初中数学北师大版九年级下册 第一章 直角三角形的边角关系 ： 三角函数与几何综合应用基础综合讲义（Word版 含简单答案）

几何综合（讲义）
课前预习
回顾以下特征及特征组合的思考角度：
1．直角相关的搭配和用法
①直角+中点（直角三角形斜边上的中线等于斜边一半）；
②直角+特殊角（由特殊角构造直角三角形）；
③直角+角平分线（等腰三角形三线合一）；
④直角三角形斜边上的高（母子型相似、射影定理）；
⑤弦图结构；
⑥三等角模型．
2．旋转的思考角度
①全等变换：对应边_____；对应角_______．
②对应点：对应点到旋转中心的距离______，对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角，并且这些旋转角都______；对应点连线的垂直平分线都经过______．
③旋转会产生________．
④看到等线段共点要想到利用旋转思想解决问题．
3．相似的思考角度
当碰到线段乘积、线段成比例等信息时，我们往往会考虑利用________整合这些信息．
4．特殊角（三角函数值）
通常把这个角放在___________中研究，常利用________或__________两种方式进行处理．
知识点睛
线段间的比例关系常常与相似三角形、三角函数组合起来使用，是边角信息相互转化的一种常用手段．
通过作高构造直角三角形，再利用勾股定理、三角函数以及相似解直角三角形是一种解三角形的常用方式．
精讲精练
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，过点C作CE⊥AD于点E，CE的延长线交AB于点F，过点E作EG∥BC交AB于点G．若AE·AD=16，AB=，则EG的长为___________．
如图，在直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，BC=CD，E为梯形内一点，且∠BEC=90°，将△BEC绕点C顺时针旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连接EF，交CD于点M．若BC=5，CF=3，则DM:MC的值为_________．
如图，在△ABC中，已知∠CAB=46°，∠C=100°，AD是
∠CAB的平分线，点E在AC上，AB=9，AD=6，AE=4，则∠CDE的度数为___________．
如图，AD是△ABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=60
cm，AD=40
cm，四边形PQRS是正方形，则此正方形的边长为___________．
第4题图
第5题图
如图，在等边三角形ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=4，CE，则△ABC的面积为___________．
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A沿顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B，P，P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．下列结论：①∠CBP=∠ABP；②AE=CP；③当，BP′=时，线段AB的长为10．其中正确的结论序号是___________．
第6题图
第7题图
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，点E，D分别是线段AB和BC延长线的点，AE:EB=2:3，连接ED，ED⊥AB，则sin∠CAD=___________．
如图，已知等边三角形ABC的面积是，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积为___________．（结果保留根号）
第8题图
第9题图
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分
∠BAC交BC于点D，则BD的长为___________．
如图，在△ABC中，∠A=60°，AB=8，BC=，则AC的长为_________．
第10题图
第11题图
如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，CD平分∠ACB，若AD=1，AC=2，则AB=_________．
如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为___________．
如图，在等腰Rt△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E为线段AB上一点，F为AC延长线上一点，且BE=CF，连接EF，分别交AD，BC于点H，G．若AB=3，EF=，则线段EH的长为___________．
【参考答案】
课前预习
①相等；相等
②相等；相等；旋转中心
③等腰三角形
相似
直角三角形；转移；构造
精讲精练
4
23°
24
cm
①②③
12
几何综合（习题）
例题示范
例：如图，在四边形ABCD中，AB=2，BC=CD=，∠B=90°，
∠C=120°，则AD的长为_______．
解：如图，连接AC．
在Rt△ABC中，∵∠B=90°，AB=2，BC=
∴tan∠ACB=
∴∠ACB=30°
∴AC=2AB=4
∵∠BCD=120°
∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=90°
在Rt△ADC中，AC=4，CD=
∴AD=
巩固练习
如图，在△ABC中，AB=15
m，AC=12
m，AD是∠BAC的外角平分线，DE∥AB交AC的延长线于点E，那么CE=________．
在△ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高．将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为________．
如图，矩形EFGD的边EF在△ABC的BC边上，顶点D，G分别在边AB，AC上．已知AB=AC=5，BC=6，设BE=x，，则y关于x的函数关系式为________________．
（要求写出的取值范围）
第3题图
第4题图
如图，在△ABC中有一正方形DEFG，其中D在AC上，E，F在AB上，直线AG分别交DE，BC于M，N两点．若∠B=90°，AB=4，BC=3，EF=1，则BN的长度为（
）
A．
B．
C．
D．
如图，在△ABC中，AB=BC=10，AC=12，BO⊥AC，垂足为O，过点A作射线AE∥BC，点P是边BC上任意一点，连接PO并延长与射线AE相交于点Q，设B，P两点之间的距离为x，过点Q作直线BC的垂线，垂足为R．小明同学思考后给出了下面五条结论：①△AOB≌△COB；
②当0＜x＜10时，△AOQ≌△COP；
③当x=5时，四边形ABPQ是平行四边形；
④当x=0或x=10时，都有△PQR∽△CBO；
⑤当x=时，△PQR与△CBO一定相似．
其中正确的是________________．
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3
cm，AC=4
cm，F是BC的中点．若动点E以2
cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设运动时间为t（s）（0≤t＜3），连接EF，当t为__________s时，△BEF是直角三角形．
第6题图
第7题图
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，在线段AB上取一点D，作DF⊥AB交AC于点F．现将△ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为A1；AD的中点E的对应点记为E1．若△E1FA1∽△E1BF，则AD=_______．
如图，在矩形ABCD中，已知AB=12，AD=8，如果将矩形沿直线l翻折后，点A落在边CD的中点E处，直线l分别与边AB，AD交于点M，N，那么MN的长为_________．
第8题图
第9题图
如图，在△ABC中，AB=AC，BC=9，．如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在AC边的点E处，AE:EC=2:1，直线l与BC边交于点D，那么BD的长为_________．
如图1，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，将其沿对角线BD折叠，顶点C的对应位置为G，BG交AD于E；再折叠，使点D落在点A处，折痕MN交AD于F，交DG于M，交BD于N，展开后得图2，则折痕MN的长为___________．
图1
图2
思考小结
以直角为例，站在初中三年所学知识角度梳理相关做法，总结所学知识：
边：勾股定理
角：直角三角形两锐角互余
面积：直角边看成高（等面积结构）
固定模型和用法：
①直角+中点（直角三角形斜边中线等于斜边一半）；
②直角+特殊角（由特殊角构造直角三角形）；
③直角+角平分线（等腰三角形三线合一）；
④直角三角形斜边上的高（母子型相似、射影定理）；
⑤弦图结构；
⑥三等角模型；
⑦斜直角放正．
函数背景下考虑．
你能尝试类比总结其他的特征（如折叠、旋转、中点等）吗？
【参考答案】
巩固练习
48
m
D
①②③⑤
1