北师大版九年级数学下册 1.1 锐角三角函数 同步测试题（Word版有答案）

10490200106934001231900001.1 锐角三角函数 同步测试题
（满分120分；时间：120分钟）
一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ）
?1. 在Rt△ABC中，∠A＝90?，AC＝5，BC＝13，那么tanB的值是（ ）
A.512 B.125 C.1213 D.513
?
2. 当角度在0?到90?之间变化时，函数值随着角度的增大而增大的三角函数是（ ）
A.正弦和余弦 B.正弦和正切
C.余弦和正切 D.正弦、余弦和正切
?3. 已知α是锐角，且sinα＝0.75，则（ ）
A.0?<α<30? B.30?<α<45? C.45?<α<60? D.60?<α<90?
?
4. 在△ABC中，∠ACB=90?，CD⊥AB交于点D，则下列等式中错误的是（ ）
A.sinB=ACAB B.sinB=ADAC C.sinB=BDBC D.sinB=CDBC
?
5. 在Rt△ABC中，∠C=90?，则BCAB表示（ ）
A.sinA B.cosA C.sinB D.以上都不对
?
6. 在Rt△ABC中，∠C=90?，AB=13，BC=12，则下列关系式中正确的是（ ）
A.sinA>cosB B.cosA>sinB C.cosA?
7. 已知Rt△ABC中，∠C=90?，AB=13，BC=5，则sinB的值是（ ）
A.315 B.1213 C.512 D.135
?
8. α是锐角，且cosα=34，则（ ）
A.0?<α<30? B.30?<α<45? C.45?<α<60? D.60?<α<90?
?
9. 在Rt△ABC中，∠C=90?，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列关系式中错误的是（ ）
A.b=c?cosB B.b=a?tanB C.a=c?sinA D.a=b?cotB
?
10. 当∠A为锐角，且cosA的值大于12时，则∠A( )
A.大于30? B.小于30? C.大于60? D.小于60?
二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ） ?
11. 比较大小：sin47?56'________cos47?56'（选填“<”，“>”或“=”）．
?
12. 在△ABC中，∠ACB=90?，CD⊥AB，AC=3，BC=4，则tan∠ACD=________．
?
13. 在△ABC中，∠C=90?，BC=6，sinA=23，则AB边的长是________．
?
14. 在△ABC中，∠C=90?，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，若c=3a，则sinA=________．
?
15. 在Rt△ABC中，∠C=90?，若AC=2BC，则tanA的值是________．
?
16. 已知tanα=23，则锐角α的取值范围是________．
?
17. 在Rt△ABC中，∠C=90?，AC=2，BC=3，则cosA=________．
?18. 已知α为锐角，若cosα=0.4321，则锐角α的范围在特殊锐角________之间．
?
19. 如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是________．
?20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，点A、B、O均在格点处，则cos∠AOB=________．
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计60分 ， ） ?
21. 计算：6tan230?-3sin60?-2sin45?.
?
22. 已知30?<α<β<90?，化简(cosα-cosβ)2-|cosβ-32|+|1-cosα|．
?
23. 如图，已知△ABC中，∠C=90?，∠A=60?，a=15，根据定义求∠A，∠B的三角函数值．
?
24. 已知：如图，CA⊥AO，E、F是AC上的两点，∠AOF>∠AOE．
（1）求证：tan∠AOF>tan∠AOE；
（2）锐角的正切函数值随角度的增大而________．
?
25. 如图，已知∠ABC和射线BD上一点P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．
（1）若∠EBP=40?，∠FBP=20?，PB=m，试比较PE、PF的大小；
（2）若∠EBP=α，∠FBP=β，α，β都是锐角，且α>β．试判断PE、PF的大小，并给出证明．
?
26.
（1）如图锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律．
（2）根据你探索到的规律试比较18?，34?，50?，62?，88?，这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．
（3）比较大小（在空格处填写“>”“＝”“<”号），若α＝45?，则sinα________cosα；若0?<α<45?，则sinα________cosα；若45?<α<90?，sinα________?cosα．
参考答案与试题解析
一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）
1.
【答案】
A
【解答】
∵ 在Rt△ABC中，∠A＝90?，AC＝5，BC＝13，
∴ AB=BC2-AC2=12，
∴ tanB=ACAB=512．
2.
【答案】
B
【解答】
解：当角度在0?到90?之间变化时，函数值随着角度的增大而增大的三角函数是正弦和正切．
故选B．
3.
【答案】
C
【解答】
∵ sin60?=32≈0.87，sin45?=22≈0.7，正弦值随角度的增大而增大，
∴ sinα＝0.75，则45?<α<60?．
4.
【答案】
C
【解答】
解：A、∵ 在Rt△ACB中，∠ACB=90?，
∴ sinB=ACAB，故本选项错误；
B、∵ CD⊥AB，
∴ ∠ADC=∠ACB=90?，
∴ ∠B+∠A=90?，∠A+∠ACD=90?，
∴ ∠B=∠ACD，
∵ 在Rt△ADC中，∠ADC=90?，sin∠ACD=ADAC，
∴ sinB=ADAC，故本选项错误；
C、∵ ∠B≠∠BCD，sin∠BCD=BDBC，
∴ sinB≠BDBC，故本选项正确；
D、在Rt△BDC中，sinB=CDBC，故本选项错误；
故选C．
5.
【答案】
A
【解答】
解：∵ Rt△ABC中，∠C=90?，
则BCAB表示sinA．
故选A．
6.
【答案】
C
【解答】
解：根据勾股定理，得
AC=5．
再根据锐角三角函数的定义，得
sinA=cosB=1213，cosA=sinB=513．
显然C正确．
故选C．
7.
【答案】
B
【解答】
解：AC=AB2-BC2=132-52=12，
则sinB=ACAB=1213．
故选B．
8.
【答案】
B
【解答】
解：∵ 在锐角三角函数中，余切值都是随着角的增大而减小，
又知cos30?=32，cos45?=22，
故30?<α<45?，
故选B．
9.
【答案】
A
【解答】
解：在Rt△ABC中，∠C=90?，
则cosA=bc，sinA=ac，
tanB=ba，cosB=ac，
tanA=ab，cotA=ba；
因而b=ccosA=atanB，
a=csinA=ccosB=btanA=bcotA，
错误的是b=c?cosB．
故选A．
10.
【答案】
D
【解答】
解：∵ cos60?=12，余弦函数随角增大而减小，
∴ ∠A<60?．
故选D．
二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）
11.
【答案】
>
【解答】
解：∵ cos47?56'=sin(90?-47?56')=sin43?4'，
sin47?56'>sin43?4'，
∴ sin47?56'>cos47?56'．
故答案为：>．
12.
【答案】
34
【解答】
解：∵ ∠C=90?，CD⊥AB，
∴ ∠B+∠BCD=90?，∠BCD+∠ACD=90?，
∴ ∠ACD=∠B，
∴ tan∠ACD=tan∠B=ACBC=34，
故答案为：34．
13.
【答案】
9
【解答】
解：∵ BC=6，sinA=23，
∴ 23=6AB，
解得：AB=9．
故答案为：9．
14.
【答案】
13
【解答】
解：sinA=ac=a3a=13，
故答案为：13．
15.
【答案】
12
【解答】
解：∵ 在Rt△ABC中，∠C=90?，AC=2BC，
∴ tanA=BCAC=BC2BC=12，
故答案为：12．
16.
【答案】
30?<α<45?
【解答】
解：∵ tan30?=33，tan45?=1，正切函数随角增大而增大，
33∴ 30?<α<45?．
17.
【答案】
21313
【解答】
解：在Rt△ABC中，∠C=90?，AC=2，BC=3，
由勾股定理可得AB=13．
则cosA=ACAB=213=21313．
18.
【答案】
60?【解答】
解：∵ cos30?=32，cos45?=22，cos60?=12，且0.4321<12，
∴ cosα∴ 锐角α的范围是：60?故答案是：60?19.
【答案】
32
【解答】
解：由图可得tan∠AOB=32．
故答案为：32．
20.
【答案】
35
【解答】
解：如图，连接AB，过A作AD⊥OB，
设每个小正方形边长为1，
∵ S△AOB=3×3-12×1×3×2-12×2×2=4，
由勾股定理可得：OA=OB=10，
∴ AD=810=4510，
∴ OD=3510，
∴ cos∠AOB=ODOA=35，
cos∠AOB=35，
故答案为35．
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ）
21.
【答案】
解：原式=6×(33)2-3×32-2×22=6×13-32-2=2-32-2=12-2
【解答】
解：原式=6×(33)2-3×32-2×22=6×13-32-2=2-32-2=12-2
22.
【答案】
解：∵ 30?<α<β<90?，
∴ cosα>cosβ，cosβ<32，1-cosα>0，
则原式=cosα-cosβ+cosβ-32+1-cosα=1-32．
【解答】
解：∵ 30?<α<β<90?，
∴ cosα>cosβ，cosβ<32，1-cosα>0，
则原式=cosα-cosβ+cosβ-32+1-cosα=1-32．
23.
【答案】
解：∵ △ABC中，∠C=90?，∠A=60?，a=15，
∴ ∠B=30?，tanA=BCAC=3，
解得：AC=53，则AB=103，
∴ sinA=15103=32，cosA=53103=12，tanA=1553=3，
sinB=12，cosB=32，tanB=33．
【解答】
解：∵ △ABC中，∠C=90?，∠A=60?，a=15，
∴ ∠B=30?，tanA=BCAC=3，
解得：AC=53，则AB=103，
∴ sinA=15103=32，cosA=53103=12，tanA=1553=3，
sinB=12，cosB=32，tanB=33．
24.
【答案】
增大．
【解答】
解：（1）∵ CA⊥AO，
∴ △FOA和△EOA均为直角三角形．
∴ tan∠AOF=AFOA，tan∠AOE=EAOA．
∴ tan∠AOF>tan∠AOE．
（2）由（1）可知锐角的正切函数值随角度的增大而增大．
25.
【答案】
解：（1）在Rt△BPE中，sin∠EBP=PEBP=sin40?
在Rt△BPF中，sin∠FBP=PFBP=sin20?
又sin40?>sin20?
∴ PE>PF；
（2）根据（1）得
sin∠EBP=PEBP=sinα，sin∠FBP=PFBP=sinβ
又∵ α>β
∴ sinα>sinβ
∴ PE>PF．
【解答】
解：（1）在Rt△BPE中，sin∠EBP=PEBP=sin40?
在Rt△BPF中，sin∠FBP=PFBP=sin20?
又sin40?>sin20?
∴ PE>PF；
（2）根据（1）得
sin∠EBP=PEBP=sinα，sin∠FBP=PFBP=sinβ
又∵ α>β
∴ sinα>sinβ
∴ PE>PF．
26.
【答案】
在图中，令AB1＝AB2＝AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，
显然有：B1C1>B2C2>B3C3，∠B1AC>∠B2AC>∠B3AC．
∵ sin∠B1AC=B1C1AB1，sin∠B2AC=B2C2AB2，sin∠B3AC=B3C3AB3，
而B1C1AB1>B2C2AB2>B3C3AB3，
∴ sin∠B1AC>sin∠B2AC>sin∠B3AC．
在图中，Rt△ACB3中，∠C＝90?，
cos∠B1AC=ACAB1，cos∠B2AC=ACAB2，cos∠B3AC=ACAB3，
∵ AB3>AB2>AB1，
∴ ACAB1>ACAB2>ACAB3．
即cos∠B3AC结论：锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小．
由（1）可知：
sin88?>sin62?>sin50?>sin34?>sin18?；
cos88?＝,<,>
【解答】
在图中，令AB1＝AB2＝AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，
显然有：B1C1>B2C2>B3C3，∠B1AC>∠B2AC>∠B3AC．
∵ sin∠B1AC=B1C1AB1，sin∠B2AC=B2C2AB2，sin∠B3AC=B3C3AB3，
而B1C1AB1>B2C2AB2>B3C3AB3，
∴ sin∠B1AC>sin∠B2AC>sin∠B3AC．
在图中，Rt△ACB3中，∠C＝90?，
cos∠B1AC=ACAB1，cos∠B2AC=ACAB2，cos∠B3AC=ACAB3，
∵ AB3>AB2>AB1，
∴ ACAB1>ACAB2>ACAB3．
即cos∠B3AC结论：锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小．
由（1）可知：
sin88?>sin62?>sin50?>sin34?>sin18?；
cos88?若α＝45?，则sinα＝cosα；若0?<α<45?，则sinαcosα．
故答案为：＝，<，>．