(共16张PPT)
27.2.1
相似三角形的判定
人教版·九年级数学·下册
第一课时
1.理解相似三角形的概念及表示方法.
2.理解并掌握平行线分线段成比例定理及推论.
3.掌握相似三角形判定的基本定理.
重点：相似三角形判定的基本定理.
难点：平行线分线段成比例定理及推论的综合应用.
阅读课本P29-31页内容，了解本节主要内容.
对应边
△ABC∽△A'B'C'
相似比
全等
相等
相等
相似
什么是相似多边形？什么是相似多边形的相似比？
探究1：相似三角形及表示方法
即对应角相等,
对应边的比相等,我们就说△ABC和△A’B’C’相似,记作
△ABC∽△A’B’C’,△ABC与△A’B’C’的相似比为k,
△A’B’C’与△ABC的相似比为
在△ABC与△A’B’C’中,如果∠A＝∠A
’,∠B＝∠B’,
∠C＝∠C’,
注意：
(1)当两个三角形相似时,对应角的顶点写在对应的位置上.
(2)全等三角形是相似比为1的相似三角形；但相似三角形不一定是全等三角形.
探究2：平行线分线段成比例定理及其推论
(1)平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线,所得的对应线段的比相等；
(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段的比相等.
请同学们按照教材P29“探究”动手画一画,想一想.
归纳：
注意：
如图,如果l3∥l4∥l5,那么
可以记忆为“上比下等于上比下”；
如可记忆为“上比全等于上比全”；
可记忆为“下比全等于下比全”,
可记忆为“上比上等于下比下等于全比全”.
探究3：相似三角形判定的基本定理
作DF平行AC交BC于F点,在△ADE和△DBF中
如图,在△ABC中,点D是边AB的中点,DE∥BC,
DE交AC于点E,△ADE与△ABC有什么关系？
合作探究：
拓展延伸：
改变点D在AB上的位置,先猜想△ADE与△ABC仍相似,然后再用几何画板演示验证.
F
∴△ADE≌△DBF
∴DE＝BF
∴△ADE∽△ABC，相似比为
由此得出：
平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.
B
C
CD
DO
CO
例1：如图,l1∥l2∥l3,
,DE＝6,求DF的长.
解析：
∵l1∥l2∥l3
解：
∴DF＝DE+EF＝6+4＝10.
由l1∥l2∥l3，可得
代入相关数据可求得EF的长.再根据DF＝DE+EF,求出DF的长.
例2：如图所示,如果D、E、F分别在OA、OB、OC上,且DF∥AC,EF∥BC.求证：OD∶OA＝OE∶OB.
要借助于OF与OC的比作为过渡比来得到所要求证的结论.
解析：
解：
例3：如图所示,点E、F分别在平行四边形ABCD的边AD和CB的延长线上,EF分别交AB、AC、CD于点G、M、H,写出图中所有的相似三角形.
解析：
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AD∥BC,
解：
由平行四边形ABCD可得AB∥CD,AD∥BC,
根据相似三角形的判定方法,图中所构成的“A型”
或“X型”的两个三角形相似,我们只要从复杂图形中找出这些基本图形,即可找出图中的相似三角形,不要忘记△ABC≌△CDA,它们也是相似三角形.
由DH∥AG得△EDH∽△EAG,由BG∥HC得△FBG∽△FCH,
由HC∥AG得△HCM∽△GAM,由AE∥FC得△AEM∽△CFM,
由DE∥FC得△EDH∽△FCH,由BF∥AE得△FBG∽△EAG.
∵△EDH∽△EAG,△FBG∽△EAG,∴△EDH∽△FBG.
同理,得△EAG∽△FCH.
又∵△ADC≌△CBA得△ADC∽△CBA.
A
AN
AC
解：
∵DE∥BC,
∵DF∥AC,
本节课我们学行线分线段成比例定理及其推论,进而得出了相似三角形相似判定的基本定理.(共19张PPT)
27.2.1
相似三角形的判定
人教版·九年级数学·下册
第四课时
1.比较相似三角形的判定方法,掌握其适用范围.
2.灵活运用相似三角形的判定方法解题.
重点：相似三角形的判定定理的灵活运用.
难点：相似三角形判定方法的选择.
阅读课本P29-36页内容，了解本节主要内容.
成比例
相等
一个锐角
成比例
相等
两组直角边
斜边的比
直角边的比
前面,我们已经学过相似三角形的哪些判定方法？这些方法有什么不同？在具体运用时,如何选择？这节课我们就来研究这些问题.
相似三角形的判定方法主要有：
证明两三角形相似的常规思路为：
平行法、三边法、两边及夹角法、两角法、传递法.在这些方法中,平行法和两角法最容易寻找条件,所以在解题过程中优先选用这两种方法.
①先找两对对应角相等；
②若只能找到一对对应角相等,则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；
③若找不到角相等,就判断三边是否对应成比例,否则可考虑应用平行线证相似及相似三角形的“传递性”.
解：
不唯一,如∠ACD＝∠B
B
D
例1：在如图所示的△ABC中,∠1=∠2=∠3.
求证：△ABC∽△DEF.
解析：
∵∠EDF是△ADC的外角,
解：
欲使△ABC∽△DEF,因为已知条件与角
有关,所以只要有两组角对应相等即可,利用三
角形外角的性质即可得：∠EDF＝∠BAC,
∠DEF＝∠ABC,从而得证.
∴∠EDF＝∠DAC+∠3.
又∵∠BAC＝∠1+∠DAC,∠1＝∠3(已知),
∴∠BAC＝∠EDF.
同理∠ABC＝∠DEF.
∴△ABC∽△DEF.
例2：如图,在△ABC中,∠C＝90°,D、E分别是AB、AC上的点,且AD·AB＝AE·AC,那么ED与AB垂直吗？请说明理由.
解析：
解：
由AD·AB＝AE·AC,
又∠A＝∠A,可证明△ADE∽△ACB,可得∠ADE＝∠C＝90°,从而DE⊥AB.
由AD·AB＝AE·AC,
又∠A＝∠A,
∴△ADE∽△ACB,
∴
∠ADE＝∠C＝90°,
即DE⊥AB.
例3：已知,如图所示,∠ABC=∠CDB=90°,AC=a,BC=b,当BD与a、b之间满足怎样的关系时,这两个三角形相似？
解：
∵∠ABC＝∠CDB＝90°,
例3：已知,如图所示,∠ABC=∠CDB=90°,AC=a,BC=b,当BD与a、b之间满足怎样的关系时,这两个三角形相似？
解：
∵∠ABC＝∠CDB＝90°,
例3：已知,如图所示,∠ABC=∠CDB=90°,AC=a,BC=b,当BD与a、b之间满足怎样的关系时,这两个三角形相似？
点评：
本题仍是要考虑当两个三角形有一个角相等时,夹这个角的两边的比相等时有两种情况.
4
C
A
解：
(1)△ADM∽△BDC,△AOD∽△BOC.
∴∠DMO＝∠DAB.
∵∠DOC=∠AOB,
∴△DOC∽△AOB,
解：
(2)
∵△AOD∽△BOC,
∴∠ODC=∠OAB,
∵△ADM∽△BDC,
∴∠DAM=∠DBC
,∠ADM=∠ODC
∵∠DMO=∠DAM+∠ADM,
∠DAB=∠DAM+∠OAB
1.相似三角形的判定方法归纳.
2.灵活运用相似三角形的判定方法判定三角形相似.(共16张PPT)
27.2.1
相似三角形的判定
人教版·九年级数学·下册
第二课时
1.掌握相似三角形的判定定理1、2.
2.经历相似三角形判定定理的探索过程,让学生体会探索的一般方法.
重点：会用相似三角形的判定定理1、2判定两个三角形相似.
难点：相似三角形判定定理的证明与应用.
阅读课本P32-34页内容，了解本节主要内容.
相等
相等
相等
学习三角形全等时,除了可以通过对所有的对应角和对应边一一验证外,还可以通过简便的方法(SSS,SAS,ASA,
AAS)判定两个三角形全等.类似地,判定两个三角形相似时,是不是也存在简便的判定方法呢？从今天开始我们就来研究边角关系判定两个三角形相似的方法.
探究1：相似三角形的判定定理1
在一张方格纸上任意画一个三角形,再画一个三角形,使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍,度量这两个三角形的对应角,它们相等吗？这两个三角形相似吗？交流一下,看看是否有同样的结论.
分析：
作A’D＝AB,过点D作DE∥B
’
C
’,交A
’
C
’于点E,可得△A
’
DE≌△A
’
B
’
C
’.
由△A
’
DE≌△ABC,
可得△ABC∽△A
’
B
’
C
’.
结论：
如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.
探究2：相似三角形的判定定理2
在练习本上利用刻度尺和量角器画△ABC与△A’B’C’,
满足以下条件：
结论：
如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.
(给定的值)和∠A＝∠A‘.量
出它们的第三组对应边BC与B‘C’的长,它们的比等于k吗？
另外两组对应角分别相等吗？
改变∠A或k值的大小,再用同样的方法试一试,是否有同样的结论？
B
5cm,6cm
C
5cm
例1：如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,
△ABC和△DEF的顶点都在格点上,判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由.
解析：
△ABC和△DEF相似.
解：
∴△ABC∽△DEF.
先根据勾股定理求出两三角形各边的长度,再利用三角形三边的比值关系得出即可.
理由：根据勾股定理,得
例2：如图所示,∠DAB＝∠CAE,且AB·AD＝AE·AC,问图中有与∠ADE相等的角吗？若有,请找出来,并说明理由.
AB·AD＝AE·AC,
解析：
解：
如果证得AB与AC的夹角和AD与AE的夹角相等,就可得到三角形相似,于是就有与∠ADE相等的角.
有,∠C与∠ADE相等,
有理由如下：∵∠DAB＝∠CAE,
∴∠DAB+∠BAE＝∠CAE+∠BAE,
∴∠DAE＝∠CAB,
∴△ABC∽△AED,
∴∠ADE＝∠C.
C
相似
D
解：
∴△ABC∽△DEF
解：
△APB与△PCE相似.
∴PB＝2,PC＝1.
理由是：设正方形ABCD的边长为3,
∴AB＝BC＝CD＝3.
又E是DC的中点,
又∠B＝∠C＝90°,∴△APB∽△EPC.
通过本节课的学习,知道了“三边成比例”或“两边成比例且夹角相等”的两个三角形相似.在运用判定定理2时,要注意必须是“夹角”.(共18张PPT)
27.2.1
相似三角形的判定
人教版·九年级数学·下册
第三课时
1.掌握相似三角形判定定理3.
2.掌握直角三角形相似的判定方法.
重点：相似三角形判定理3及直角三角形相似的判定.
难点：理解“斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似.
阅读课本P35-36页内容，了解本节主要内容.
相等
相似
四
观察教师用的一个三角板(有30°、60°的角)和学生用的一个三角板(有30°、60°的角),它们的形状相同吗？这两个三角形相似吗？
探究1：相似三角形的判定定理3
(1)在练习本上画两个三角形,使两个三角形内角分别为35°、45°、100°；
①分别量出两个三角形三边的长度；
②这两个三角形相似吗？
即：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等,那么这两个三角形相似吗？
(2)两个三角形相似一定需三个角相等吗？
结论：
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
作△ABC和△A‘B’C‘,使得∠A＝∠A’,
∠B＝∠B',这时第三组对应角相等吗？这两个三角形相似吗？
探究2：直角三角形相似的判定
要判定两个直角三角形相似,最简单的方法就是再找一个锐角对应相等,就可以根据相似三角形的判定3,判定这两个直角三角形相似.也可找到两组直角边成比例,就可以根据相似三角形判定2,判定这两个直角形三角形相似.
类比两个直角三角形全等可以用“HL”来判定,那么,满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似.
探究2：直角三角形相似的判定
在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中,∠C=90°,∠C’=90°，
求证:
Rt△ABC∽Rt△A’B’C’
A
B
C
B’
C’
A’
解析：
则AB=kA’B’,AC=kA’C’.
证明：
要证
Rt△ABC∽Rt△A’B’C’，可设
由勾股定理,得
∴Rt△ABC∽Rt△A’B’C’.
80°
C
B
是
这两个三角形的
两边对应成比例且夹角相等
例1：如图所示,△ABC是等边三角形,且∠DAE＝120°,D、B、C、E四点在同一条直线上.
(1)判断图中有哪几对相似三角形？
(2)当∠E＝30°时,△ACE与△ABD
有什么关系？为什么？
解析：
(1)∵△ABC是等边三角形,D、B、C、E在同一条直线上,
解：
由△ABC是等边三角形,可得到其外角∠ACE与∠ABD的
度数,由此可得∠DAE=∠ACE=∠ABD.由这三个角中两个角的
对应相等,再寻找隐含的另一个公共角,可找出相似的三角形.
∴在△ACE与△DAE中,∠E为公共角,∠ACE＝∠DAE,
∴△ACE∽△DAE.
在△ABD与△EAD中,∠D为公共角,∠ABD＝∠EAD,
∴△ABD∽△EAD,从而还有△ABD∽△ECA；
例1：如图所示,△ABC是等边三角形,且∠DAE＝120°,D、B、C、E四点在同一条直线上.
(1)判断图中有哪几对相似三角形？
(2)当∠E＝30°时,△ACE与△ABD
有什么关系？为什么？
解析：
由△ABC是等边三角形,可得到其外角∠ACE与∠ABD的度数,由此可得∠DAE=∠ACE=∠ABD.由这三个角中两个角的对应相等,再寻找隐含的另一个公共角,可找出相似的三角形.
(2)当∠E=30°时,有∠EAC=30°,
∴△ACE是顶角为120°的等腰三角形.
∵∠EAD＝120°,∠BAC＝60°,∠EAC＝30°,
∴△ABD也是顶角为120°的等腰三角形.
又∵AC＝AB,
∴△ACE与△ABD是两个全等的三角形.
解：
例2：如图△ABC与△ADB中,∠ABC=∠ADB=90°,
AC＝10cm,AB＝8cm.试探究当AD的长为多少时,这两个直
角三角形相似？
解析：
解：
由于没明确直角三角形的相似方式,故应分情况讨论：一是AB与AD是对应边,二是AB与BD是对应边.
∵∠ABC＝∠ADB＝90°,
故AD＝6.4cm或4.8cm.
△EFD、△HGK
4
B
C
解：
在△ABC和△ACD中,∵∠ACD=∠B,∠A=∠A,
∴△ABC∽△ACD.
即AC2=AD·AB=AD(AD+BD)=2×6=12,
解：
在△ABC中,AB＝AC,BD＝CD,
∴AD⊥BC.
∵CE⊥AB,
∴∠ADB＝∠CEB＝90°.
又∵∠B＝∠B,
∴△ABD∽△CBE.
这节课我们又学习了“两角分别相等的两个三角形相似”,也专门研究了两个直角三角形判定的一些方法.找角相等是证明三角形相似的首选条件.
