过2次变换得到 的图象;
（2）若对于任意的 ,不等式 恒成立,求实数 的取值范围.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】把函 图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍，得到的函数图象对应的解析式为 ， 21·世纪*教育网
再将图象向右平移 ，得到 ，所以 .
故答案为：B.
【分析】先根据图象变换求出 ，然后代入可得 的值.
2.【答案】 B
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：函数 等价于 ，
故只需要将 向右平移 即可得到.
故答案为：B.
【分析】先将函数 转化为 ，然后根据平移的规则即可得出答案.
3.【答案】 D
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由函数图像可知,
而 ,所以
由周期公式可得
所以
将最低点坐标 代入解析式可知
则
所以
因为
所以当 时,
则解析式为
将解析式向右平移 单位后,可得
因为平移后的函数为偶函数,则
解得
对比四个选项,当 时,
故答案为：D
【分析】根据部分函数图像,先求得函数解析式.结合函数平移变化,求得平移后的解析式,由平移后为偶函数并对比选项即可求解.【来源：21·世纪·教育·网】
4.【答案】 C
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：由题意曲 的图象沿x轴向右平移 个单位，再纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半即可得到 的图形，故 21*cnjy*com
的图形沿x轴向右平移 个单位所得图形对应的函数解析式为 ，然后再将所得的曲线上的点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的一半，所得的图形对应的解析式为
故答案为：C．
【分析】此类题_????????????è?????_通过反变求出原来函数的解析式，由题意可由曲线与 的图形沿x轴向右平移 个单位，再纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半即可得到 的解析式，选出正确选项
5.【答案】 A
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】根据函数平移变换,由 变换为 ,
只需将 的图象向右平移 个单位，即可得到 的图像，
故答案为：A.
【分析】根据函数平移变换的方法，由 即 ，只需向右平移 个单位即可.
6.【答案】 D
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】因为 ，
所以只需由 的图像向右平移 个单位得到.
故答案为：D
【分析】由 ，可以确定函数图象之间的变换，即可求解.
7.【答案】 D
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答_??????é??è????????_数图像平移变换:函数 的图像平移 单位( ,向左； ,向右)所得图像对应函数为 ， 【出处：21教育名师】
将函数 的图象平移 个单位后，所得图像对应函数为
；令 ，得 ，
故答案为：D。

【分析】利用已知条件_?????????è§???????_数的图象变换，从而将函数 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象。【版权所有：21教育】
8.【答案】 B
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答 向左平移 单位可得 ，
故答案为：B.
【分析】对比两个函数中自变量x的变化情况，再结合“左加右减”的平移原则，即可得答案；
9.【答案】 C
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由已知_???????????????A_=2，T=2× = ,故 ,又因为图像过点（0，1），所以2 =1，可得 ，所以 ，
故答案为：C.

【分析】利用三角型函数的最_?°???????-2???_从而求出A的值，再利用三角型函数图象相邻最高点与最低点横坐标之差为 ，从而结合最小正周期公式求出的值，再利用三角型函数图象过点（0，1）结合正弦函数图象点对应法，从而求出的值，从而求出三角型函数的解析式。
10.【答案】 D
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由函_??°??????è±????__
即 则 ，
则 ，
则 则
则
∵ ，∴当k=0时，
则函数 ．
故答案为：D.
【分析】根据函数的图象求出A，ω 和φ的值即可．
二、填空题
11.【答案】
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】把函数 的图象向左平移 个单位，
得到的函数是 ,
故答案为 .
【分析】直接利用三角函数图象的平移变换法则求解即可.
12.【答案】 ①③
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】根据“同形”函数的定义可知，若两个函数互为“同形”函数，则两个函数的振幅相等，最小正周期也相等， www-2-1-cnjy-com
对于①中的函数 ，该函数的振幅为 ，最小正周期为 ；
对于②中的函数 ，该函数的振幅为 ，最小正周期为 ；
对于③中的函数 ，该函数的振幅为 ，最小正周期为 .
将函数 的图象向右平移 个单位长度可得到函数 的图象.
因此，为“同形”函数的序号是①③.
故答案为：①③.
【分析】将①③中的函数解析式化简，根据“同形”函数的定义可知，两个函数的振幅相等，最小正周期也相等，由此可得出结论.
13.【答案】
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】根据 的图象可知 ，
，
所以 .
由 得 ，由于 ，即 ，
，所以 .
故答案为：
【分析】根据 的图象，依次求得 和 的值.
14.【答案】
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】把函数 的图象向右平移 个单位，
所得图象对应的解析式为 ，
由题设可知 对任意的 恒成立，
故 对任意的 恒成立，
所以 ，故 即 ，
因为 ，故 ，
故答案为： .
【分析】先求出 的图象平移后所得图象对应的解析式，再利用该解析式与 完全一致可求 的值.www.21-cn-jy.com
15.【答案】 ；
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：因为点 为图像的一个最高点，所以 ，
由图可知， ，得 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
将点 坐标代入 中，得 ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，
故答案为： ；
【分析】由点 图像的一个最高点，可求出振幅 ，再由 ， 可求出周期，从而可求出 的值，然后代入其中的一个点的坐标可求出 的值.
16.【答案】
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由图可得： ， 或
由于0在函数 的单调减区间内，
所以 .
故答案为：
【分析】根据图像可得 ，根据0所在位置，处于函数的单调减区间，即可得解.
17.【答案】
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】将函数 的图象向左平移 个单位长度，得解析式为 ，它的图象关于原点对称，则 ，即 ， ， 21教育网
故答案为： ．
【分析】求出平移后的函数解析式，由新函数图象过原点得出 ，
18.【答案】 ①③
【考点】三角函数的周期性及其求法，正弦函数的奇偶性与对称性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 21*cnjy*com
【解析】【解答】 ，则函数周期为 ；当 时 ，故 不是函数的对称轴；当 时， ，故点 是 的图象的一个对称中心；将 的图象向左平移 个单位，
得到 。
故答案为：①③
【分析】化简得到 ，计算函数的周期，对称轴，对称中心，平移依次判断每个选项得到答案.
19.【答案】 2；
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由图像知道函数_????????¨??????__ ，故周期为 将函数零点代入得到 由题意可知 ，故得到 。
故答案为： ；? 。

【分析】利用三角型函数的_é?¨????????°???è±?_结合最小正周期公式和特殊点代入法，再利用正弦函数的五点对应法，从而求出函数 的解析式，从而求出的值。
20.【答案】
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由函数 的图知， ，由 ，得 ，
∴ ，
又 ，且 ，∴ ，∴ ，
由 ，∴ ，
又 ，∴ ，
∴ ，
∴
? ?
故答案为 ．
【分析】由函数 _??????è±??±????A_、T、 和 的值，写出 的解析式，再由 的值，利用三角恒等变换求出 的值．21cnjy.com
三、解答题
21.【答案】 （1）解：选①②，则 ，解得 ，
因为 ，所以 ，即 ；
选①③， ，由 得 ，
因为 ，所以 ，即 ；
选②③， ，由 得 ，
因为 ，所以 ，即
（2）解：由题意得，因为 ，所以 .
所以当 即 时， 有最大值 ，
所以当 即 时， 有最小值 .
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】(1) ，由②知 ，由③知 ，结合 即可求出 的解析式.(2)由 可得 ，进而可求出函数最值.
22.【答案】 （1）解：由图可知 ，解得

解得

又函数过点

即 ， 解得
， ，
（2）解：



【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分_?????????1?????±_图可知 即可求出 ，再根据函数的最小正周期求出 ，又函数过点 ，代入即可求出 从而得到函数解析式；（2）由x的取值范围求出 的范围，再由余弦函数的性质解答.21世纪教育网版权所有
23.【答案】 （1） .
即：
，
所以原不等式的解集为：
（2）解： 将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变,得 ；再向右平移 个单位，得 ；最后向下平移 个单位得到函数 ，
∴ .
设 ，由 可得： ，
则原不等式等价于： 在 上恒成立；
设 ， ，则 在 递增，在 递减，所以 ，
所以
【考点】函数恒成立问题，正弦函数的图象，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【分析】（1）利用_é??????????????è??_助角公式可得 ，因此 等价于 ，利用正弦函数的性质可求不等式的解集.（2）根据图象变换可得 ，从而原不等式可化为 在 ，换元后利用二次函数的性质可求 的取值范围.
24.【答案】 （1）解：由图可知 ，
，则 ，
将 代入 得 ，则 ．?
因为 ，所以 ．
故
（2）解：由 ，得 ．
当 即 时， 取得最大值，且 ；
当 ，即 时， 取得最小值，且
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的最值
【解析】【分析】（_1?????±????¤§???_确定A，由周期确定 ，由点的坐标确定 ；（2）求出 的范围，再根据正弦函数的性质得最值．
25.【答案】 （1）解：
（2）解：列表如下：
x









y 0
0 - 0
图象如图所示：
【考点】三角函数中的恒等变换应用，五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象
【解析】【分析】（1）利用_é??????????????è??_助角公式可求得 .（2）先完善表格，再依据各点绘制一个周期内的图象.
26.【答案】 （1）解：由题可知：



所以
则
所以
所以最小正周期
（2）解：由（1）可知： ，
依题变换之后
由 ，所以
所以
所以 在区间 上的值域为
【考点】三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的定义域和值域，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 21·cn·jy·com
【解析】【分析】（1）根据两_è§????????·???????_弦、余弦公式并结合辅助角公式化简可得 ，然后根据周期公式简单计算可得结果.（2）根据（1）的条件，以及伸缩变换可得 ，然后使用整体法以及正弦型函数的性质可得结果.
27.【答案】 （1）解：由图知： ，解得 ， ，
， 所以 ，
把点 代入得： ，
即 ， ，又因为 ，所以 ，
即 ；
令 ， ，解得 ，
故所求对称中心坐标为： ， .
（2）解： 的图像纵坐标缩短到原来的 倍，得到 ，
再向右平移 个_??????????????°__ ，
再将图像向上平移1个单位，得到
由 ， ，
解得 ,
因为 ，所以增区间为 .
因为 ，当 时， 有最大值 ，
当 时， 有最小值 .
【考点】正弦函数的图象，正弦函数的单调性，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】（1_???é??????????????_象得到函数的最大值和最小值，求出 值，根据周期得到 ，把 代入解析式得到 ，从而得到 ，再求对称中心即可.（2）首先根据图象变换得到 ，再求单调区间和最值即可.
28.【答案】 解：（Ⅰ）


．
所以 的最小正周期为 ．
令 ，得 （ ）．
所以 的单调递增区间为 （ ）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，
所以 ．
由 ，得 或 ．
当 时， ．
当且仅当 ，即 时， ．
所以 仅有一个根，因为 ， ，
所以 的取值范围是 ．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，复合三角函数的单调性
【解析】【分析_?????????????????¨_两角差的余弦公式、二倍角公式和辅助角公式对函数化简，利用公式 求最小正周期，利用正弦函数的图像性质列不等式求单调增区间.（Ⅱ）通过伸缩和平移变换，求 ，解方程，转化为 与 仅有一个交点问题，进而求出 的取值范围.
29.【答案】 （1）解：
，
所以，函数 的最小正周期为 ；
（2）解：将函数 的图象右移 个单位，
得到函数 的图象，
由 ，解得： ．
函数 的单调递增区间为 ．
【考点】三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，正弦函数的周期性
【解析】【分析】（1）利用三角_??????????????????_化简函数 的解析式为 ，利用正弦型函数的周期公式可求得函数 的最小正周期；（2）利用三角函数图象变换规律得出 ，然后解不等式 ，可得函数 的单调递增区间．
30.【答案】 （1）解：由图得 ,
因为 为函数递增区间上的零点,
所以 ,即 .
因为 ,所以 ,
即 ，
将函数 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移 个单位长度可得 ；
（2）解：因为 ,所以 ,
所以当 时, 取最小值 ,
当 时, 取最大值1,
因为 恒成立,即 恒成立,
所以 ,
即 .
【考点】函数恒成立问题，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】（1）先根据 的解析式；再结合图象变化规律说明 的图象怎样经过2次变换得到 的图象；（2）先结合正弦函数的性质求出 的范围；再结合恒成立问题即可求解.