单元综合测试二(第二章综合测试)
时间：120分钟 分值：150分
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题(每小题5分，共50分)
1．下列等式正确的是( )
A.－＝
B.＋＝0
C．0·＝0
D.＋＋＝
2．设向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，则实数x＝( )
A．2
B．3
C．4
D．6
3．已知向量a＝(－1,1)，b＝(3，m)，a∥(a＋b)，则m＝( )
A．2
B．－2
C．－3
D．3
4．若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a－b与b的夹角为( )
A.
B.
C.
D.
5．设O，A，M，B为平面上四点，若＝λ＋(1－λ)，且λ∈(1,2)，则( )
A．点M在线段AB上
B．点B在线段AM上
C．点A在线段BM上
D．O，A，B，M四点共线
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于( )
A．－16
B．－8
C．8
D．16
7．△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2＋＋＝0，||＝||，则·的值为( )
A.
B.
C．3
D．2
8．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，点P在AM上，且满足＝2，则·(＋)的值为( )
A．－4
B．－2
C．2
D．4
9．已知点O为△ABC所在平面内一点，且2＋2＝2＋2＝2＋2，则O一定为△ABC的( )
A．垂心
B．重心
C．外心
D．内心
10．已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为( )
A.－1
B.
C.＋1
D.＋2
第Ⅱ卷(非选择题，共100分)
二、填空题(每小题5分，共25分)
11．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝（
）.
12．已知向量a，b的夹角为120°，且|a|＝1，|b|＝2，则向量a－b在向量a＋b方向上的射影是（
）
13．已知向量a＝(－2,1)，b＝(1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝－（
）解14．在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝（
），y＝（
）
15．已知O为△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC＝120°.若＝λ1＋λ2，则2λ1＋λ2＝（
）.
三、解答题(本题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)．
(1)当k为何值时，ka＋b与a－3b垂直？
(2)当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
17．(本小题满分12分)已知非零向量a，b满足|a|＝1且(a－b)·(a＋b)＝.
(1)若a·b＝，求向量a，b的夹角；
(2)在(1)的条件下，求|a－2b|的值．
18．(本小题满分12分)如图所示，已知△ABC的两边AB、AC的中点分别为M、N，在BN的延长线上取点P，使NP＝BN.在CM的延长线上取点Q，使MQ＝CM.
求证：P、A、Q三点共线．
19．(本小题满分12分)一条宽为
km的河流，水流速度为2
km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝
km，船在水中的最大航速为4
km/h，该船的实际航行速度为多少时能使它从A码头最快到达彼岸B码头？用时多少？
20．(本小题满分13分)在△ABC中，·＝·.
(1)求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若|＋|＝2，且B∈，求·的取值范围．
21.(本小题满分14分)如图所示，在Rt△ABC中，已知BC＝a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问与的夹角θ取何值时，·的值最大？并求出这个最大值．单元综合测试二(第二章综合测试)
时间：120分钟 分值：150分
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题(每小题5分，共50分)
1．下列等式正确的是( D )
A.－＝
B.＋＝0
C．0·＝0
D.＋＋＝
解析：A中，起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，即－＝；B中，，是一对相反向量，和为0；C中，0·＝0，所以A，B，C均不正确，D正确．
2．设向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，则实数x＝( B )
A．2
B．3
C．4
D．6
解析：由向量平行的性质，有2?4＝x?6，解得x＝3，选B.
3．已知向量a＝(－1,1)，b＝(3，m)，a∥(a＋b)，则m＝( C )
A．2
B．－2
C．－3
D．3
解析：由题意，知a＋b＝(2，m＋1)．又a∥(a＋b)，所以2＝－(m＋1)，解得m＝－3.
4．若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a－b与b的夹角为( D )
A.
B.
C.
D.
解析：由题意，可知|a＋b|＝|a－b|?|a＋b|2＝|a－b|2?a·b＝0.设a－b与b的夹角为θ，由|a－b|＝2|a|?|a－b|2＝4|a|2?|b|＝|a|，则cosθ＝＝＝＝－.又θ∈[0，π]，所以θ＝，故选D.
5．设O，A，M，B为平面上四点，若＝λ＋(1－λ)，且λ∈(1,2)，则( B )
A．点M在线段AB上
B．点B在线段AM上
C．点A在线段BM上
D．O，A，B，M四点共线
解析：由题意可知－＝λ(－)，即＝λ，∴A，M，B三点共线．∵λ∈(1,2)，∴||>||，点B在线段AM上．故选B.
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于( D )
A．－16
B．－8
C．8
D．16
解析：因为∠C＝90°，所以·＝0，所以·＝(＋)·＝2＋·＝16.
7．△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2＋＋＝0，||＝||，则·的值为( C )
A.
B.
C．3
D．2
解析：如图所示，取BC边中点M，
由2＋＋＝0，可得2＝＋＝2，
则点M与点O重合．
又由||＝||＝||＝||＝1，
可得|AC|＝|BC|·sin60°＝2×＝，
则·＝||||·cosC＝||2＝3.
8．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，点P在AM上，且满足＝2，则·(＋)的值为( A )
A．－4
B．－2
C．2
D．4
解析：因为M是BC的中点，＝2，AM＝3，所以||＝2，且＋＝2＝＝－，所以·(＋)＝－2＝－4.
9．已知点O为△ABC所在平面内一点，且2＋2＝2＋2＝2＋2，则O一定为△ABC的( A )
A．垂心
B．重心
C．外心
D．内心
解析：∵2＋2＝2＋2，∴2－2＝2－2，∴(－)·(＋)＝(－)·(＋)，∴·(＋)＝·(－)，∴·(＋－＋)＝0，∴2·＝0，∴⊥.同理，⊥.所以点O为△ABC的垂心．故选A.
10．已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为( C )
A.－1
B.
C.＋1
D.＋2
解析：本题考查的是向量的数量积及坐标运算、向量模的运算性质．能正确运用向量模的几何意义是解决本题的关键．
∵a，b是互相垂直的单位向量，∴可设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)．由|c－a－b|＝1，得|(x－1，y－1)|＝1.
∴(x－1)2＋(y－1)2＝1.要使|c|最大，即最大，圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到原点的距离最大，此时|c|max＝＋1＝＋1.故选C.
第Ⅱ卷(非选择题，共100分)
二、填空题(每小题5分，共25分)
11．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝2.
解析：本题考查向量加法的几何意义．
＋＝＝2，∴λ＝2.
12．已知向量a，b的夹角为120°，且|a|＝1，|b|＝2，则向量a－b在向量a＋b方向上的射影是－.
解析：由题意，|a＋b|＝＝
＝＝.
又(a＋b)·(a－b)＝|a＋b|·|a－b|·cosθ(θ为a＋b与a－b的夹角)，向量a－b在向量a＋b方向上的射影为|a－b|·cosθ＝＝＝＝－.
13．已知向量a＝(－2,1)，b＝(1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝－.
解析：由题意，得ma＋nb＝(－2m＋n，m＋2n)，a－2b＝(－4，－3)．若ma＋nb与a－2b共线，则－4(m＋2n)＋3(－2m＋n)＝0，所以＝－.
14．在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝，y＝－.
解析：不妨设AC⊥AB，AB＝4，AC＝3，利用坐标法，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，建立直角坐标系，A(0,0)，M(0,2)，C(0,3)，B(4,0)，N(2，)则M＝，A＝(4,0)，A＝(0,3)，则＝x(4,0)＋y(0,3)，4x＝2,3y＝－，∴x＝，y＝－.
15．已知O为△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC＝120°.若＝λ1＋λ2，则2λ1＋λ2＝3.
解析：以A为原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,0)，C(－1，)．设O(2，y)，因为OA＝OC，所以y＝，则O.由＝λ1＋λ2，得＝λ1(4,0)＋λ2(－1，)，所以解得所以2λ1＋λ2＝3.
三、解答题(本题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)．
(1)当k为何值时，ka＋b与a－3b垂直？
(2)当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
解：(1)ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．
由(ka＋b)⊥(a－3b)，得(ka＋b)·(a－3b)＝10(k－3)－4(2k＋2)＝2k－38＝0，解得k＝19.
(2)由(ka＋b)∥(a－3b)，得－4(k－3)＝10(2k＋2)，解得k＝－.此时ka＋b＝＝－(10，－4)，
所以ka＋b与a－3b的方向相反．
17．(本小题满分12分)已知非零向量a，b满足|a|＝1且(a－b)·(a＋b)＝.
(1)若a·b＝，求向量a，b的夹角；
(2)在(1)的条件下，求|a－2b|的值．
解：(1)∵(a－b)·(a＋b)＝，
∴a2－b2＝|a|2－|b|2＝.
又∵|a|＝1，∴|b|＝，
∴cos〈a，b〉＝＝.
∴向量a，b的夹角为.
(2)|a－2b|＝＝＝1.
18．(本小题满分12分)如图所示，已知△ABC的两边AB、AC的中点分别为M、N，在BN的延长线上取点P，使NP＝BN.在CM的延长线上取点Q，使MQ＝CM.
求证：P、A、Q三点共线．
证明：＝＋，＝＋.
由已知＝，＝，∴＝.
同理可证＝，∴＝，
又∵，有公共点A，∴P、A、Q三点共线．
19．(本小题满分12分)一条宽为
km的河流，水流速度为2
km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝
km，船在水中的最大航速为4
km/h，该船的实际航行速度为多少时能使它从A码头最快到达彼岸B码头？用时多少？
解：如图所示，设为水流速度，为航行速度，以AC和AD为邻边作?ACED.当AE与AB重合时能最快到达彼岸．根据题意，知AC⊥AE.在Rt△ADE和?ACED中，||＝||＝2，||＝4，∠AED＝90°，
所以||＝＝2，
sin∠EAD＝，所以∠EAD＝30°，故需要＝0.5(h)．
答：船实际航行速度大小为2
km/h，与水流成120°角时能最快到达B码头，需要0.5
h.
20．(本小题满分13分)在△ABC中，·＝·.
(1)求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若|＋|＝2，且B∈，求·的取值范围．
解：(1)证明：∵·＝·，
∴·(－)＝0.
又∵＋＋＝0，
∴＝－(＋)，
∴－(＋)·(－)＝0，
∴2－2＝0，∴||2＝||2，
∴||＝||，即△ABC为等腰三角形．
(2)∵B∈，∴cosB∈.
设||＝||＝a.
又∵|＋|＝2，∴|＋|2＝4，
∴a2＋a2＋2a2cosB＝4，∴a2＝，
∵·＝a2cosB＝＝2－.
又∵cosB∈，∴·∈.
21.(本小题满分14分)如图所示，在Rt△ABC中，已知BC＝a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问与的夹角θ取何值时，·的值最大？并求出这个最大值．
解：解法一：∵⊥，
∴·＝0.
∵＝－，＝－，
＝－，
∴·＝(－)·(－)
＝·－·－·＋·
＝－a2－·＋·
＝－a2＋·(－)
＝－a2＋·＝－a2＋a2cosθ.
当θ＝0°时，·最大，其最大值为0.
解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系．
设||＝c，||＝b，则A(0,0)，B(c,0)，C(0，b)，
且||＝2a，||＝a，设P点的坐标为(x，y)，
则Q(－x，－y)．∴＝(x－c，y)，
＝(－x，－y－b)，＝(－c，b)，＝(－2x，－2y)．
∴·＝－x(x－c)－y(y＋b)＝－x2－y2＋cx－by，
cosθ＝＝＝，
即cx－by＝a2cosθ.
∴·＝－a2＋a2cosθ.
故当cosθ＝1时，即θ＝0°(与同向)时，·最大，其最大值为0.
