单元综合测试四(选修2－3综合测试)
时间：120分钟 分值：150分
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合S＝{－1,0,1}，P＝{1,2,3,4}，从集合S，P中各取一个元素分别作为点的横纵坐标，可作出不同的点的个数为( )
A．21
B．22
C．23
D．24
2．已知离散型随机变量X的分布列如下：
X
1
3
5
P
0.5
m
0.2
则其数学期望EX等于( )
A．1
B．0.5
C．2＋3m
D．2.4
3．某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天的气温(如下表)，并求得线性回归方程为y＝－2x＋60.但后来不小心丢失了表中数据c，d，那么由现有数据可知2c＋d＝( )
气温(℃)
c
13
10
－1
用电量(度)
24
34
38
d
A.8
B．－80
C．100
D．188
4．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )
A．36种
B．48种
C．72种
D．96种
5．有甲、乙两种钢材，从中各取等量样品检验它们的抗拉强度指标如下：
X甲
110
120
125
130
135
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
X乙
100
115
125
130
145
P
0.1
0.2
0.1
0.4
0.2
现要比较两种钢材哪一种抗拉强度较好，应考察哪项指标( )
A．期望与方差
B．正态分布
C．卡方χ2
D．概率
6．设随机变量ξ服从二项分布ξ～B(n，p)，则等于( )
A．p2
B．(1－p)2
C．np
D．p2(1－p)
7．二项式n展开式中所有奇数项系数之和等于1
024，则所有项的系数中最大的值是( )
A．330
B．462
C．680
D．790
8．甲、乙两名同学做游戏，他们分别从两个装有编号1～5的球的箱子中抽取一个球，若两个球的编号之和小于6，则甲赢，若大于6，则乙赢，若等于6，则和局．若他们共玩三次，则甲赢两次的概率为( )
A.
B.
C.
D.
9．一个五位自然数a1a2a3a4a5，ai∈{0,1,2,3,4,5}，i＝1,2,3,4,5，当且仅当a1>a2>a3，a3
014,53
134等)，则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为( )
A．110
B．136
C．145
D．146
10．假设每一个飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行．要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则p的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
11．已知X～N(1.4,0.052)，则X落在区间(1.35,1.45)中的概率为（
）.
12．俗语中常说，三个臭皮匠胜过诸葛亮，若三个臭皮匠能解决某问题的概率分别为60%,50%,45%.诸葛亮解决问题的概率为85%.若三个臭皮匠中有一人能解决问题即为解决，则三个臭皮匠解决此问题的概率为（
）
13．若两个分类变量x与y的列联表为：
y1
y2
总计
x1
10
15
25
x2
40
16
56
总计
50
31
81
则“X与Y有关系”这个结论是错误的概率不超过（
）.
14．已知数列A：a1，a2，a3，a4，a5，其中ai∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5，则满足a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝3的不同数列A共有（
）个．
15．一个袋中装有黑球、白球和红球共n(n∈N＋)个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是，现从袋中任意摸出2个球．若n＝15，且摸出的2个球都是白球的概率是，设ξ表示摸出的2个球中红球的个数，则随机变量ξ的数学期望Eξ＝
（
）.
三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本题满分12分)从1到9这9个数字中取出不同的5个数进行排列．问：
(1)奇数的位置上是奇数的有多少种排法？
(2)取出的奇数必须排在奇数位置上有多少种排法？
17．(本题满分12分)为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人的调查结果如下：
患胃病
未患胃病
合计
生活不规律
60
260
320
生活有规律
20
200
220
合计
80
460
540
根据以上数据判断40岁以上的人患胃病与生活规律有关吗？
18．(本题满分12分)一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．抽检规则是这样的：一次取一件产品检查(取出的产品不放回箱子)；若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品．
(1)求这箱产品被用户接收的概率；
(2)记抽检的产品件数为ξ，求ξ的分布列．
19.(本题满分12分)《流浪地球》是由刘慈欣的科幻小说改编的电影，在2019年春节档上映，该片上映标志着中国电影科幻元年的到来；为了拯救地球，延续百代子孙生存的希望，无数的人前仆后继，奋不顾身的精神激荡人心，催人奋进．某网络调查机构调查了大量观众的评分，得到如下统计表：
评分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
频率
0.03
0.02
0.02
0.03
0.04
0.05
0.08
0.15
0.21
0.36
(1)求观众评分的平均数？
(2)视频率为概率，若在评分大于等于8分的观众中随机地抽取1人，他的评分恰好是10分的概率是多少？
(3)视频率为概率，在评分大于等于8分的观众中随机地抽取4人，用ξ表示评分为10分的人数，求ξ的分布列及数学期望．
20．(本题满分13分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.
(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望EX及方差DX.
21．(本题满分14分)随着国民生活水平的提高，利用长假旅游的人越来越多．某公司统计了2012到2016年五年间本公司职员每年春节期间外出旅游的家庭数，具体统计数据如下表所示：
年份(x)
2012
2013
2014
2015
2016
家庭数(y)
6
10
16
22
26
(1)从这5年中随机抽取2年，求外出旅游的家庭数至少有1年多于20个的概率；
(2)利用所给数据，求出春节期间外出旅游的家庭数与年份之间的回归直线方程y＝bx＋a，并根据所求出的直线方程估计该公司2019年春节期间外出旅游的家庭数．
参考公式：b＝，a＝－b.单元综合测试四(选修2－3综合测试)
时间：120分钟 分值：150分
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合S＝{－1,0,1}，P＝{1,2,3,4}，从集合S，P中各取一个元素分别作为点的横纵坐标，可作出不同的点的个数为( C )
A．21
B．22
C．23
D．24
解析：不同点的个数为CCA－1＝23，其中(1,1)重复一次．
2．已知离散型随机变量X的分布列如下：
X
1
3
5
P
0.5
m
0.2
则其数学期望EX等于( D )
A．1
B．0.5
C．2＋3m
D．2.4
解析：由题意可得0.5＋m＋0.2＝1，所以m＝0.3，所以EX＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，故选D.
3．某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天的气温(如下表)，并求得线性回归方程为y＝－2x＋60.但后来不小心丢失了表中数据c，d，那么由现有数据可知2c＋d＝( C )
气温(℃)
c
13
10
－1
用电量(度)
24
34
38
d
A.8
B．－80
C．100
D．188
解析：由题意得样本点的中心为(，
)＝(，)，又线性回归方程为y＝－2x＋60且样本点的中心在回归直线上，故＝－2×＋60，解得2c＋d＝100.
4．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( C )
A．36种
B．48种
C．72种
D．96种
解析：恰有两个空位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空．从而有A·A＝72(种)排法．
5．有甲、乙两种钢材，从中各取等量样品检验它们的抗拉强度指标如下：
X甲
110
120
125
130
135
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
X乙
100
115
125
130
145
P
0.1
0.2
0.1
0.4
0.2
现要比较两种钢材哪一种抗拉强度较好，应考察哪项指标( A )
A．期望与方差
B．正态分布
C．卡方χ2
D．概率
解析：检验钢材的抗拉强度，若平均抗拉强度相同，再比较波动情况．故选A.
6．设随机变量ξ服从二项分布ξ～B(n，p)，则等于( B )
A．p2
B．(1－p)2
C．np
D．p2(1－p)
解析：因为ξ～B(n，p)，(Dξ)2＝[np(1－p)]2，(Eξ)2＝(np)2，所以＝＝(1－p)2.故选B.
7．二项式n展开式中所有奇数项系数之和等于1
024，则所有项的系数中最大的值是( B )
A．330
B．462
C．680
D．790
解析：显然奇数项之和是所有项系数之和的一半，令x＝1即得所有项系数之和．据题意可得2n－1＝1
024＝210，∴n＝11.各项的系数为二项式系数，故系数最大值为C或C，为462.
8．甲、乙两名同学做游戏，他们分别从两个装有编号1～5的球的箱子中抽取一个球，若两个球的编号之和小于6，则甲赢，若大于6，则乙赢，若等于6，则和局．若他们共玩三次，则甲赢两次的概率为( C )
A.
B.
C.
D.
解析：本题考查二项分布的应用，考查考生分析问题、解决问题的能力及对基础知识的掌握情况．由题意知，玩一次甲赢的概率为P＝＝，那么，玩三次，甲赢两次的概率为C()2×()1＝.
9．一个五位自然数a1a2a3a4a5，ai∈{0,1,2,3,4,5}，i＝1,2,3,4,5，当且仅当a1>a2>a3，a3014,53
134等)，则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为( D )
A．110
B．136
C．145
D．146
解析：根据题意可知，所有的“凹数”有：(1)当a3＝0时，从1,2,3,4,5中任选2个数按从大到小的顺序排即可得a1>a2，再任选2个数按从小到大的顺序排即可得a4a2，再任选2个数按从小到大的顺序排即可得a4a2，再任选2个数按从小到大的顺序排即可得a4345.因此满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为CC＋CC＋CC＋1＝146.
10．假设每一个飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行．要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则p的取值范围是( B )
A.
B.
C.
D.
解析：4引擎飞机成功飞行的概率为Cp3(1－p)＋p4,2引擎飞机成功飞行的概率为p2，要使Cp3(1－p)＋p4＞p2，必有＜p＜1.故选B.
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
11．已知X～N(1.4,0.052)，则X落在区间(1.35,1.45)中的概率为0.683.
解析：因为μ＝1.4，σ＝0.05，所以X落在区间(1.35，1.45)中的概率为P(1.4－0.0512．俗语中常说，三个臭皮匠胜过诸葛亮，若三个臭皮匠能解决某问题的概率分别为60%,50%,45%.诸葛亮解决问题的概率为85%.若三个臭皮匠中有一人能解决问题即为解决，则三个臭皮匠解决此问题的概率为89%.
解析：记A＝“三个臭皮匠不能解决问题”，
P(A)＝(1－60%)(1－50%)(1－45%)＝0.11，
∴三个臭皮匠能解决此问题的概率为1－P(A)＝1－0.11＝0.89＝89%.
13．若两个分类变量x与y的列联表为：
y1
y2
总计
x1
10
15
25
x2
40
16
56
总计
50
31
81
则“X与Y有关系”这个结论是错误的概率不超过0.01.
解析：由列联表中的数据，得χ2的观测值为
χ2＝≈7.227>6.635，
因为P(χ2≥6.635)≈0.01，所以“X与Y有关系”这一结论是错误的概率不超过0.01.
14．已知数列A：a1，a2，a3，a4，a5，其中ai∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5，则满足a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝3的不同数列A共有15个．
解析：本题考查排列组合．第一类：ai由0,0,1,1,1组成，共C＝10个；第二类：ai由－1,1,1,1,1组成，共C＝5个．所以满足题意的不同数列A共有10＋5＝15个．
15．一个袋中装有黑球、白球和红球共n(n∈N＋)个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是，现从袋中任意摸出2个球．若n＝15，且摸出的2个球都是白球的概率是，设ξ表示摸出的2个球中红球的个数，则随机变量ξ的数学期望Eξ＝
.
解析：设袋中黑球的个数为x(个)，记“从袋中任意摸出一个球，得到黑球”为事件A，则P(A)＝＝.
∴x＝6.
设袋中白球的个数为y(个)，记“从袋中任意摸出两个球，得到的都是白球”为事件B，则P(B)＝＝，
∴＝ ∴y＝5或y＝－4(舍去)
即白球的个数为5个．
∴红球的个数为15－6－5＝4(个)．
∴随机变量ξ的取值为0,1,2，分布列是
ξ
0
1
2
P
ξ的数学期望Eξ＝×0＋×1＋×2＝.
三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本题满分12分)从1到9这9个数字中取出不同的5个数进行排列．问：
(1)奇数的位置上是奇数的有多少种排法？
(2)取出的奇数必须排在奇数位置上有多少种排法？
解：(1)奇数共5个，奇数位置共有3个；偶数共有4个，偶数位置有2个．第一步先在奇数位置上排上奇数共有A种排法；第二步再排偶数位置，有4个偶数和余下的2个奇数可以排，排法为A种，由分步计数原理知，排法种数为A·A＝1
800.
(2)因为偶数位置上不能排奇数，故先排偶数位，排法为A种，余下的2个偶数与5个奇数全可排在奇数位置上，排法为A种，由分步计数原理知，排法种数为AA＝2
520.
17．(本题满分12分)为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人的调查结果如下：
患胃病
未患胃病
合计
生活不规律
60
260
320
生活有规律
20
200
220
合计
80
460
540
根据以上数据判断40岁以上的人患胃病与生活规律有关吗？
解：由公式得χ2＝
＝＝≈9.638.
∴9.638>6.635，
∴有99%的把握说40岁以上的人患胃病与生活是否有规律有关，即生活不规律的人易患胃病．
18．(本题满分12分)一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．抽检规则是这样的：一次取一件产品检查(取出的产品不放回箱子)；若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品．
(1)求这箱产品被用户接收的概率；
(2)记抽检的产品件数为ξ，求ξ的分布列．
解：(1)设“这箱产品被用户接收”为事件A，
则P(A)＝＝＝.
即这箱产品被用户接收的概率为.
(2)ξ的可能取值为1,2,3.
P(ξ＝1)＝＝＝.
P(ξ＝2)＝＝×＝.
P(ξ＝3)＝＝×＝.
∴ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
P
19.(本题满分12分)《流浪地球》是由刘慈欣的科幻小说改编的电影，在2019年春节档上映，该片上映标志着中国电影科幻元年的到来；为了拯救地球，延续百代子孙生存的希望，无数的人前仆后继，奋不顾身的精神激荡人心，催人奋进．某网络调查机构调查了大量观众的评分，得到如下统计表：
评分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
频率
0.03
0.02
0.02
0.03
0.04
0.05
0.08
0.15
0.21
0.36
(1)求观众评分的平均数？
(2)视频率为概率，若在评分大于等于8分的观众中随机地抽取1人，他的评分恰好是10分的概率是多少？
(3)视频率为概率，在评分大于等于8分的观众中随机地抽取4人，用ξ表示评分为10分的人数，求ξ的分布列及数学期望．
解：(1)设观众评分的平均数为，则
＝1×0.03＋2×0.02＋3×0.02＋4×0.03＋5×0.04＋6×0.05＋7×0.08＋8×0.15＋9×0.21＋10×0.36＝8.
(2)设A表示事件：“1位观众评分不小于8”，B表示事件：“1位观众评分是10”
∴P(B|A)＝＝＝.
(3)由题知ξ服从B(4，)，
P(ξ＝k)＝C(1－)4－k()k＝C()4(k＝0,1,2,3,4)
则ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
4
P
∴E(ξ)＝4×＝2.
20．(本题满分13分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.
(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望EX及方差DX.
解：(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”，因此
P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6
P(A2)＝0.003×50＝0.15，
P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.
(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为
P(X＝0)＝C·(1－0.6)3＝0.064，
P(X＝1)＝C·0.6(1－0.6)2＝0.288.
P(X＝2)＝C·0.62(1－0.6)＝0.432.
P(X＝3)＝C·0.63＝0.216.
分布列为
X
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216
因为X～B(3,0.6)
所以期望EX＝3×0.6＝1.8，
方差DX＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.
21．(本题满分14分)随着国民生活水平的提高，利用长假旅游的人越来越多．某公司统计了2012到2016年五年间本公司职员每年春节期间外出旅游的家庭数，具体统计数据如下表所示：
年份(x)
2012
2013
2014
2015
2016
家庭数(y)
6
10
16
22
26
(1)从这5年中随机抽取2年，求外出旅游的家庭数至少有1年多于20个的概率；
(2)利用所给数据，求出春节期间外出旅游的家庭数与年份之间的回归直线方程y＝bx＋a，并根据所求出的直线方程估计该公司2019年春节期间外出旅游的家庭数．
解：(1)从这5年中任意抽取2年，所有的事件有C＝10个，
至少有1年多于20个的事件有CC＋C＝7个，
则至少有1年多于20个的概率为P＝.
(2)所以估计该公司2019年春节期间外出旅游的家庭有42个．