2.2 基本不等式（Word解析版）

高中数学同步练习 人教A版 第一册
2.2 基本不等式
一、单选题（共10题；共20分）
1.若 ，则 的最大值是（?? ?）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?1
2.已知 、 ， ，则 取得最小值时， （??? ）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
3.设 ，且 ，则 （??? ）
A.?有最小值为 ???????????B.?有最小值为 ???????????C.?有最小值为 ???????????D.?有最小值为4
4.已知 ，且 ，则 的最小值是（??? ）
A.?2???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?9
5.已知实数 , 满足 ，则 的最小值为（??? ）
A.???????????????????????????????????????????B.?3??????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?5
6.已知x>0，y>0，且 =2，则x+y的最小值是（??? ）
A.?5???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????????D.?8
7.已知 ，则 的最小值为（??? ）
A.?10???????????????????????????????????????????B.?9???????????????????????????????????????????C.?8???????????????????????????????????????????D.?7
8.设 ,且 ,则 的最小值为（?? ）
A.?6?????????????????????????????????????????B.?12?????????????????????????????????????????C.?14?????????????????????????????????????????D.?16
9.小王从甲地到乙地再返回甲地，其往返的时速分别为a和b（aA.?a10.已知 ， ， ，则 的最大值为（??? ）
A.?1?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
二、填空题（共10题；共10分）
11.若正实数 满足 ，则 的最小值是________
12.已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值为________.
13.已知正数x，y满足 ，则 的最小值为________
14.已知正数a，b满足 ，则 的最小值为________.
15.已知x>0，y>0，且满足(x+2y-1)(2x+y-2)=9，则x+y的最小值为________.
16.若 的最小值为________.
17.若 ，则 的最大值为________.
18.若 ，则 的最小值是________
19.已知 ，若 恒成立，则 的取值范围是________．
20.若x，y为正数，且 ，则 的最大值为________.
三、解答题（共10题；共95分）
21.已知 ， ，且 ．
（1）求 的最小值；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围．
22.已知
（1）若不等式 对于满足条件的任意实数 都不成立，求实数 的取值范围；
（2）探求是否存在实数 __???????????????_ 成立？若存在求出实数 的值；若不存在，请说明理由. www-2-1-cnjy-com
23.???
（1）若 且 ，求 的最小值；
（2）若 且 ，求 的最小值.
24.已知 ， 且 .
（1）求 的最大值；
（2）求 的最小值.
25.已知 ， ?， .
（1）求 的最小值；
（2）求 的最小值.
26.??
（1）若正实数 满足 ，求 的最小值；
（2）求函数 的最小值.
27.已知
（1）求证: ;
（2）求证: .
28.??
（1）已知 ， 都是正实数， ，求 的最小值；
（2）已知 ， ， 都是正实数，证明： ．
29.已知 ， ，且 .
（1）求 的最大值；
（2）求 的最小值.
30.已知正实数a，b满足 ，求 的最小值.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 A
【考点】基本不等式
【解析】【解答】因为 ，故 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立；
故答案为：A.
【分析】根据题意，由 ，结合基本不等式，即可求出结果.
2.【答案】 B
【考点】基本不等式
【解析】【解答】已知 、 ， ，可得 ，
，
当且仅当 时，即当 时，等号成立.
故答案为：B.
【分析】由已知条 ，将代数式 与 相乘，展开后利用基本不等式可求得 的最小值，利用等号成立的条件可得出关于正数 、 的方程组，进而可解得实数 的值.2-1-c-n-j-y
3.【答案】 A
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：根据题意， ，
因为 ，
所以
当且仅当 ，即 时等号成立，
故 有最小值为 .
故答案为：A.
【分析】根据题意， ，再根据基本不等式求解即可得答案.
4.【答案】 D
【考点】基本不等式
【解析】【解答】 ，
当且仅当 ， 时取等号，
故答案为：D
【分析】利用基本不等式即可求解.
5.【答案】 B
【考点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为实数 , 满足 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为3
故答案为：B
【分析】由已知可得 ，然后利用基本不等式可求得结果
6.【答案】 C
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】 ，
由基本不等式可以得到 ，
当且仅当 时等号成立，
故 的最小值为8，故 的最小值为7，
故答案为：C.
【分析】将 ，再利用基本不等式求出 的最小值后可得 的最小值，从而可得正确的选项.2·1·c·n·j·y
7.【答案】 B
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由 得：
（当且仅当 ，即 时取等号）
的最小值为
故答案为：B
【分析】由已知等式得 ，利用 可配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值.
8.【答案】 D
【考点】基本不等式
【解析】【解答】因为 ，
等号成立当且仅当 ，所以 的最小值为 .
故答案为：D.
【分析】利用基本不等式求得 ，并验证等号成立的条件.
9.【答案】 A
【考点】基本不等式
【解析】【解答】设甲乙两地相距 ，则平均速度 ，
又∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
故答案为：A．
【分析】设甲乙两地相距 ，则平均速度 ，结合基本不等式，即可得出结果.
10.【答案】 B
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为 ， ， ，
所以 ，当且仅当 即 时取等；
故 ，即 .
故答案为：B.
【分析】根据基本不等式，由题中条件，直接计算，即可得出结果.
二、填空题
11.【答案】 8
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为正实数 、 满足 ，则 ，
当且仅当 且 即 ， 时取等号，
故答案为：8．
【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解．
12.【答案】 2
【考点】基本不等式
【解析】【解答】解：由 ，得 ，
故 （当且仅当 ， 时取等号），
故答案为：2.
【分析】由题意 ，得 ，可求出 的最小值，可得a+b的最小值.
13.【答案】 8
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】 正数x，y满足 ，
，
，
当且仅当 ，即 时取等号，
的最小值为8．
故答案为：8．
【分析】根据正数x，y满 ，得到 ，然后由 利用基本不等式求解.
14.【答案】 3
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为a,b_é??????????°??????_以当且仅当时等号成立，故 的最小值为3。
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，从而求出 的最小值。
15.【答案】 3
【考点】基本不等式
【解析】【解 ，故 ，
整理得到 ，故 或 ，
故 或 （舍），当且仅当 时等号成立，
故 的最小值为3.
故答案为：3.
【分析】利用基本不等式可得 ，从而可求 的最小值.
16.【答案】 4
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
故答案为：4.
【分析】根据_é??????°??????????_形为 ，再结合基本不等式求解即可得答案.
17.【答案】
【考点】基本不等式
【解析】【解答】 ，
当且仅当 时，即 时等号成立
因此，函数 的最大值为 ，
故答案为：
【分析】由基本不等式 得 ，由此即可求出函数 的最大值．
18.【答案】 3
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】 则 ， ，
当 时取“=”
故答案为：3.
【分析】配凑目标式，再利用基本不等式即可求得最小值.
19.【答案】
【考点】基本不等式
【解析】【解答】解：_??????é????????__ ，若 恒成立等价于 恒成立，
由于 ，
当且仅当 ，即 时等号成立.
所以
故答案为：
【分析】先将问题转化为 恒成立，再结合基本不等式求解即可得答案.
20.【答案】
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答 ，当且仅当 ，即 时，取等号，
解得 ，
即 的最大值为
故答案为：
【分析】利用基本不等式由 求解.
三、解答题
21.【答案】 （1）解：因为 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
所以 的最小值为9．
（2）解：因为 ， ，
所以 ，
所以 ．
因为 恒成立，
所以 ，
解得 ，
所以 的取值范围为 ．
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（ ，利用基本不等式性质即可求得最小值．（2）利用基本不等式求出 的最小值，代入 求出 的范围即可．
22.【答案】 （1）解：因为 ，

，
当且仅当 即 时等号成立，
的最小值为 .
由题意得：
解得：
（2）解：假设存在实数 ，满足 ，
则 ，
所以 .
因为 ，
所以不存在实数 满足条件
【考点】基本不等式
【解析】【分析】（1）由基本不等 的最小值 ，然后解不等式 可得；（2）假设存在实数 ，满足题意，由基本不等式得出一个 的范围，再由已知条件求出 的范围，两者比较可得．21世纪教育网版权所有
23.【答案】 （1）解： ， .
， . ， .

当且仅当 ，等号成立.故当 时， 的最小值为9.
（2）解： 且 . ，
.
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故当 时， 的最小值为9
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利_??¨???????????????_可得 ，再解不等式即可得解；（2）依题意可得 ，再利用基本不等式乘“1”法计算可得；21cnjy.com
24.【答案】 （1）解：依题意 ，
当且仅当 时等号成立，
所以 的最大值为 .
（2）解：
.
当且仅当 时等号成立，
所以 的最小值为9.
【考点】基本不等式
【解析】【分析】（1）利用基本不等式求得 的最大值.（2）利用基本不等式求得 的最小值.
25.【答案_???_???1???è§?_：由 ，得 ,又 ， ，故 ,
故 ，当 即 时等号成立，∴
（2）解：由2 ,得 ,则 .当且仅当 即 时等号成立.∴
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用基_??????????????????_不等式即可得出；（2）由 ，变形得 ，利用“乘1法”和基本不等式即可得出．【来源：21·世纪·教育·网】
26.【答案】 （1）解：因为正实数 满足 ；
所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值是9.
（2）解： ，
当且仅当 ，即 时，取等号.
所以函数 的最小值是9.
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）将 ，变形为 ，然后利用“1”的代换，将 变形为 ，利用基本不等式求解.（2）将函数 ，变形为 ，利用基本不等式求解.www.21-cn-jy.com
27.【答案】 （_1???è???????????_为 ， ，而 ，
所以 ，(当且仅当 时取等号)
（2）解：因为 ，所以
所以 ，
当且仅当 时取等号.
【考点】基本不等式
【解析】【分析】 ，结合已知条件即可证结论；（2）由 知 ，利用基本不等式“1”的代换即可证明结论；21·世纪*教育网
28.【答案】 （1）解： ，即 ，
令 ， ，所以 ，
解得 ，即 (当且仅当 时取等号)，
得 ，所以 的最小值为 .
（2）证明：因为 为正数，
? ,
所以 即
(当且仅当 时取等号).
【考点】基本不等式
【解析】【分析】(1)利用基本_?????????????°?__ 转化为 ，再换元即可求解.(2)不等式左边拆成三组，两两一组，分别用基本不等式，即可证明.21教育网
29.【答案】 （1）解：因为 ，所以 ，当且仅当 且 ，即 ， 时，等号成立，所以 ，
所以 的最大值为 .
（2）解：因为 ， ，且 ，
所以 ，
当且仅当 且 ，即 时，等号成立.
所以 的最小值为
【考点】基本不等式
【解析】【分析】(1)直接对 利用基本不等式即可求出 的最大值；(2)对 采用常数代换法可得 ，展开后利用基本不等式，即可求出 的最小值.
30.【答案】 解： ，

?
当且仅当 ，即 时取等号，
的最小值为 .
【考点】基本不等式
【解析】【分析 化为 ，与 相乘，展开后，利用基本不等式即可求解.