3.2 函数的基本性质（Word解析版）

高中数学同步练习 人教A版 第一册
3.2 函数的基本性质
一、单选题（共10题；共20分）
1.已知f(x)为R上的减函数,则满足f >f(1)的实数x的取值范围是(?? )
A.?(-∞,1)????????????????????????B.?(1,+∞)????????????????????????C.?(-∞,0)∪(0,1)????????????????????????D.?(-∞,0)∪(1,+∞)
2.已知 __???????????¨__ 上的偶函数，且在 上为增函数，则 的解集为（??? ） 【来源：21cnj*y.co*m】
A.????????????????B.????????????????C.????????????????D.?
3.定义在 上 且对任意不等的正实数 都满足 则不等式 的解集为（??? ）
A.???????B.???????C.???????D.?
4.下列函数 中，_???è??????????????_ ，且 都有 ”的是（??? ） 【出处：21教育名师】
A.??????????????B.??????????????C.??????????????D.?
5.已知函数 （ ， ），若 则此函数的单调递增区间是(??? ) 21教育名师原创作品
A.?(－∞，－1)?????????????????????????B.??????????????????????????C.??????????????????????????D.?(－3，－1]
6.下列函数既是奇函数，在定义域内又是增函数的是 ??
A.?????????????????????B.?????????????????????C.?????????????????????D.?
7.已知函数 上是增函数， ，若 ，则 的取值范围是（??? ） 21*cnjy*com
A.??????????????????????B.??????????????????????C.??????????????????????D.?
8.已知 满足对任意的 有 成立，那么 的取值范围是（??? ）
A.?????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
9.下列函数中，在区间 上单调递增的是（??? ）
A.??????????????????????????????B.??????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?
10.已知奇 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，当 时，有 ，则不等式 的解集为(?? )
A.???????????????B.???????????????C.???????????????D.?
二、填空题（共10题；共10分）
11.设 则 取到最小值时 ________
12.已知定义域为R的奇_?????°f(x)_在(0,+∞)上是增函数,且f =0,则不等式f(log4x)>0的解集是________.
13.已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， ，则 时， ________.
14.若函数 在 上为减函数.则实数 的取值范围是________．
15.已知函数 ，则函数 的单调递减区间为________.
16.已知函数 ，若 ，使得 ，则 的取值范围是________.
17.若函数 的零点为 ，且 ， ，则 的值为________.
18.已知定义在 在 上单调递减，且 是偶函数，不等式 对任意的 恒成立，则实数 的取值范围是________.
19.已知函数 的图象关于 对称，当 时， 单调递增，则不等式 的解集为________.
20.函数 ，则a的取值范围是________．
三、解答题（共10题；共110分）
21.已知函数 ．
（1）求 的值；
（2）若对于区间 内的每一个 ，都有 恒成立，求实数 的范围．
22.已知函数 .
（1）判断函数 的奇偶性，并证明；
（2）证明函数 在R上单调递增；
（3）若 ，求实数 的取值范围.
23.关于函数对称性的问题，有如下事实：
①证明函数图象的对称性就是证明图象上点的对称性．例如，证明函数图象关于y轴对称，就是证明图象上的任一点关于y轴的对称点也在图象上．
②点的坐标能满足函数关系式就说明点在函数图象上．
③偶函数图象关于y轴对称这个结论可以推广．例如，函数图象关于直线x＝1对称的充要条件是函数y＝f(x＋1)是偶函数．
请根据上述信息完成以下问题：
（1）从偶函数定义出发，证明函数y＝f(x)是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；
（2）求函数g(x)＝x4＋4x3＋6x2＋4x的对称轴；
（3）已知函数y＝h(x＋2_)???????????°???_且y＝h(x)在(2，＋∞)上单调递减，若函数h(x)图象上两点A(m，y1)，B(1－2m，y2)满足y1＞y2 ， 求实数m的取值范围．
24.已知函数 ；
（1）用函数单调性的定义判断函数 在 的单调性；
（2）求函数 在 上的最大值和最小值．
25.已知函数 （ ）.
（1）若 是奇函数，求实数a的值；
（2）判断 的单调性，并用单调性的定义证明你的结论.
26.已知定义域为 的函数 是奇函数.
（1）求 的值；
（2）判断函数 的单调性，并说明理由；
（3）若对于任意 ，不等式 成立，求 的取值范围.
27.已知函数 .
（1）求函数 在区间 上的最小值；
（2）若存在不相等的实数 同时满足 ，求 的取值范围.
28.已知函数 （ 且 ） .
（1）判断函数 的奇偶性；
（2）若 ，判断函数 在 上的单调性，并证明.
29.确定函数 在区间 上的单调性，并用定义法证明.
30.已知函数 是定义在R上的函数，若对于任意 ，都有 ，且 时，有. .
（1）判断函数的奇偶性；
（2）判断函数 在R上是增函数，还是减函数，并证明你的结论.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
【考点】函数单调性的性质
【解析】【解答】由题意,得 <1,当x<0时显然成立,当x>0时,x>1.
综上可得：实数x的取值范围是(-∞,0)∪(1,+∞)
故答案为：D.
【分析】由题意结合函数的单调性得到关于x的不等式，分类讨论求解不等式的解集即可.
2.【答案】 B
【考点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】 是定义在 上的偶函数，
，
，
在 上为增函数，
在 上为减函数，
由 可得 ，
解得 或 ，
故不等式的解集为 或
故答案为：B．
【分析】由偶函数定义域的对称性可 ，从而可得 在 上为增函数，在 上为减函数，距离对称轴越远，函数值越小，即可求解．【版权所有：21教育】
3.【答案】 A
【考点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】任设 ，则 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 在 上为单调递增函数，
当 时， 等价于 ，等价于 ，等价于 ，等价于 ，等价于 ，
当 ， 等价于 ，等价于 ，等价于 ，即 ，
所以不等式 的解集为 .
故答案为：A
【分析】根据对_??????????????????_实数 都满足 可知 在 上为单调递增函数，根据奇偶性和单调性可得不等式 的解集.
4.【答案】 D
【考点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】“对 ， ，且 都有 ”，
函数 在 上单调递减，
结合选项可知，
A ： 在 单调递增，不符合题意，
B： 在 单调递增，不符合题意，
C： 在 单调递增，不符合题意，
D： 在 单调递减，符合题意.
故答案为：D．
【分析】对任意 ，且 都有 ，可知函数 在 上单调递减，结合选项即可判断．21教育网
5.【答案】 C
【考点】复合函数的单调性
【解析】【解答】解： ，所以 单调递减.
令 解得： ，又 在 上递增，在 上递减，所以 的单调递增区间为 .
故答案为：C.
【分析】根据 解出 ，所以 单调递减. 再求出
解和单调区间，根据复合函数单调性的求法即可求出函数的单调区间.
6.【答案】 B
【考点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】对于 是非奇非偶函数， 该选项错误；
对于 . ；
该函数是奇函数；
和 在R上都是增函数；
在R上是增函数；
该选项正确；
对于 . 是偶函数， 该选项错误；
对于 . 在定义域内没有单调性， 该选项错误．
故答案为：B．
【分析】容易判断 为非奇非偶函数， 为偶函数， 在定义域内没有单调性，从而判断A，C，D都错误，从而选B．【来源：21·世纪·教育·网】
7.【答案】 A
【考点】函数单调性的性质
【解析】【解答】因为 ， ，
所以 ，所以，
因为函数 在区间 上是增函数，
所以 ，
所以 ，
解得 ，
故答案为：A
【分析】根据 ，将 ，转化为 ，然后利用函数 在区间 上是增函数求解.
8.【答案】 A
【考点】函数单调性的判断与证明，函数单调性的性质
【解析】【解答】由已知得分段函数 在R上单调递减，
所以必须满足三个条件：① 调递减，所以 ；② 时，单调递减，所以 ；③ 时的最小值不小于 的最大值，即 .
即 ，
所以有 ，所以 ，
故答案为：A
【分析】由已知得分段 在R上单调递减，解不等式 即得解.
9.【答案】 B
【考点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】指数函数 在 上单调递减；
幂函数 在 上单调递增；
对数函数 在 上单调递减；
反比例函数 在 上单调递减.
故答案为：B.
【分析】根据指对幂函数及反比例函数特征逐一判断即可.
10.【答案】 A
【考点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】设 ，
因为 为 上奇函数，
所以 ，
即 为 上奇函数
对 求导，得 ，
而当 时，有
故 时， ，即 单调递增，
所以 在 上单调递增
不等式
，
即
所以 ，解得
故答案为：A.
【分析】构造新函数 ，根据条件可得 是奇函数，且单调增，将所求不等式化为 ，即 ，解得 ，即 21世纪教育网版权所有
二、填空题
11.【答案】
【考点】函数的最值及其几何意义
【解析】【解答】解：因为
当 时， ，所以当 时函数取值最小值 ；
当 ，所以当 时函数取得最小值 ；
当 时，
当 时
因为 ，所以当 时， 随 增加而变大；
当 时， ，
因为 ，所以当 时， 随 增加而变小；
所以当 时， 有最小值
故答案为：
【分析】对 分类讨论去掉绝对值符号，分别求出所对应的最小值，即可得解，
12.【答案】 ∪(2,+∞).
【考点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】定义域为R的奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f =0,
可得f(x)在(-∞,0)上是增函数,且f =-f =0,
当log4x>0即x>1,f(log4x)>0即为log4x> ,解得x>2;
当log4x<0即00即为log4x>- ,解得 综上可得,原不等式的解集为 ∪(2,+∞).
【分析】由题意结合函数的单调性和函数的奇偶性分类讨论log4x>0和log4x<0两种情况就可求得不等式的解集.21·世纪*教育网
13.【答案】 x(x-1)
【考点】函数奇偶性的性质
【解析】【解答】设 ，则 ，
由 时， ，
所以 ，
又函数为偶函数，即 ，
所以 .
故答案为：x(x-1)
【分析】设 ，则 ，代入 的解析式， 由函数的奇偶性即可求解.
14.【答案】 (1,4]
【考点】复合函数的单调性
【解析】【解答】 是由 ， 复合而成，
因为 ， 开口向下，对称轴为 ，所以 在 上为减函数，
因为函数 在 上为减函数，
所以 为增函数，
所以 ，
又因为 对于 恒成立了，所以 ，解得： ，
综上所述：实数 的取值范围是(1,4]，
故答案为：(1,4]
【分析】由题意可得 在 单调递减，且 ，即 ，即可求解.
15.【答案】 （2,5）
【考点】复合函数的单调性
【解析】【解答】设 ， ；
由 可得 ，
因为 为增函数，所以只需求解 的减区间即可，
易知 时， 为减函数，
所以函数 的单调递减区间为（2,5）.
【分析】利用换元法，结合复合函数的单调性规则进行求解.
16.【答案】 a＜1
【考点】函数单调性的性质
【解析】【解答】 使得 ，等价于 ，即 在 时能成立，
因为 在 上为递减函数，所以 ，
所以a＜1.
故答案为：a＜1.
【分析】转化为 在 时能成立，利用 在 上为递减函数，求出 后可得解.
17.【答案】 -3
【考点】函数的单调性及单调区间，函数单调性的性质
【解析】【解答】因为 都是 上的增函数，
所以函数 在 单调递增（增函数+增函数=增函数），
因为 ，
，
所以 ，
所以 .
故答案为：-3
【分析】先得到函数 在 单调递增，再证明 ，即得解.
18.【答案】 [-3,1]
【考点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为 是偶函数，所以 ，
则 关于直线 对称；
又函数 在 上单调递减，
由 对任意的 恒成立，
可得 对任意的 恒成立，
即 对任意的 恒成立，
又 时， ，
因此只需 ，解得 .
故答案为： .
【分析】根据函数 __???????????°???_得到 关于直线 对称；再由函数对称性，以及题中条件，得到 对任意的 恒成立，进而可得出结果.
19.【答案】
【考点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】依题意， 为偶函数，
当 时， 单调递增，
要满足 ，则要求 ，
两边平方得 ，
即 ，
即
解得 .
故答案为：
【分析】根据函数 的奇偶性和单调性化简不等式 ，由此求得不等式的解集.
20.【答案】
【考点】函数单调性的性质
【解析】【解答】因为 ，
当 时， ，此时 单调递增；
当 时， ，此时 单调递增．
因为 ，所以 在 上单调递增，
因为 ，所以只需 ，解得 ．
故答案为： .
【分析】先根据分段函数解析式，由基本初等函数的性质，判定分段函数单调性，根据函数单调性，即可解对应的不等式.21·cn·jy·com
三、解答题
21.【答案】 （1）解：根据 ，解得 ， 函数 的定义域为 ． 2·1·c·n·j·y
，
，且 ，
因此， ；
（2）解：由于不等式 在区间 上恒成立，
即不等式 在区间 上恒成立，
令 ，则 ，
易知函数 为 上的减函数，
对于函数 ，
由于内层函数 为 上的减函数，外层函数 为增函数，
所以，函数 为 上的减函数，
所以，函数 为 上的减函数，
所以，当 时， ， .
因此，实数 的取值范围是 .
【考点】函数单调性的判断与证明，函数奇偶性的判断，函数奇偶性的性质
【解析】【分析】（1）利_??¨?????°?????????_推导出函数 为奇函数，进而可计算出 的值；（2）由参变量分离法可得出 ，令 ，分析函数 在区间 上的单调性，求得 ，由此可求得实数 的取值范围.www-2-1-cnjy-com
22.【答案】 （1）解：函数 的定义域是 ，
因为 ，
即 ，所以函数 是奇函数.
（2）证明：任取 ，且 ，则



，??? 在R上单调递增.
（3）解：由（1）(2)知函数 是奇函数，
所以 .
又函数 是 上的增函数，
所以 ，解得 .
故实数 的取值范围是 .
【考点】函数单调性的判断与证明，函数奇偶性的判断
【解析】【分析】（1）利_??¨?????°?????????_性定义即可判断.（2）利用函数的单调性定义以及证明函数单调性的步骤：“任取、作差、变形、定号”即可证明.（3）利用奇偶性将不等式转化为 ，再利用单调性可得 ，解不等式即可求解.
23.【答案】 （1）解：①先证充分性（如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数为偶函数．）
设函数y＝f(x)，在函数图象上取两点(x，f(x))，(－x，f(－x))．
因为函数的图象关于y轴对称，所以横坐标互为相反数的两个点的纵坐标应该相等，即f(x)＝f(－x)，
所以函数y＝f(x)为偶函数．
②再证必要性（如果一个函数是偶函数，那么它的图象关于y轴对称．）
设y＝f(x)是偶函数，要证明图象关于y轴对称，即证明图象上任意一点关于y轴的对称点还在自身图象上，2-1-c-n-j-y
设P(x，y)为f(x)图象上任意一点，则y＝f(x)，
此时P关于y轴的对称点P′(x'，y')，则x'＝－x，y'＝y，
又函数f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即y＝f(x)＝f(－x)＝y′，所以点P′(x'，y′)在函数f(x)图象上．
所以函数y＝f(x)是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称．
（2）解：g(x)＝(x＋1)4－1，设x＝a为g(x)的对称轴，由题意，g(x＋a)＝(x＋1＋a)4－1为偶函数．
任取x∈R，g(x＋a)＝g(－x＋a)，所以(x＋1＋a)4－1＝(－x＋1＋a)4－1，
所以[(x＋1＋a)2＋(x－1－a)2]×[ (x＋1＋a)2－(x－1－a)2]＝0，
所以[(x＋1＋a)2＋(x－1－a)2]×4(1＋a)x＝0恒成立，故1＋a＝0，则a＝－1，
所以g(x)的对称轴为直线x＝－1．
（3）解：因为函数y＝h(x＋2)为偶函数，且y＝h(x)在(2，＋∞)上单调递减，
所以│m－2│＜│1－2m－2│，
解得m＜－3或 ，
所以m的取值范围(－∞，－3)∪( ，＋∞)．
【考点】奇偶函数图象的对称性，奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】（1）①先证_????????§???è?????_数y＝f(x)，在函数图象上取两点(x，f(x))，(－x，f(－x))．由点的坐标可得证．②再证必要性，设y＝f(x)是偶函数，要证明图象关于y轴对称，即证明图象上任意一点关于y轴的对称点还在自身图象上，设点的坐标可得证．（2）g(x)＝(x＋1)4－1，设x＝a为g(x)的对称轴，由g(x＋a)＝g(－x＋a)，可求得a，从而得g(x)的对称轴．（3）因为函数y＝h(x＋2)的奇偶性和y＝h(x)在(2，＋∞)上单调性，得出不等式│m－2│＜│1－2m－2│，解之可得答案．
24.【答案】 （1）解：根据题意，函数 在 ， 上是增函数，
证明：设 ，
则 ，
又由 ， ，则 ，
则函数 在 ， 上是增函数．
（2）解：根据题意，函数 ，其定义域为 ，
有 ，则函数 是奇函数，
又由 在 ， 上是增函数，则函数 在 ， 上递增．
函数 在 ， 上的最大值为 ，最小值为 ．
【考点】函数单调性的判断与证明，奇偶性与单调性的综合
【解析】【分_?????????1??????_据题意，设 ，由作差法分析可得答案，（2）根据题意，分析函数 的奇偶性，由函数的奇偶性与单调性分析可得函数 在 上递增，据此分析可得答案．www.21-cn-jy.com
25.【答案】 （1）解：由于 是定义在 上的奇函数，
故 ，解得 ；
经检验， 是奇函数；
（2）解： 是 上的增函数，证明如下：
任取 ，
则 ，
由于 ， ，
所以 ，即 ，
所以 在 上为增函数.
【考点】函数单调性的判断与证明，函数奇偶性的性质
【解析】【分析】（ 可求得 的值，再检验，即可得出结果；（2）任取 ，可证明 ，则 ，从而可得结论.
26.【答案】 （1）解：因为 是R上的奇函数，所以 ，即 ，解得
又 ，即 ，解得
，
（2）解： 在R上单调递增，理由如下：
由（1）知 ，任取 ,且 则
因为函数 在R上是增函数且 ，∴
又 ，∴ 即
∴ 在R上为增函数.
（3）解：因 是奇函数，从而不等式： 等价于 ，
又 为增函数，由上式推得： ，即对一切 有： ，
从而判别式
所以 的取值范围为： .
【考点】函数单调性的判断与证明，函数奇偶性的性质，奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】（ 是R上的奇函数，可得 ，可求出 的值，再利用 ，可求出 的值；（2）由（1）可知 的表达式，任取 R，且 ，比较 与0的大小关系，可得出函数的单调性；（3）由 是奇函数，可将不等式转化为 ，再结合函数是R上的增函数，可知对一切 ， 恒成立，令 即可求出答案.21*cnjy*com
27.【答案】 （1 ，设 ， ，对称轴为
当 时： ；
当 时： .
综上所述： 时： ； 时：
（2）解： ，则
化简得到：

设 则
易知函数 在 单调递增，故 即
【考点】函数单调性的性质，函数的最值及其几何意义
【解析】【分析】 ，化简得到函数 ，讨论对称轴范围 和 两种情况计算得到答案.（2）根据 化简得到 ，代入函数得到 ，设 得到函数 ，根据函数的单调性得到取值范围.
28.【答案】 （1）_è§?????????°??????_义域为 ， .有 ,所以 是奇函数
（2）解：设 ， ，
当 时 ，有 ，即 ，所以 在 上是减函数
【考点】函数单调性的判断与证明，函数奇偶性的判断
【解析】【分析】（1）先求得 的定义域，然后利用 ，证得 为奇函数.（2）利用单调性的定义，计算 ，由此证得 在 上递减.
29.【答案】 解：函数 在区间 上单调递增，证明如下：
任取 ，且 ，
，
，则 ，
，则 ， ，
可得 ，即 ，
由单调性的定义可知，函数 在区间 上单调递增.
【考点】函数单调性的判断与证明
【解析】【分析】利用函数的单调性定义直接证明即可.
30.【答案】 （1）解： 定义在 上，令 ，可得
定义在 上，定义域关于原点对称，由 ，
令 ，则 ，即
为奇函数．
（2）解：在 上任取 ， 且

即 ， 在 上为增函数．
【考点】函数单调性的判断与证明，函数奇偶性的判断
【解析】【分析】（1_????????¤????????°_定义域是否关于原点对称，取特殊值：令 ，可得 令 ，即可得解；（2）利用定义法证明函数的单调性即可．21cnjy.com