3.4 函数的应用（一）（Word含解析）

高中数学同步练习 人教A版 第一册
3.4 函数的应用（一）
一、单选题（共10题；共20分）
1.若函数 义域上单调递增，则实数 的取值范围是（??? ）
A.?????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
2.定义域为R的函数 若函数 有且只有3个不同的零点 ， ， ，则 的值为（? ?）
A.?6???????????????????????????????????????B.?ln6???????????????????????????????????????C.?3ln2???????????????????????????????????????D.?3ln3
3.已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（?? ）
A.???????????????????????????B.???????????????????????????C.???????????????????????????D.?
4.设函数 在区间 上是单调函数，则（??? ）
A.?????????????????????B.?????????????????????C.?????????????????????D.? 或
5.已知函数 ，则 的取值集合是（??? ）
A.?{-2}????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
6.已知函数 ，则方程 的解的个数是（??? ）
A.?3???????????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????????????C.?5???????????????????????????????????????????D.?6
7.已知 在 上是增函数，则实数 的取值范围是（??? ）
A.?????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
8.已知函数 ，则不等式 的解集为（??? ）
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
9.已知函数 若 ，则x0的取值范围为（??? ）

A.?（－1，1）?????????????????B.?（－1，+∞）?????????????????C.??????????????????D.?
10.已知函数 若存在 ，使 成立，则实数 的取值范围是（??? ） www-2-1-cnjy-com
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
二、填空题（共10题；共10分）
11.已知函数 ，则 ________.
12.为了保护水资源，提倡节_?????¨?°??????????_市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如表所示，若某户居民某月交纳水费60元，则该月用水量________m3 ． 【版权所有：21教育】
每户每月用水量 水价
不超过12m3的部分 3元/m3
超过12m3但不超过18m3的部分 6元/m3
超过18m3的部分 9元/m3
13.若不等式组 的整数解只有－2，则k的取值范围是________．
14.某公司招聘员_?·????é??è???????°_按拟录用人数分段计算，计算公式为 ， 其中 代表拟录用人数， 代表面试人数，若面试人数为160，则该公式拟录用人数为________． 21教育名师原创作品
15.函数 ，则不等式 的解集为________.
16.已知函数 若对于任意的实数 ，均存在以 为三边边长的三角形，则 的取值范围是________.
17.已知 ，若存在 ，使得 ，则 的取值范围为________．
18.设函数 若 ,则实数 的取值范围是________.
19.已知函数 的值域为R，则实数a的取值范围是________.
20.已知函数 若 互不相同，且 ，则 的取值范围是________.
三、解答题（共10题；共80分）
21.设 求满足 的x的值．
22.某群体的人均通_??¤???é???????????_单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族 中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示：当 中 的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为 （单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受 影响，恒为 分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
（1）当 取何值时，公交群体的人均通勤时间等于自驾群体的人均通勤时间？
（2）已知上班族 __?????????é????¤_时间计算公式为 ，讨论 单调性，并说明其实际意义.
23.暑假期间，某旅行社为_??????????????????_风景区旅游，推出如下收费标准：若旅行团人数不超过30，则每位游客需交费用600元；若旅行团人数超过30，则游客每多1人，每人交费额减少10元，直到达到70人为止. 21cnjy.com
（1）写出旅行团每人需交费用 （单位：元）与旅行团人数 之间的函数关系式；
（2）旅行团人数为多少时，旅行社可以从该旅行团获得最大收入？最大收入是多少？
24.某旅游景点_???50è??è??è??_车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元。根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆.规定：每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金 元只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用 表示出租所有自行车的日净收入（即一日中出租所以自行车的总收入减去管理费用后的所得）.
（1）求函数 的解析式及定义域；
（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？
25.某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
⑴5公里以内(含5公里),票价2元；
⑵5公里以上,每增加5公里_,??¨??·??????1_元(不足5公里的按5公里计算).如果某条线路的总里程为20公里,请根据题意,写出票价与里程之间的函数关系式,并画出函数的图像.21·世纪*教育网
26.已知函数 ，（其中 且 ）.
（Ⅰ）当 时，画出函数 的图象，并写出函数 的单调区间；
（Ⅱ）若 在区间 上的最小值为 ，求 的表达式.
?21*cnjy*com
27.根据市场调查_???????????·??????_气净化器有如下的统计规律，每生产该型号空气净化器 （百台），其总成本为 （万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入 （万元）满足 ，假定该产品销售平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：
（Ⅰ）求利润函数 的解析式（利润=销售收入-总成本）；
（Ⅱ）假定你是工厂老板，你该如何决定该产品生产的数量？
28.某群体的人均通勤时间，是指_?????????è????¤???_成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当 中 的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间是 （单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受 影响，恒为40钟，根据上述分析结果回答下列问题：
（1）请你说明，当 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
（2）求该地上班族 的人均通勤时间 的表达式；讨论 的单调性，并说明其实际意义．
29.已知函数 .
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）当 时，讨论函数 在区间 上的最大值的表达式 .
30.某市每年_???è?????????????±_于大量的烟花炮竹的燃放，空气污染较为严重．该市环保研究所对近年春节前后每天的空气污染情况调查研究后发现，每天空气污染的指数 随时刻 (时)变化的规律满足表达式 ， ，其中 为空气治理调节参数，且 ．
（1）令 ，求 的取值范围；
（2）若规定每天中 的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过5，试求调节参数 的取值范围．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 A
【考点】分段函数的应用
【解析】【解答】 函数 在 上单调递增，
，解得 ，
实数 的取值范围是 .
故答案为：A.
【分析】分段函数 两段均为单调递增，而且右段的最低点不低于左段的最高点，即可求解.
2.【答案】 D
【考点】分段函数的应用
【解析】【解答】如图，作出函数 的图象，
因为 有且只有3个不同的零点，
所以只有 时符合题意，结合图象对称性可知 ；
所以 .
故答案为：D.
【分析】作出函数 __??????è±???????_合 的零点可得 + + ，然后可求 的值.
3.【答案】 A
【考点】分段函数的应用
【解析】【解答】因为 ， ，为使 ，只能 ，
即有 ，解得 ，
当 时， ，无解；
当 时， ，解得 或 ，所以 .
综上， .
故答案为：A.
【分析】根据题中_??????????????°__ ，解得 ，分别讨论 ， 两种情况，即可得出结果.
4.【答案】 B
【考点】分段函数的应用
【解析】【解答】当 时， ，所以此时函数 在区间 上单调递增，因为 在区间 上是单调函数，所以 在区间 上单调递增，当 时，对称轴 ，此时 在 上单调递增，且需满足 ，得 ；当 时， ，符合题意；当 时，对称轴 ，此时 在 上单调递增，且需满足 ，得 ；综上得， .
故答案为：B
【分析】因为 在 单调递增，所以 在 也是单调递增，且 ，解不等式组，即可得到本题答案.
5.【答案】 A
【考点】分段函数的应用
【解析】【解答】解：若 ，可得 ，解得 ，( 舍去)；
若 ，可得 =5，可得 ，与 相矛盾，故舍去，
综上可得： ，
故答案为：A.
【分析】根据分段函数值的求解方法，对 与 两种情况求解，可得答案.
6.【答案】 B
【考点】分段函数的应用
【解析】【解答】解： 当 时， 是增函数，且 ， 是R上的减函数，经过点 和 .又因为当 时， ，所以 在 、 、 ……上的图象与 上的图象相同， 与 的图象如图所示，共有4个交点，所以方程 共有4个解.
故答案为：B
【分析】画出函数图象，数形结合即可得解.
7.【答案】 C
【考点】分段函数的应用
【解析】【解答】由题, 为增函数, 为增函数,且当 时 的值小于等于 的值.
所以 .故
故答案为：C
【分析】根据分段函数单调性,分别根据在各区间上单调递增,且在分段交界处满足递增列式求解即可.
8.【答案】 C
【考点】分段函数的应用
【解析】【解答】当 时， ，方程 无解；
当 时，令 ，解得 ，合乎题意.
下面解不等式 .
当 时，令 ，得出 ，解得 ，此时， ；
当 时，令 ，解得 ，此时， .
因此，不等式 的解集为 .
故答案为：C.
【分析】分 和 解方程 ，求出 的值，然后分 和 解不等式 ，即可得出结果.21世纪教育网版权所有
9.【答案】 D
【考点】分段函数的应用
【解析】【解 是分段函数，当 时，
或
当 时，
综上有
故答案为：D
【分析】由已知分段函数的解析式，利用 分两种情况列式计算，即可求出的取值范围.
10.【答案】 B
【考点】分段函数的应用
【解析】【解答】当 时, ,即当 时,函数
当 时,
若 ,则 恒成立,满足条件；
若 ,则 ,若存在 ,使 成立,则 ,即 ；
若 ,则 ,满足条件；
综上可得 ；
故答案为：B.
【分析】先求得当 时 的值域; 时分类讨论 的取值情况,当存在 使得 成立时的值域,即可求得 的取值范围.
二、填空题
11.【答案】
【考点】分段函数的应用
【解析】【解答】 故 .
故答案为： .
【分析】利用分段函数定义依次计算得到答案.
12.【答案】 16
【考点】分段函数的应用
【解析】【解答】_è????¨??°é?????__ ，交纳水费为 ，由题可知 ，当 时，解得 ，
故答案为：16
【分析】由表格列出分段函数，再将水费代入求解对应用水量即可
13.【答案】 [-3,2)
【考点】分段函数的应用
【解析】【解答】不等式 的解集为 ，
不等式 可转化为： ，
根据已知条件不等式组的整数解只有-2，
不等式 的解集为 ，
再借助数轴可得 的取值范围为 ，解得 ，
综上k的取值范围是[-3,2)，
故答案为[-3,2)．
【分析】本题首先求 的解集，把不等 转化为 ，此时一定注意根据已知条件确定解集的表示，这是本题易犯错误的地方，再利用数形结合的方法，借助于数轴确定 的取值范围．2·1·c·n·j·y
14.【答案】 75
【考点】分段函数的应用
【解析】【解答】解：令y＝160，
若4x＝160，则x＝40＞10，不合题意；
若2x＋10＝160，则x＝75，满足题意；
若1.5x＝160，则 ，不合题意．
故拟录用人数为75．
故答案为：75．
【分析】这是已知函数值求自变量的问题，又是分段函数，所以分类讨论求解即可．
15.【答案】 [-1,2]
【考点】分段函数的应用
【解析】【解答】原不等式 或 ，
解得： 或 ，
原不等式的解集为 ，
故答案为：[-1,2].
【分析】根据分段函数的解析式，对自变量进行讨论，从而化简不等式，解不等式即可得答案；
16.【答案】
【考点】分段函数的应用
【解析】【解_??????????????????_任意的实数 ，均存在以
为三边边长的三角形，
所以对于任意的实数 ，都有
所以有
当 时 在 上单调递减，在 上单调
递增，易得
当 且 时
当 时 ①当 且 即 时
，满足 ②当 且 即 时
所以 ，得
所以 ③当 且 即 时
，满足 ④当 且 即 时
所以 ，得
所以
综上： 的取值范围是
故答案为：
【分析】题目条件可转化为 ，然后分四种情况讨论，分别求出 的最值，即可解出 的范围
17.【答案】 [8,24]
【考点】分段函数的应用
【解析】【解答】作出函数 的图象如图所示：
因为存在 ，使得 ，
所以 ，且 ，
所以 .
故答案为：[8,24]
【分析】作出 的图象，可得 的关系，并得到 的范围，将 转化成关于 的函数，即可得到答案.21教育网
18.【答案】
【考点】分段函数的应用
【解析】【解答】作出函数图象如图所示：
求得： 仅有唯一解 ， 仅有唯一解 ，
令 ， 即 ，得 ，
解 得： .
故答案为：
【分析】将不等式进行转化，令 ， 即 ，得出 ，再求解 .
19.【答案】 (0,1]
【考点】分段函数的应用
【解析】【解答】当 时， ，
所以 的值域应包含 ，∴ ，解得 ．
故答案为：(0,1]．
【分析】分段函数，先求出其中一段函数的值域，然后分析另一段函数的值域应用包含哪些实数．
20.【答案】 （32，35）
【考点】分段函数的应用
【解析】【解答】不妨设
由图像知，当 及 时，有 ，
当 及 时，有 ，且
故
当 时，

【分析】设 数解析式画出分段函数的图象，再利用分段函数的图象结合已知条件，从而求出与c的关系式，再利用c的取值范围结合二次函数图象求出abcd的取值范围.【来源：21·世纪·教育·网】
三、解答题
21.【答案】 解：根据题意，
若 ，
当x≤1时，由 ，解得x=log32，
当x＞1时，由 ，解得x=4，
所以x=log32或x=4
【考点】分段函数的应用
【解析】【分析】分段函数已知函数值求解自变量，需分段讨论自变量范围，在各范围内解方程，符合范围的根可作为自变量的值.2-1-c-n-j-y
22.【答案】 （1）解：由题意知，当 时，
令 ，化简得 ，解得 或 .
因此，当 或 时，公交群体的人均通勤时间等于自驾群体的人均通勤时间
（2）解：当 时， ；
当 时，
∴
当 时，函数 单调递减；
当 时，函数 单调递减；
当 时，函数 单调递增.
说明该地上班族 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；
有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；
当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少
【考点】分段函数的应用
【解析】【分析】（1）取 ，解得答案.（2）计算得到 ，再判断单调性得到答案.
23.【答案】 （1）解：由题意可知每人需交费 关于旅行社团人数 的函数：

（2）解：旅行社收入为 ，则
即
当 时， 为增函数，所以
当 时， 为开口向下的二次函数，对称轴 ，所以在对称轴处取得最大值， 。
综上所述：当人数为45人时，最大收入为20250元。
【考点】分段函数的应用
【解析】【分析】（_1????????¨?·????_条件，通过分段函数列出每人需要交费 关于旅行社人数 的函数关系式。（2）利用分段函数列出收入关系式，然后求解函数的最值。21*cnjy*com
24.【答案】 （1）解：当 时， ，令 ，解得 ．
， ， ，且 ．
当 时，
综上可知
（2）解：当 ，且 时， 是增函数，
当 时， 元．
当 ， 时， ，
当 时， 元．
综上所述，当每辆自行车日租金定在11元时才能使日净收入最多，为270元．
【考点】分段函数的应用
【解析】【分析】（1）函数 出租自行车的总收入 管理费；当 时，全部租出；当 时，每提高1元，租不出去的就增加3辆；所以要分段求出解析式；（2）由于函数解析式是分段函数，所以先在每一段内求出函数最大值，再比较得出函数的最大值．
25.【答案】 解：当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
综上：函数解析式为
按照分段函数画出图像，如下图：
【考点】分段函数的应用
【解析】【分析】实际问题，根据实际情况确定分段函数的取值，及图像.
26.【答案】 解：（Ⅰ）当 时， ，函数图象如图所示，
∴ 在 单调递增，在 单调递减，
?
（Ⅱ）当 ，即 时，
在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ；
当 ，即 时， 在 和 单调递增，
在 上单调递减，
所以 ，
∴ .
【考点】分段函数的应用
【解析】【分析】（Ⅰ）把变量的值带入解析式，即可画出图象，再借助图象即可得到结论； （Ⅱ）分类讨论得函数的单调性，即可得到最小值．21·cn·jy·com
27.【答案】 解：（I）由 故
（II）当 时， 函数 递减，∴ 万元
当 时，函数 ,当x=16时取得最大值，
当 时， 有最大值308万元
所以应该决定生产16百台，因为这样可使利润最大.
【考点】分段函数的应用
【解析】【分析】（1）对x的取值_????±?è?¨è????????_出分段函数的形式即可；
（2）在分段函数的每一段，根据函数的单调性求出最值，即可求出函数的最大值.
28.【答案】 （1）解：由题意知，
当0＜x 30时,f(x)=30<40, 公交群体的人均通勤时间恒大于自驾群体的人均通勤时间；
当30＜x＜100时， >40,
即x2-65x+900＞0，解得x＜20(舍去)或x＞45
∴? 当x∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.
（2）解：当0＜x≤30时，g（x）=30?x%+40（1-x%）=40- ?
当30＜x＜_100??????__ ；
∴ ?
∵当0＜x≤30时, g（x）=40- 是单调递减函数，g（30）=37，
当30＜x＜100时， ? ，且g（30）=37，
∴当0＜x＜32.5时，g（x）单调递减；当32.5＜x＜100时，g（x）单调递增；
实际意义：说明该_??°?????????S???_小于32.5%的人自驾时，随着自驾占比增大，人均通勤时间是递减的；大于32.5%的人自驾时，随着自驾占比增大，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最短www.21-cn-jy.com
【考点】分段函数的应用
【解析】【分析】_???1????????????_段函数的特点，对每一段分别解不等式，即可求出 公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间时x的取值范围；
（2）根据题意，将该地上班族 的人均通勤时间 的表达式写成分段函数的形式，通过函数的性质说明每段函数的单调性，并解释其实际意义即可.【来源：21cnj*y.co*m】
29.【答案】 （1）解：由题知 ，
因为 ，所以 ，所以 在区间 单调递增；
当 时， ，所以 在区间 单调递增；
当 ，所以 在区间 单调递增，在区间 单调递减；
综上所述，当 ， 在 单调递增；
当 ， 在 和 单调递增，在 单调递减
（2）解： 在区间 和 单调递增，在区间 单调递减，
当 时， 在 单调递增，所以 ；
当 时， ，所以 ；
当 时， .
综上所述：
【考点】分段函数的应用
【解析】【分析】（1） ，讨论 和 两种情况，分别计算得到答案.（2） 在区间 和 单调递增，在区间 单调递减，讨论 ， ， 三种情况，分别计算得到答案.
30.【答案】__???1???è§????_因为 ,所以 ．
（2）解：因为
所以 在 上单调递减,在 单调递增.
所以
所以 得 ．
【考点】分段函数的应用
【解析】【分析】(1_)??±é???????????_,直接根据定义域 ,求解 的范围即可.(2)由 且 的最大值作为当天的空气污染指数,所以直接根据 的范围简化表达式,故有 ,再根据绝对值分段讨论的方法分析函数单调性计算污染指数不超过5时参数 的取值范围.【出处：21教育名师】