3.3 幂函数（Word含解析）

高中数学同步练习 人教A版 第一册
3.3 幂函数
一、单选题（共10题；共20分）
1.若幂函数的图象过点 （2，） ，则它的单调递增区间是(?? )
A.?(0，＋∞)?????????????????????????B.?[0，＋∞)?????????????????????????C.?(－∞，＋∞)?????????????????????????D.?(－∞，0)
2.已知幂函数 的图象通过点 ，则该函数的解析式为（??? ）
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
3.已知幂函数f (x)的图象经过点A(4，2)，B(16，m)，则m＝（??? ）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?8
4.幂函数 在 时为减函数，则 （??? ）
A.?-1?????????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????????????????C.?2或-1?????????????????????????????????????????D.?1
5.幂函数 在 时是减函数，则实数 的值为（??? ）
A.?2或-1??????????????????????????????????????B.?-1??????????????????????????????????????C.?2??????????????????????????????????????D.?-2或-1
6.已知函数 是幂函数，且在 上是减函数，则实数 （?? ）
A.?2?????????????????????????????????????????B.?-1?????????????????????????????????????????C.?4?????????????????????????????????????????D.?2或-1
7.已知幂函数 象限内的图象如图所示．若 则与曲线 ， ， ， 对应的n的值依次为（??? ） 21教育网
A.???????????B.??????????????C.??????????????D.?
8.有四个幂函数：① ；③ ；④ .某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是 ，且 ；（3）在 上是增函数.如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（??? ） www-2-1-cnjy-com
A.?①?????????????????????????????????????????B.?②?????????????????????????????????????????C.?③?????????????????????????????????????????D.?④
9.已知函数 是在 上单调递增的幂函数，则 （?? ）
A.?0或4????????????????????????????????????????B.?0或2????????????????????????????????????????C.?0????????????????????????????????????????D.?2
10.已知幂函数 在区间 上是单调递增函数,则 的值为(??? )
A.?3??????????????????????????????????????????B.?-1??????????????????????????????????????????C.?-3??????????????????????????????????????????D.?1
二、填空题（共10题；共10分）
11.已知幂函数 ，若 ，则a的取值范围是________.
12.若幂函数 在 上单调递增，则 ________.
13.已知幂函数 是在 上的减函数，则m的值为________.
14.已知幂函数 的图象经过点 ，则 的值为________.
15.已知 ,若幂函数 为偶函数,且在 上递减,则 ________.
16.已知幂函数 图象过点 ，则 ________
17.幂函数 在 时为减函数，则m=________。
18.已知幂 过点 ，则关于 的不等式 的解集是________.
19.已知 为幂函数，且图象过 ，则 ________
20.幂函数 过点 ，则 ________．
三、解答题（共10题；共105分）
21.已知幂函数 的图象关于y轴对称，且在 上为增函数.
（1）求不等式 的解集.
（2）设 ，是否存在实数a，使 在区间 上的最大值为2，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由. 【来源：21cnj*y.co*m】
22.已知幂函数 在 上单调递增.
（1）求实数 的值；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
23.已知幂函数 的图象过点 和 ．
（1）求 的值；
（2）若函数 在区间 上的最大值比最小值大 ，求实数 的值．
24.已知幂函数
（1）求 的解析式；
（2）①若 图像不经过坐标原点，直接写出函数 的单调区间.
②若 图像经过坐标原点，解不等式 .
25.已知函数 为幂函数，且在区间 上单调递减.
（1）求实数 的值；
（2）请画出函数 的草图.
26.已知幂函数 的图像经过点 ，试确定 的值，并求满足条件 的实数 的取值范围． 【出处：21教育名师】
27.已知幂函数 的图象经过点(2,8)．
（1）试确定m的值；
（2）求满足条件f(2-a)＞f(a-1)的实数a的取值范围．
28.函数 ， ， 的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三者的增长差异(以 ， ， ， ， ， 为分界点)．
21*cnjy*com
29.比较下列各题中两个幂的值的大小：
（1）2.3 ，2.4 ；
（2） ， ；
（3）(－0.31) ，0.35 .
30.比较下列各组数中两个数的大小．
（1） 与 ；
（2）3 与3.1 ；
（3） 与 ；
（4）0.20.6与0.30.4.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域，幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】设y＝xa ， 则 ＝2a ， 解得a＝－2，
∴y＝x－2其单调递增区间为(－∞，0)．
故答案为：D.
【分析】设幂函数为y=xa ， 把点(2, )代入，求出a的值，从而得到幂函数的方程，再判断幂函数的单调递增区间.2·1·c·n·j·y
2.【答案】 C
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】【解答】设幂函数 的解析式为
∵幂函数 过点
∴
∴
∴该函数的解析式为
故答案为：C
【分析】由幂函数的定义，结合函数过 求得幂指数，从而得到函数解析式
3.【答案】 C
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域，幂函数的图象
【解析】【解答】由已知幂_?????°f???x???_＝ 的图象经过点（4，2），则有4 ＝2，解得 ，则f（x）＝ ， 【版权所有：21教育】
故f（16）＝ ，即m＝4.
故答案为：C
【分析】由题意可得4 ＝2，解得 ，再求解f（16）即可．
4.【答案】 B
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域，幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】解：由题意知 ，
．
故答案为：B．
【分析】利用幂函数的定义及幂函数的性质列出不等式组，求出 的值即可．
5.【答案】 B
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】【解答】因为 是幂函数
所以 =1
解得 或，
当 时， ，在 时是减函数
当 时， ，在 时是增函数，不符合题意
所以
故答案为：B
【分析】先由 是幂函数，得 =1， 或， ，再分类讨论，验证是否满足在 上是减函数.
6.【答案】 A
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域，幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】因为 为幂函数.所以 ，解得 或 .
因为 在 上是减函数，∴ .
所以 .
故答案为：A
【分析】首先根据 为幂函数得到 或 ，再根据 在 上是减函数得到 .
7.【答案】 C
【考点】幂函数的图象，幂函数的性质
【解析】【解答_?????±????????°???_图象与性质，在第一象限内，在 的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次增大，曲线 ， ， ， 对应的 的值依次为： ?
故答案为：C.
【分析】根据幂函数的图象与性质，即可求解，得到答案.
8.【答案】 B
【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】① 只满足值域是 ，且 ；③ 只满足在 上是增函数；④ 只满足在 上是增函数；② 是偶函数，在 上是增函数，但其值域是 .
故答案为：B.
【分析】根据幂函数的单调性、值域和奇偶性，结合三个性质两个正确一个错误，对四个幂函数逐一分析，由此确定正确选项.www.21-cn-jy.com
9.【答案】 C
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域，幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】∵f（x）是幂函数，
∴（m﹣1）2＝1，得m＝0，或m＝2，
∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴m2﹣4m+2＞0，
则当m＝0时，2＞0成立，
当m＝2时，4﹣8+2＝﹣2，不成立，
故选C．
【分析】根据幂函数的定义求出m的值，结合幂函数的单调性进行求解即可．
10.【答案】 A
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域，幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】 是幂函数,则
解得 或
又 在区间 上是单调递增函数
?
故答案为：A.
【分析】因为 是幂函数,则 ,解得 或 ,结合 在区间 上是单调递增函数,即可求得 的值.
二、填空题
11.【答案】 [-1,3)
【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】解： 幂函数 在 上单调递增，
又 ，
，
，即
故答案为：[-1,3)．
【分析】由幂函数 在 上单调递增可得 ，从而解得．
12.【答案】 2
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域，幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】∵幂函数 在 上单调递增，
∴由 ，解得 ，
故答案为：2.
【分析】根据幂函数的定义得 ，根据单调性得 ，解出即可.
13.【答案】
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域，幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】因为 是幂函数，所以 ，所以 或 ，
当 时， ，此时 在 上递增，不符合，
当 时， ，此时 在 上递减，符合.
故答案为： .
【分析】根据 是幂函数得到 的可取值，再根据 在 上递减，分别代入 的值进行判断即可.
14.【答案】
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】【解答】 解得
故答案为：
【分析】由题意，将点 代入幂函数，求解 ，即可求值.
15.【答案】 -2
【考点】幂函数的性质
【解析】【解 ，幂函数 为偶函数,且在 上递减，
所以 为偶数，且
故答案为：
【分析】根据幂函数的性质即可判断求解.
16.【答案】
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】【解答】设幂函数 ，因为 图象过点 ，所以 ，即 ，所以 。
【分析】设幂函数 ，因为 图象过点 ，结合代入法，从而求出a的值，进而求出函数解析式，最后求出函数值。
17.【答案】 2
【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】因为 是幂函数，所以 =1，故m=2或m=-1，又幂函数 在 时为减函数，所以-5m-3<0，所以m=2．
【分析】由已知函数 是幂函数列式，得到m=2或m=-1，结合函数的单调性，即可判断m的值.
18.【答案】 （-4,4）
【考点】幂函数的图象，幂函数的性质
【解析】【解答】设幂函数为 ，过点 ，故 ， ，即 ，解得 .
故答案为：（-4,4）.
【分析】计算得到幂函数为 ，解不等式得到答案.
19.【答案】
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】【解答】由题意，设 （ 为常数），则 ，所以 ，
即 ，所以 .
故答案为： .
【分析】根据幂函数的概念设 （ 为常数），将点的坐标代入即可求得 值，从而求得函数解析式，即可得到答案.21·世纪*教育网
20.【答案】 27
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】【解答】设幂函数 = ,其图象过点 ,∴ ,计算得 ,∴ ，
∴ ．故应填27．
【分析】先设出幂函数解析式，再把点 代入计算得 ， 得到幂函数 ， 即可求出的值.
三、解答题
21.【答案】 （1）解：由已知得 且 ，所以 或
当 时， 为奇函数，不合题意
当 时，
所以不等式 变为
则 ，解得
所以不等式 的解集为
（2）解： ，令 ，由 得
因为 在 上有定义
所以 且 ，所以 在 上为增函数
（Ⅰ）当 时，
即 ，∴ ，又 ，∴
（Ⅱ）当 时，
即 ，∴ ，此时解不成立
【考点】幂函数的性质
【解析】【分析_??????1?????±é??_意偶函数和在 上为增函数，解得 ，得到 ，结合定义域和单调性，解得答案；（2）由 在 上有意义得，所以 且 ，所以 在 上为增函数，分 和 两类讨论，解得答案．21cnjy.com
22.【答案】 （1）解：因为 是幂函数，所以 ，解得 或 ，
又因为 在 上单调递增，所以 ，即 ，
所以 .
（2）解：由于 都是减函数，且
分三种情况讨论：
①当 ，即 时，原不等式成立；
②当 且 时，有 ，即 ，解集为空集；
③当 且 时，有 ，即 ，
∴
综上所述： 的取值范围是 .
【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【分析】_???1?????±??????_数的定义可得 ，再利用 在 上单调递增，即可得出 范围；（2）由于 在区间 ， 上都是减函数，且 ，分三种情况讨论，即可得出．【来源：21·世纪·教育·网】
23.【答案】__???1???è§????_因为幂函数 的图象过点 ，所以 ，解得 ；
所以
又点 也在幂函数上 ，所以
（2）解：由（1）知， ，
①当 时，函数 在区间 上单调递增．
由题意可得： ，
解得 ；
②当 时，函数 在区间 上单调递减．
∴ ，
解得 ．
综上所述， 或 ．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域，幂函数的图象，幂函数的性质
【解析】【分析】（1）先由幂函数 的图象过点 ，求出解析式，再由图像过点 ，即可求出结果；（2）先由题意得到 ，分别讨论 ， 两种情况，根据对数函数单调性，即可求出结果.21*cnjy*com
24.【答案】 （1）解：因为幂函数 ，
所以 ，解得 或 ，
所以函数为 或 .
（2）解：①因为 图像不经过坐标原点，
所以 ，
函数的单调递减区间为 ，无单调递增区间.
②因为 图像经过坐标原点，
所以 ，
因为 为偶函数，且在 上为增函数，
所以 ，
又 在 上为增函数，
所以 ，
解得 ，
所以不等式的解为 .
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域，幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【分_?????????1??????_据幂函数可得 ，求出m即可（2）①根据图象不过原点确定函数解析式，写出单调区间即可②根据图象过原点确定函数解析式，利用函数单调性解不等式.21世纪教育网版权所有
25.【答案】 （1）解：由 ，得 或 ，
①当 时， ，此时函数在区间 为增函数，不符合题意；
②当 时， ，此时函数在区间 为减函数，符合题意.
故实数 的值为 .
（2）解：由（1）知 ，由函数 的定义域为
由 可知函数 为偶函数，可画出函数 草图为：
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域，幂函数的图象
【解析】【分析】_(1)?°??????°_ 化为1，求出 的值，再根据单调性排除 ，即可得到 ；(2)求出函数 的定义域以及奇偶性，再结合单调性，即可画出函数 的草图.2-1-c-n-j-y
26.【答案】 解：依题 ，故 ，由于 ，故上式解得 .所以 .函数 的定义域为 ，且在定义域上为增函数，由 得 ，解得 . 21教育名师原创作品
所以 的取值范围是 .
【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【分析】将点 代入函数解析式，由此求得 的值.根据函数的单调性和定义域列不等式组，解不等式组求得 的取值范围.
27.【答案】 （1_???è§??????±é?????_ 或m=-2(舍)
（2）解：由题得 , 在R上单调递增,由f(2-a)>f(a-1)可得
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域，幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【分析】（1）由已知利用幂函数的解析式列式，即可求出m的值；
（2）由已知利用幂函数的单调性列式，即可求出a的取值范围.
28.【答案】解：由幂函数_???é?????????????°_爆炸与对数增长之间，可得出曲线 对应的函数是
，曲线 对应的函数是 ，曲线 对应的函数是 .由图象可得：当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ．
【考点】幂函数的图像
【解析】【分析】根据题意结合函数的图像结合幂函数的增减性即可得出结论。
29.【答案】 （1）解：∵y＝ 为R上的增函数，
又2.3<2.4，
∴2.3 <2.4
（2）解：∵y＝ 为(0，＋∞)上的减函数，又 < ，
∴( ) >( )
（3）解：∵y＝ 为R上的偶函数，
∴ ＝ .
又函数y＝ 为[0，＋∞)上的增函数，
且0.31<0.35，
∴0.31 <0.35 ，即(－0.31) <0.35 .
【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【分析】(1)结合幂_?????°??????è°???§_的定义即可得出结论。(2)根据幂函数的单调性的的定义即可得出结论。(3)利用幂函数的单调性以及偶函数的性质即可得出结论。21·cn·jy·com
30.【答案】 （1）解：)函数y＝ 在(0，＋∞)上单调递增，
又 > ，∴ >
（2）解：y＝ 在(0，＋∞)上为减函数，
又3<3.1，∴3 >3.1
（3）解：函数y＝ 在(0，＋∞)上为减函数，
又 > ，
∴ <
（4）解：函数取中间值0.20.4 ， 函数y＝0.2x在(0，＋∞)上为减函数，所以0.20.6<0.20.4；
又函数y＝x0.4在(0，＋∞)为增函数，所以0.20.4<0.30.4.
∴0.20.6<0.30.4
【考点】幂函数图象及其与指数的关系，幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【分析】(1_)??????????????°_的单调性即可得出结论。(2)利用幂函数的单调性即可得出结论。(3)根据幂函数的单调性即可得出结论。(4)利用幂函数与指数函数的单调性即可得出结论。