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北师版数学八年级上册7.1为什么要证明导学案
课题
7.1
为什么要证明
单元
第七单元
学科
数学
年级
八
学习目标
1.体会检验数学结论的常用方法:实验验证、举出反例、推理等,发展推理能力.2.经历观察、验证、归纳等过程,认识证明的必要性,培养推理意识.3.通过积极参与,获取正确的数学推理方法,理解数学的严密性,并培养与他人合作的意识.
重点
要判断一个数学结论是否正确,仅仅依靠经验、观察或实验是不够的,必须一步一步、有理有据地进行推理.
难点
通过对一些规律的探讨和分析,养成动脑思考问题的习惯.
教学过程
课前预学
观看下面的图片或动图.你有什么感想？通过观察、度量、猜测得到的结论都是正确的吗？如果不是，那么用什么方法才能说明它的正确性呢?
新知讲解
下图中的两条线段a，b长度相等吗?经过测量，线段a，b长度相等.下图中的四边形是正方形吗？请你先观察，再设法检验你观察到的结论.经过直尺验证，四边形是正方形.如图，把地球看成球形，假设用一根比地球赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大?能放进一个拳头吗?先凭感觉想象一下，再具体算一算，看看与你的感觉是否一致，并与同伴进行交流.通过计算我们可以看出,判断一个结论是否正确,依靠直觉是不可靠的.要想得到正确的结论,必须经过计算来证实.请大家解决下面问题.代数式n2-n+11的值是质数吗?取n=0,1,2,3,4,5试一试,你能否由此得到结论:对于所有自然数n,n2-n+11的值都是质数?与同伴进行交流.如图所示,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,连接DE.DE与BC有怎样的位置关系和数量关系?请你先猜一猜,再设法验证你的结论对所有的△ABC都成立吗?与同伴进行交流.
你是如何验证你的结论的?利用刻度尺、量角器进行测量验证.大家认同这个做法吗?你能肯定这个结论对所有的△ABC都成立吗?【议一议】
实验、观察、归纳是人们认识事物的重要手段.通过实验、观察、归纳得到的结论都正确吗？在上面的问题中，你是怎样判断一个结论是否正确的？说说你的经验与困惑.检验数学结论常用的方法：主要有：实验验证、举出反例、推理证明实验验证是最基本的方法，它直接反映由具体到抽象、由特殊到一般的逻辑思维方法；举出反例常用于说明该数学结论不一定成立；推理证明是最可靠、最科学的方法，是我们要掌握的重点．实际上每一个正确的结论都需要我们进行严格的推理证明才能得出．检验数学结论的具体过程：观察、度量、实验→猜想归纳→结论→推理正确结论．
课堂练习
1.某公园计划砌一个图甲所示的喷水池，有人改为图乙的形状．若外圆的直径不变，水池边沿的宽度和高度不变，你认为砌水池边沿( )A．甲需要的材料多B．乙需要的材料多C．甲和乙需要的材料一样多D．以上都有可能2.下列推理正确的是( )A．妹妹今年13岁，哥哥比妹妹大6岁，到了明年，哥哥比妹妹只大5岁了，理由是妹妹明年比今年长大了1岁B．若△ABC≌△DEF，则∠ABC＝∠DEFC．∠A与∠B相等，原因是它们看起来大小差不多D．因为对顶角必然相等，所以相等的角也必是对顶角3.如图，甲、乙两只小虫从A点同时出发，甲虫沿着大的半圆爬行，乙虫沿着内部的三个半圆爬行，如果两只小虫爬行的速度相同，则它们到达B点的情况是( )A．甲先到
B．同时到达
C．乙先到
D．不能确定4.如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2
019个菱形，则n＝________.5.数学家迪布凡尔在1590年曾注意到,在形如6n-1和6n+1的数对5,7;11,13;17,19;23,25;29,31;35,37;41,43;…中,当“n”在取前几个自然数时,都至少有一个质数,由此他提出猜想:“对于任何自然数n(n≠0),6n-1和6n+1这两个数中至少有一个质数.”你认为这个猜想正确吗?验证一下:n=8时,结论成立吗?n=9呢?n=10呢?n=20呢?这说明了什么?6.【中考·常德】观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2
401，75＝16
807，…，根据其中的规律可得70＋71＋72＋…＋72
019的结果的个位数字是( )A．0
B．1
C．7
D．87.【2019?枣庄】如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白的是( )答案：1.C
2.B
3.B
4.10105.解:不正确.当n=8,9,10时结论都成立,当n=20时结论不成立.说明观察、归纳和猜想是重要的,但仅凭此得出的结论不一定可信,还必须经过严格的推理证明.6.A
7.D
课堂小结
本节课你学到了什么?1.要判断一个数学结论的正确性，仅依靠经验、观察和实验是不够的，必须一步一步地进行有根有据的推理．否定一个结论举出反例就是最有力的证据．2.证明的常用方法：验证法、举反例、推理论证等．
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精品试卷·第
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北师版
初中数学
7.1
为什么要证明
新知导入
观看下面的图片或动图
新知导入
观看下面的图片或动图
新知导入
你有什么感想？
通过观察、度量、猜测得到的结论都是正确的吗？如果不是，那么用什么方法才能说明它的正确性呢?
新知讲解
下图中的两条线段a，b长度相等吗?
经过测量，线段a，b长度相等.
新知讲解
下图中的四边形是正方形吗？请你先观察，再设法检验你观察到的结论.
经过直尺验证，四边形是正方形.
新知讲解
如图，把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大?能放进一个拳头吗?先凭感觉想象一下，再具体算一算，看看与你的感觉是否一致，并与同伴进行交流.
新知讲解
通过计算我们可以看出,判断一个结论是否正确,依靠直觉是不可靠的.要想得到正确的结论,必须经过计算来证实.
请大家解决下面的问题.
代数式n2-n+11的值是质数吗?取n=0,1,2,3,4,5试一试,你能否由此得到结论:对于所有自然数n,n2-n+11的值都是质数?与同伴进行交流.
新知讲解
当n=0时,n2-n+11=11.
当n=1时,n2-n+11=11.
当n=2时,n2-n+11=13.
当n=3时,n2-n+11=17.
当n=4时,n2-n+11=23.
当n=5时,n2-n+11=31.
因为当n=0,1,2,3,4,5时,代数式n2-n+11的值都是质数,所以
对于所有自然数n,n2-n+11的值都是质数.
再取几个数试一试,看看你有什么发现.
你们都同意这个结论吗?
新知讲解
经过计算,我发现,当n=11时,n2-n+11=121,结果是合数,所以“对于所有自然数n,n2-n+11的值都是质数”这个结论是错误的.
此题告诉我们,仅由几个特例归纳得出的结论可能潜藏着错误.
我们的大数学家费马也犯过类似的错误,请阅读教材第163页读一读:费马的失误.
新知讲解
如图所示,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,连接DE.DE与BC有怎样的位置关系和数量关系?请你先猜一猜,再设法验证你的猜想.你能肯定你的结论对所有的△ABC都成立吗?与同伴进行交流.
A
B
C
D
E
位置关系是DE∥BC;
数量关系是DE=
新知讲解
你是如何验证你的结论的?
利用刻度尺、量角器进行测量验证.
大家认同这个做法吗?你能肯定这个结论对所有的△ABC都成立吗?
同学们,我们知道测量是有误差的,误差是难免的,通过猜测,实验验证得出的结论,也不能作为判断某些问题的结论,要想得到图形的性质是需要进行推理的.
新知讲解
【议一议】
实验、观察、归纳是人们认识事物的重要手段.通过实验、观察、归纳得到的结论都正确吗？在上面的问题中，你是怎样判断一个结论是否正确的？说说你的经验与困惑.
实验、观察、归纳得出的结论可能正确，也可能不正确.
因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明．
新知讲解
检验数学结论常用的方法：主要有实验验证、举出反例、推理证明.
实验验证是最基本的方法，它直接反映由具体到抽象、由特殊到一般的逻辑思维方法；
举出反例常用于说明该数学结论不一定成立；
推理证明是最可靠、最科学的方法，是我们要掌握的重点．实际上每一个正确的结论都需要我们进行严格的推理证明才能得出．检验数学结论的具体过程：观察、度量、实验→猜想归纳→结论→推理正确结论．
课堂练习
1.某公园计划砌一个如图甲所示的喷水池，有人改为图乙的形状．
若外圆的直径不变，水池边沿的宽度和高度不变，你认为砌水池边沿( )
A．甲需要的材料多
B．乙需要的材料多
C．甲和乙需要的材料一样多
D．以上都有可能
C
课堂练习
2.下列推理正确的是( )
A．妹妹今年13岁，哥哥比妹妹大6岁，到了明年，哥哥比妹妹只大5岁了，理由是妹妹明年比今年长大了1岁
B．若△ABC≌△DEF，则∠ABC＝∠DEF
C．∠A与∠B相等，原因是它们看起来大小差不多
D．因为对顶角必然相等，所以相等的角也必是对顶角
B
课堂练习
3.如图，甲、乙两只小虫从A点同时出发，甲虫沿着大的半圆爬行，乙虫沿着内部的三个半圆爬行，如果两只小虫爬行的速度相同，则它们到达B点的情况是( )
A．甲先到
B．同时到达
C．乙先到
D．不能确定
B
课堂练习
4.如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2
019个菱形，则n＝________.
1010
拓展提高
5.数学家迪布凡尔在1590年曾注意到,在形如6n-1和6n+1的数对5,7;11,13;17,19;23,25;29,31;35,37;41,43;…中,当“n”在取前几个自然数时,都至少有一个质数,由此他提出猜想:“对于任何自然数n(n≠0),6n-1和6n+1这两个数中至少有一个质数.”你认为这个猜想正确吗?验证一下:n=8时,结论成立吗?n=9呢?n=10呢?n=20呢?这说明了什么?
拓展提高
解:不正确.当n=8,9,10时结论都成立,当n=20时结论不成立.说明观察、归纳和猜想是重要的,但仅凭此得出的结论不一定可信,还必须经过严格的推理证明.
中考链接
6.【中考·常德】观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2
401，75＝16
807，…，根据其中的规律可得70＋71＋72＋…＋72
019的结果的个位数字是( )
A．0
B．1
C．7
D．8
A
中考链接
7.【2019?枣庄】如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白的是( )
D
课堂总结
这节课你学到了什么？
1.要判断一个数学结论的正确性，仅依靠经验、观察和实验是不够的，必须一步一步地进行有根有据的推理．否定一个结论,举出反例就是最有力的证据．
2.证明的常用方法：验证法、举反例、推理论证等．
板书设计
课题：
7.1
为什么要证明
?
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一、数学结论必须经过严格的证明
二、(1)实验验证
(2)举出反例
(3)推理证明
作业布置
课本
P164
习题7.1
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