北师大版九年级下册数学 2.5二次函数与一元二次方程 同步练习（Word版含答案）

2.5二次函数与一元二次方程
同步练习
一．选择题
1．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为（　　）
A．x1＝﹣3，x2＝0
B．x1＝3，x2＝﹣1
C．x＝﹣3
D．x1＝﹣3，x2＝1
2．若二次函数y＝kx2+2x﹣1的图象与x轴仅有一个公共点，则常数k的值为（　　）
A．1
B．±1
C．﹣1
D．
3．抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的两交点间的距离是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．若二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c＝0的解为（　　）
A．x1＝﹣3，x2＝﹣1
B．x1＝﹣1，x2＝3
C．x1＝1，x2＝3
D．x1＝﹣3，x2＝1
5．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴负半轴交于A（m，0），与x正半轴交于B（n，0），4＜n＜5，与y轴负半轴交于C，且OA＝OC，则a的取值范围是（　　）
A．0＜a＜
B．＜a＜
C．
D．＜a＜1
6．已知二次函数y＝mx2+x﹣1的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣
B．m≥﹣
C．m＞﹣且m≠0
D．m≥﹣且m≠0
7．若关于x的方程x2﹣mx+n＝0没有实数解，则抛物线y＝x2﹣mx+n与x轴的交点有（　　）
A．2个
B．1个
C．0个
D．不能确定
8．如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（　　）
A．2＜x＜3
B．3＜x＜4
C．4＜x＜5
D．5＜x＜6
9．根据下列表格中的对应值，判断y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）与x轴的交点的横坐标的取值范围是（　　）
x
3.23
3.24
3.25
3.26
y＝ax2+bx+c
﹣0.69
﹣0.02
0.03
0.36
A．0＜x＜3.23
B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25
D．3.25＜x＜3.26
10．对于抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），下列说法错误的是（　　）
A．若顶点在x轴下方，则一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根
B．若抛物线经过原点，则一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一根为0
C．若a?b＞0，则抛物线的对称轴必在y轴的左侧
D．若2b＝4a+c，则一元二次方程ax2+bx+c＝0，必有一根为﹣2
二．填空题
11．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0），则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是　
　．
12．抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴的一个交点为（﹣3，0），则另一个交点坐标为　
　．
13．若二次函数y＝x2﹣2x﹣m与x轴没有交点，则关于x的一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不经过第　
　象限．
14．已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴交于（﹣2，0）、（3，0），则关于x的一元二次方程：a（x﹣h+6）2+k＝0的解为　
　．
15．如图，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是　
　．
三．解答题
16．如图为二次函数y＝﹣x2﹣x+2的图象，试根据图象回答下列问题：
（1）方程﹣x2﹣x+2＝0的解为　
　；
（2）当y＞0时，x的取值范围是　
　；
（3）当﹣3＜x＜0时，y的取值范围是　
　．
17．已知二次函数y＝ax2+10x+c（a≠0）的顶点坐标为（5，9）．
（1）求a，c的值；
（2）二次函数y＝ax2+10x+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，求△ABC的面积．
18．已知，抛物线y＝x2+（2m﹣1）x﹣2m（﹣＜m≤），直线l的解析式为y＝（k﹣1）x+2m﹣k+2．
（1）若抛物线与y轴交点的纵坐标为﹣3，试求抛物线的解析式；
（2）试证明：抛物线与直线l必有两个交点；
（3）若抛物线经过点（x0，﹣4），且对于任意实数x，不等式x2+（2m﹣1）x﹣2m≥﹣4都成立，当k﹣2≤x≤k时，抛物线的最小值为2k+1，求直线l的解析式．
参考答案
1．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的另一个交点坐标为[﹣1×2﹣（﹣3），0]，即（1，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣3，x2＝1．
故选：D．
2．解：∵二次函数y＝kx2+2x﹣1的图象与x轴仅有一个公共点，
∴当y＝0时，0＝kx2+2x﹣1，则△＝22﹣4×k×（﹣1）＝0，
解得，k＝﹣1，
故选：C．
3．解：当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
所以抛物线与x轴的两交点的坐标为（﹣1，0），（3，0），
所以抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的两交点间的距离为3﹣（﹣1）＝4．
故选：D．
4．解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
所以方程ax2﹣2ax+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3．
故选：B．
5．解：∵OA＝OC，A（m，0），
∴C（0，m），即c＝m，
则抛物线解析式为y＝ax2+bx+m，
根据题意知抛物线对称轴x＝﹣＝，
可得b＝﹣am﹣an①，
将点A（m，0）代入y＝ax2+bx+m，得：am2+bm+m＝0，即am+b+1＝0，
∴b＝﹣am﹣1
②，
由①、②可得﹣am﹣1＝﹣am﹣an，
即an＝1，a＝，
∵4＜n＜5，
∴＜a＜，
故选：B．
6．解：∵原函数是二次函数，
∴m≠0．
∵二次函数y＝mx2+x﹣1的图象与x轴有两个交点，则
△＝b2﹣4ac＞0，
△＝12﹣4m×（﹣1）＞0，
∴m＞﹣．
综上所述，m的取值范围是：m＞﹣且m≠0，
故选：C．
7．解：x2﹣mx+n＝0没有实数解，
则抛物线y＝x2﹣mx+n与x轴没有交点，
故选：C．
8．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点为（1，﹣4），
∴对称轴为x＝1，
而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是﹣3＜x＜﹣2，
∴右侧交点横坐标的取值范围是4＜x＜5．
故选：C．
9．解：∵x＝3.24时，y＝﹣0.02＜0；x＝3.25时，y＝0.03＞0，
∴抛物线与x轴的一个交点在点（3.24，0）与点（3.25，0）之间．
故选：C．
10．解：A：当顶点在x轴的下方且a＜0时，
此时抛物线与x轴没有交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实数根，
∴A错误；
B：当抛物线经过原点时，c＝0，
∴ax2+bx＝0，
解得：x＝0或x＝﹣，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一根为0，
∴B正确；
C：∵抛物线的对称轴为：x＝﹣，
∴抛物线的对称轴的位置由与b的符合共同决定，
∴C正确；
D：令x＝﹣2，得：4a﹣2b+c＝0，
∴2b＝4a+c，
∴D正确，
故选：A．
11．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0），
∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c对应的x的值﹣1或5，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝5，
故答案为：x1＝﹣1，x2＝5．
12．解：∵抛物线y＝x2﹣2x+m的对称轴是直线x＝﹣＝1，
∴点（﹣3，0）关于直线x＝1对称的点的坐标是：（5，0），即另一个交点坐标为（5，0）．
故答案是：（5，0）．
13．解：∵二次函数y＝x2﹣2x﹣m与x轴无交点，
∴△＝（﹣2）2﹣4（﹣m）＜0，解得m＜﹣1，
∵m+1＜0，m﹣1＜0，
∴一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．
故答案为：一．
14．解：将抛物线y＝a（x﹣h）2+k向左平移6个单位长度后的函数解析式为y＝a（x﹣h+6）2+k，
∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过（﹣2，0），（3，0）两点，
∴当a（x﹣h+6）2+k＝0向左平移6个单位时，对应的解是x1＝﹣8，x2＝﹣3，
故答案为：x1＝﹣8，x2＝﹣3．
15．解：令y＝﹣x2+4x﹣3＝0，
即x2﹣4x+3＝0，
解得x＝1或3，
则点A（1，0），B（3，0）．
由于将C1向右平移2个长度单位得C2，
则C2解析式为y＝﹣（x﹣4）2+1，
当y＝x+m与C2相切时，
令y＝x+m＝y＝﹣（x﹣4）2+1，
即x2﹣7x+15+m＝0，△＝72﹣4×（15+m）＝0，
解得，
当y＝x+m2过点B时，
即0＝3+m，m＝﹣3，
当时直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点．
故答案为：．
16．解：（1）令y＝﹣x2﹣x+2＝0，解得x＝﹣2或1，
故答案为x1＝﹣2，x2＝1；
（2）从图象看，当y＞0时，x的取值范围是﹣2＜x＜1，
故答案为﹣2＜x＜1；
（3）由抛物线的表达式知，顶点坐标为（﹣，），
当x＝﹣3时，y＝﹣9+3+2＝﹣4，
故当﹣3＜x＜0时，y的取值范围是为﹣4＜y≤．
17．解：（1）根题意，得，，解得；
故a＝﹣1，c＝﹣16；
（2）由（1）可知该二次函数的解析式为y＝﹣x2+10x﹣16，今x＝0，则y＝﹣16．
∴点C的坐标为（0，﹣16），
令y＝0，则﹣x2+10x+16＝0，解得x1＝2，x2＝8，
AB＝8﹣2＝6．
∴S△ABC＝AB?OC＝×6×16＝48．
18．解：（1）抛物线与y轴交点的纵坐标为﹣3，即：﹣2m＝﹣3，解得：m＝，
则抛物线表达式为：y＝x2+2x﹣3＝（
x+1）2﹣4，
（2）抛物线：y＝x2+（2m﹣1）x﹣2m，
直线：y＝（k﹣1）x+2m﹣k+2，
x2+（2m﹣k）x﹣4m+k﹣2＝0，
△＝（2m﹣k）2﹣4（﹣4m+k﹣2）＝（2m﹣k）2+16m﹣4k+8，
＝（2m﹣k）2+4（2m﹣k）+8m+4+4，
＝（2m﹣k+2）2+8m+4，
∵m＞﹣，
∴（2m﹣k+2）2+8m+4＞0，
∴△＞0，抛物线与直线l必有两个交点；
（3）依题意可知y最小值＝﹣4，
即＝﹣4，
解得：m＝或m＝﹣，
∵﹣＜m≤，
∴m＝，此时抛物线的对称轴为直线
x＝﹣1，
①当k≤﹣1时，抛物线在k﹣2≤x≤k上，图象下降，y随x增大而减小．此时y最小值＝k2+2k﹣3，
∴k2+2k﹣3＝2k+1，
解得：k1＝2＞﹣1（舍去），k2＝﹣2，
②当k﹣2＜﹣1＜k，即＜﹣1＜k＜1时，抛物线在k﹣2≤x≤k上，y最小值＝﹣4，
∴2k+1＝﹣4
∴解得：k＝﹣＜﹣1
（舍去）；
③当k﹣2≥﹣1，即k≥1时，抛物线在k﹣2≤x≤k上，图象上升，y随x增大而增大，
此时y最小值＝（k﹣2）2+2
（k﹣2）﹣3，
（k﹣2）2+2
（k﹣2）﹣3＝2k+1，
解得：k1＝2+2，k2＝2﹣2＜1
（舍去），
综上所述，直线l：y＝﹣3
x+7或y＝（1+2）x+3﹣2．