单元综合测试二(第二章综合测试)
时间：120分钟 分值：150分
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列表格可以作为X的分布列的是( )
2．甲射击命中目标的概率是，乙射击命中目标的概率是，丙射击命中目标的概率是.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为( )
A.
B.
C.
D.
3．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设A为下雨，B为刮风，那么P(B|A)等于( )
A.
B.
C.
D.
4．已知ξ～N(0，σ2)，且P(－2≤ξ≤0)＝0.4，则P(ξ>2)等于( )
A．0.1 B．0.2 C．0.6 D．0.8
5．4张卡片上分别写着数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )
A.
B.
C.
D.
6．一个盒子中装有7只好晶体管，3只坏晶体管，任取两次，每次取一只，取后不放回．若已知第一只是好晶体管，则第二只也是好晶体管的概率为( )
A.
B.
C.
D.
7．已知随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若P(ξ≥1)＝，则P(η≥2)的值为( )
A.
B.
C.
D.
8．船队若出海后天气好，可获利5
000元；若出海后天气坏，将损失2
000元；若不出海也要损失1
000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海效益的均值是( )
A．2
000元
B．2
200元
C．2
400元
D．2
600元
9．如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为( )
A．0.960
B．0.864
C．0.720
D．0.576
10．将一粒质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数1、2、3、4、5、6的正方体玩具)先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
11．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为（
）.
12．某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的．该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率为（
）.
13．某校要从5名男生和2名女生中选出2人作为世博会志愿者，若用随机变量X表示选出的志愿者中女生的人数，则X的数学期望EX＝（
）.
14．某次考试有20道题目可供选择，对每道题考生甲答对的概率均为.现随机抽考6道题，考生答对4道题就算合格，答对5道题就算优秀．在甲知道自己合格的情况下，则甲得优秀的概率为（
）.
15．某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1
000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的寿命超过1
000小时的概率为（
）
三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本题满分12分)甲、乙、丙三人在同一办公室工作，办公室里只有一部电话机，设经该机打进的电话打给甲、乙、丙的概率依次为，，.若在一段时间内打进三个电话，且各个电话相互独立，求：
(1)这三个电话是打给同一个人的概率；
(2)这三个电话中恰有两个是打给甲的概率．
17．(本题满分12分)某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任选3人参加学校的义务劳动．
(1)设所选3人中女生人数为X，求X的分布列；
(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；
(3)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B)和P(B|A)．
18．(本题满分12分)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示．据统计，随机变量ξ的概率分布列如下表：
ξ
0
1
2
3
P
0.1
0.3
2a
a
(1)求a的值和ξ的均值；
(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．
19．(本题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．
(1)求这批产品通过检验的概率；
(2)已知每件产品检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．
20．(本题满分13分)一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.
(1)若袋中共有10个球，
①求白球的个数；
②从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望Eξ；
(2)证明：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于.并指出袋中哪种颜色的球的个数最少．
21．(本题满分14分)某人抛掷一枚硬币，出现正、反面的概率都是.构造数列{an}，使an＝，记Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an(n为正整数)．
(1)求S8＝2的概率；
(2)求S2≠0且S8＝2的概率．单元综合测试二(第二章综合测试)
时间：120分钟 分值：150分
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列表格可以作为X的分布列的是( D )
解析：根据分布列的性质各概率之和等于1，易知D正确．
2．甲射击命中目标的概率是，乙射击命中目标的概率是，丙射击命中目标的概率是.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为( A )
A.
B.
C.
D.
解析：甲、乙、丙都没有击中目标的概率是(1－)(1－)(1－)＝，故目标被击中的概率为1－＝.
3．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设A为下雨，B为刮风，那么P(B|A)等于( B )
A.
B.
C.
D.
解析：P(A)＝，P(AB)＝，由条件概率公式P(B|A)＝＝＝.
4．已知ξ～N(0，σ2)，且P(－2≤ξ≤0)＝0.4，则P(ξ>2)等于( A )
A．0.1 B．0.2 C．0.6 D．0.8
解析：由正态曲线的性质知P(0≤ξ≤2)＝0.4，∴P(－2≤ξ≤2)＝0.8，∴P(ξ>2)＝×(1－0.8)＝0.1.
5．4张卡片上分别写着数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( C )
A.
B.
C.
D.
解析：从4张卡片中随机抽取2张共有C种抽法，抽取的2张卡片上的数字之和为奇数的抽法有CC种，
所以所求概率为＝＝，故选C.
6．一个盒子中装有7只好晶体管，3只坏晶体管，任取两次，每次取一只，取后不放回．若已知第一只是好晶体管，则第二只也是好晶体管的概率为( B )
A.
B.
C.
D.
解析：设Ai(i＝1,2)为“第i只是好晶体管”．由题意知要求P(A2|A1)．
因为P(A1)＝，P(A1A2)＝＝，
所以P(A2|A1)＝＝＝.
7．已知随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若P(ξ≥1)＝，则P(η≥2)的值为( B )
A.
B.
C.
D.
解析：由P(ξ≥1)＝，得Cp(1－p)＋Cp2＝，即9p2－18p＋5＝0，解得p＝或p＝(舍去)．所以P(η≥2)＝Cp2(1－p)2＋Cp3(1－p)＋Cp4＝6×()2×()2＋4×()3×＋()4＝.
8．船队若出海后天气好，可获利5
000元；若出海后天气坏，将损失2
000元；若不出海也要损失1
000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海效益的均值是( B )
A．2
000元
B．2
200元
C．2
400元
D．2
600元
解析：出海效益的均值为EX＝5
000×0.6＋(1－0.6)×(－2
000)＝3
000－800＝2
200元．
9．如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为( B )
A．0.960
B．0.864
C．0.720
D．0.576
解析：可知K、A1、A2三类元件正常工作相互独立．所以当A1，A2至少有一个能正常工作的概率为P＝1－(1－0.8)2＝0.96，所以系统能正常工作的概率为PK·P＝0.9×0.96＝0.864.
10．将一粒质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数1、2、3、4、5、6的正方体玩具)先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是( D )
A.
B.
C.
D.
解析：质地均匀的骰子先后抛掷3次，共有6×6×6种结果．“3次均不出现6点向上”的有5×5×5种结果．由于抛掷的每一种结果都等可能出现的，所以“不出现6点向上”的概率为＝，由对立事件的概率公式，知“至少出现一次6点向上”的概率是1－＝.故选D.
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
11．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为1.
解析：正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等．另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．
因为区间(－3，－1)和区间(3,5)关于直线x＝1对称，
所以正态分布的数学期望就是1.
12．某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的．该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率为.
解析：每位申请人申请房源为一次试验，这是4次独立重复试验，设申请A片区房源记为事件M，则P(M)＝，所以恰有2人申请A片区的概率为P＝C22＝.
13．某校要从5名男生和2名女生中选出2人作为世博会志愿者，若用随机变量X表示选出的志愿者中女生的人数，则X的数学期望EX＝.
解析：随机变量X服从超几何分布，其中N＝7，M＝2，n＝2，则EX＝2×＝.
14．某次考试有20道题目可供选择，对每道题考生甲答对的概率均为.现随机抽考6道题，考生答对4道题就算合格，答对5道题就算优秀．在甲知道自己合格的情况下，则甲得优秀的概率为.
解析：对抽取的每道题，甲答对的概率为，记“甲合格”为事件A，“甲优秀”为事件B，所求概率为P(B|A)，则P(A)＝C()4·()2＝，P(B)＝C()5()1＝.因为B?A，所以P(AB)＝P(B)，P(B|A)＝＝＝.
15．某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1
000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的寿命超过1
000小时的概率为.
解析：本题考查了正态分布有关知识．三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N(1
000,502)得：三个电子元件的使用寿命超过1
000小时的概率为p＝.超过1
000小时时元件1或元件2正常工作的概率P1＝1－(1－p)2＝，那么该部件的使用寿命超过1
000小时的概率为p2＝p1×p＝.正确理解正态分布的意义是解题的关键．
三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本题满分12分)甲、乙、丙三人在同一办公室工作，办公室里只有一部电话机，设经该机打进的电话打给甲、乙、丙的概率依次为，，.若在一段时间内打进三个电话，且各个电话相互独立，求：
(1)这三个电话是打给同一个人的概率；
(2)这三个电话中恰有两个是打给甲的概率．
解：(1)由互斥事件有一个发生的概率公式和独立事件同时发生的概率公式，得所求的概率为()3＋()3＋()3＝.
(2)这是n＝3，p＝的独立重复试验，故所求的概率为P3(2)＝C×()2×＝.
17．(本题满分12分)某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任选3人参加学校的义务劳动．
(1)设所选3人中女生人数为X，求X的分布列；
(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；
(3)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B)和P(B|A)．
解：(1)X的所有可能取值为0,1,2，依题意得
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
∴X的分布列为
X
0
1
2
P
(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C，
则P(C)＝＝；
∴所求概率为P()＝1－P(C)＝1－＝.
(3)P(B)＝＝＝；P(AB)＝＝，P(A)＝＝，即P(B|A)＝＝.
18．(本题满分12分)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示．据统计，随机变量ξ的概率分布列如下表：
ξ
0
1
2
3
P
0.1
0.3
2a
a
(1)求a的值和ξ的均值；
(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．
解：(1)由概率分布的性质有0.1＋0.3＋2a＋a＝1，解得a＝0.2.
ξ的概率分布列为
ξ
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.4
0.2
故Eξ＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7.
(2)设事件A＝{两个月内共被投诉2次}；
事件A1＝{两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉0次}；
事件A2＝{两个月内每个月均被投诉1次}．
则由事件的独立性得
P(A1)＝2×0.4×0.1＝0.08，
P(A2)＝0.32＝0.09，
所以P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝0.08＋0.09＝0.17.
故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.
19．(本题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．
(1)求这批产品通过检验的概率；
(2)已知每件产品检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．
解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A，第一次取出的4件产品全是优质品为事件C，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B，第二次取出的1件产品是优质品为事件D，这批产品通过检验为事件E，依题意有E＝(AB)∪(CD)，且AB与CD互斥，
∴P(E)＝P(AB)＋P(CD)＝P(A)P(B|A)＋P(C)P(D|C)＝C()3××()4＋()4×＝.
(2)由题意知，需检验产品的件数分别为4(n≤2)，5件(n＝4)，8件(n＝3)，故X的可能取值为400、500、800，并且P(X＝400)＝1－C()3×－()4＝，P(X＝500)＝，P(X＝800)＝C()3×＝，
∴X的分布列为
X
400
500
800
P
EX＝400×＋500×＋800×＝506.25.
20．(本题满分13分)一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.
(1)若袋中共有10个球，
①求白球的个数；
②从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望Eξ；
(2)证明：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于.并指出袋中哪种颜色的球的个数最少．
解：(1)①记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，则P(A)＝1－＝，解得x＝5或x＝14(舍去)，故白球有5个．
②随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3，且P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，
所以随机变量ξ的分布列是
ξ
0
1
2
3
P
故Eξ＝×0＋×1＋×2＋×3＝.
(2)证明：设袋中有n个球，其中有y个黑球，由题意得y＝n，所以2y记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球”为事件B，则P(B)<＋·≤＋×＝.
因为从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，所以白球的个数比黑球多，白球的个数多于n，红球的个数少于，故袋中红球的个数最少．
21．(本题满分14分)某人抛掷一枚硬币，出现正、反面的概率都是.构造数列{an}，使an＝，记Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an(n为正整数)．
(1)求S8＝2的概率；
(2)求S2≠0且S8＝2的概率．
解：(1)S8＝2的概率为C×5×3＝.
(2)①当前两次同时出现正面时，则后6次出现3次正面，相应的概率为××C×()3×()3＝.
②当前两次同时出现反面时，则后6次出现5次正面，相应的概率为××C×()5×()1＝.
所以S2≠0且S8＝2的概率为＋＝.
