等比数列（共4课时）

同步系列（上册） 高二年级数学
7.3 等比数列（4课时）
第1课时 等比数列的概念及通项公式
随堂小练习
一、填空题
1．三个正数a,b,c成等比数列，且a+b+c=62,,lga+lgb+lgc=3,则这三个正数为
参考答案：50，10，2或2,10,50
2．已知a>0,b>0,a在a与b之间插入n个正数x1,x2,…,xn，使a,x1,x2…,xn,b成等比数列，则=
参考答案：
3．在正数项列{an}中，a2n+3=an+1,an+5,且a3=2,a11=8,则a7=
参考答案：4
4．已知首项为，公比为q(q>0)的等比数列的第m,n,k项顺次为M，N，K，则(n-k)logM+(k-m)logN+(m-n)logK=
参考答案：0
二、选择题
5．数列1，37，314，321，……中，398是这个数列的 （C ）
（A）第13项 （B）第14项 （C）第15项 （D）不在此数列中
6．在公比q1的等比数列{an}中，若am=p,则am+n的值为 （ C ）
（A）pqn+1 （B）pqn-1 （C）pqn （D）pqm+n-1
7．若数列{an}是等比数列，公比为q，则下列命题中是真命题的是 （ D ）
（A）若q>1,则an+1>an （B）若0（C）若q=1,则sn+1=Sn （D）若-18．在等比数列{an}中，a9+a10=a(a),a19+a20=b,则a99+a20的值为 （ A ）
（A） （B）（）9 （C） （D）（）1
9．在数列{an}中，a1=2,an+1=2an+2,则a100的值为 （B ）
（A）2100-2 （B）2101-2 （C）2101 （D）215
10．若x,2x+2,3x+3是一个等比数列的连续三项，则x的值为 （ A ）
（A）-4 （B）-1 （C）1或4 （D）-1或-4
三、解答题
11．已知等比数列{an}，公比为-2，它的第n项为48，第2n-3项为192，求此数列的通项公式
参考答案： 解得a1=3 ∴an=a1qn-1=3(-2)n-1 。
12．已知数列的递推关系，求满足下列条件数列的通项．
（1），；
（2），
参考答案：1）由，得，
，即为等比数列．
，
．
（2）由，得．
成等差数列，，
．
课后精练
一、填空题
1．若数列{an}为等比数列，其中a3,a9是方程3x2+kx+7=0的两根，且(a3+a9)2=3a5a7+2,则实数k=
参考答案：9
2．若2，a,b,c,d,18六个数成等比数列，则log9=
参考答案：-
3．等比数列的前项的和等于首项的倍，则该等比数列的公比为 。
参考答案：或
4．若对任意的，总有，则称为递增数列，现有下列命题：
①公比的等比数列是递增数列．②若，则等差数列为递增数列．③若，，则等比数列为递增数列．其中真命题的序号为____________
参考答案：②
5．已知是等比数列，若，，则 ．
参考答案：50
6．已知是等比数列，若，，则
参考答案：
7．若依次成等差数列的三实数之和为，而又依次成等比数列，则的值等于
参考答案：或
8．在和之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这插入的两数是 ．
参考答案：，
二、选择题
9．已知数列{an}是公比q的等比数列，给出下列六个数列：（1）{kan}(k) (2){a2n-1} (3){an+1-an} (4){anan+1} (5){nan} (6){an3},其中仍能构成等比数列的个数为 （B ）
（A）4 （B）5 （C）6 （D）3
10．在由正数组成的等比数列{}中，若a4a5a6=3,log3a1+log3a2+log3a8+log3a9的值为 （ A ）
（A） （B） （C）2 （D）3
11．数列{an}是正数组成的等比数列，公比q=2,a1a2a3……a20=a50,，则a2a4a6……a20的值为 （ A ）
（A）230 （B）283 （C）2170 （D）2102-2
12．某商品的价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，最后一年的价格与原来的价格比较，变化情况是 （D ）
（A）不增不减 （B）约增1.4% （C）约减9.2% （D）约减7.8%
三、解答题
13．设成等差数列，且，如果，且成等比数列，则各为多少？
参考答案：三数分别为，１，
14．已知等比数列各项均为正数，数列满足，且，，求通项
参考答案：时，；时，
15．已知数列满足a1=1，an＋1=2an＋1(n∈N*)
(1)　求证数列{an＋1}是等比数列；
(2)　求{an}的通项公式．
参考答案：(1)证明： 由an＋1=2an＋1得an＋1＋1=2(an＋1)
又an＋1≠0 ∴=2
即{an＋1}为等比数列．
(2)解析： 由(1)知an＋1=(a1＋1)qn－1
即an=(a1＋1)qn－1－1=2·2n－1－1=2n－1
16．一个等比数列中，，求这个数列的通项公式。
参考答案： 两式相除得，代入，
可求得或8，
第2课时 等比数列的判断（或证明）
随堂小练习
一、填空题
1．在等比数列｛an｝中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，则a10＝
参考答案：512
2．在等比数列{an}中，an＞0，且an＋2=an＋an＋1，则该数列的公比q=
参考答案：
3．在等比数列{an}中，已知a1=，a4=12，则q=_____ ____，an=____ ____．
参考答案：2，3·2n－2
4．数列｛｝中，且是正整数)，则数列的通项公式
参考答案：
二、选择题
5．a,b,c成等比数列是b=的 （ D ）
（A）充分但不必要条件 （B）必要但不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件
6．已知，，将与的公共项按原来顺序排成的数列是 （　Ｂ　）
Ａ．等差数列非等比数列 Ｂ．等比数列非等差数列
Ｃ．等差数列又是等比数列 Ｄ．既非等差数列又非等比数列
7．已知公差不为零的等差数列的第项依次是一等比数列的连续三项，则这个数列的公比等于（　Ｄ　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
8．已知自然数，，，满足，则等比数列必定满足 (　Ａ　)
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
9．已知数列是公比的等比数列，则在①②③④这四个数列中，成等比数列的个数是 （ Ｃ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
10．若是各项都大于零的等比数列，且公比，则与的大小关系是 （Ｂ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．不能确定
三、解答题
11．已知等比数列的首项，公比，设数列的通项为，求数列 的通项公式。
参考答案：由题意，，又是等比数列，公比为
∴，故数列是等比数列，，∴
12．数列｛an｝满足a1=1，an=an－1＋1(n≥2)
（1）若bn=an－2，求证｛bn｝为等比数列；
（2）求｛an｝的通项公式．
参考答案：(1)由an=an－1＋1得an－2= (an－1－2)
即，(n≥2)
∴｛bn｝为以－1为首项，公比为的等比数列
(2)bn=(－1)( )n－1，即an－2=－()n－1
∴an=2－()n－1
课后精练
一、填空题
1．若成等差数列，且，，和都成等比数列，则 ．
参考答案：
2．在等比数列{an}中，a1+a2+a3=-3,a1a2a3=8,则an=
参考答案：
3．在等比数列中，an为正，且公比为2，如果a1a2…a30=230,则a3a6a9…a30=
参考答案：220
4．等比数列满足，则__ _______
参考答案：或2
5．等比数列的首项，公比，如果，，依次是某等差数列的第项，则= 。
参考答案：3
6．在等比数列中，如果，，那么的值为 。
参考答案：4
7．一个等比数列中，，则这个数列的通项公式为 。
参考答案：
8．已知为两个不等的正数，且依次成等差数列，依次成等比数列，则
的大小．（选填“＞”、“＜”或“=”）
参考答案：＞
二、选择题
9．如果将，，各加上同一个常数能组成一个等比数列，那么这个数列的公比为（　Ｄ　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
10．若成等比数列，那么，，是（Ｄ ）
Ａ．等差数列 Ｂ．等比数列
Ｃ．既是等差数列又是等比数列 Ｄ．不一定
11．若不为的正数依次成公比大于的等比数列，则当时，，，（Ｃ）
Ａ．依次成等差数列 Ｂ．依次成等比数列
Ｃ．各项的倒数依次成等差数列 Ｄ．各项的倒数依次成等比数列
12．{an}是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为 （ B ）
①{an2}也是等比数列 ②{can}(c≠0)也是等比数列
③{}也是等比数列 ④{lnan}也是等比数列
A．4 B．3 C．2 D．1
三、解答题
13．设a、b、c、d成等比数列，求证：(b－c)2＋(c－a)2＋(d－b)2＝(a－d)2．
参考答案： ∵a、b、c、d成等比数列
∴b2＝ac，c2＝bd，ad＝bc
∴左边=b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2＋d2－2bd＋b2
=2(b2－ac)＋2(c2－bd)＋(a2－2bc＋d2)＝a2－2ad＋d2＝(a－d)2＝右边
证毕．
14．已知数列的前项和满足．
写出数列的前三项；
（2）求证数列为等比数列，并求出的通项公式
参考答案：（1）在中分别令
得： 解得：
（2）由得：
两式相减得：
即：
故数列是以为首项，公比为2的等比数列．
所以
15．数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3，…)．
证明：(i)数列{}是等比数列；(ii)Sn+1=4an
参考答案：（1）由 得： 即
所以
所以数列是以1为首项,公比为2的等比数列．
（2）由（1）得
所以
所以
16．已知在数列{an}中，a1、a2、a3成等差数列，a2、a3、a4成等比数列，a3、a4、a5的倒数成等差数列，证明：a1、a3、a5成等比数列．
参考答案：证明 由已知，有
2a2=a1＋a3 ①
即 a3(a3＋a5)=a5(a1＋a3)
所以a1、a3、a5成等比数列．
第3课时 等比数列的应用
随堂小练习
一、填空题
1．某工厂在某年度之初借款A元，从该年度末开始，每年度偿还一定的金额，恰在n年内还清，年利率为r,则每次偿还的金额为 元
参考答案：
2．在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_____
参考答案：216
3．已知在等比数列中，各项均为正数，且则数列的通项公式是
参考答案：
4．在正项等比数列中，，则______
参考答案：
二、选择题
5．在2与6之间插入n个数，使它们组成等比数列，则这个数列的公比为 （C ）
（A） （B） （C） （D）
6．某产品每年成本降低的百分数为m,若五年后的成本是a元，则现在的成本是 （ C ）
（A） （B）
（C） （D）
7．在等比数列{an}中，如果a6=6，a9=9，那么a3等于 （ A ）
A．4 B． C． D．2
8．若两数的等差中项为6，等比中项为5，则以这两数为两根的一元二次方程为 （ D ）
A．x2－6x＋25=0 B．x2＋12x＋25=0
C．x2＋6x－25=0 D．x2－12x＋25=0
9．若三角形的三边成等比数列，则它的公比r的取值范围为 （ A ）
D.以上都不对。
10．等比数列{an}中，a9＋a10=a(a≠0)，a19＋a20=b，则a99＋a100等于 （ A ）
A． B．()9 C． D．()10
三、解答题
11．已知数列{an}中，，设
（1）求证：数列{bn}是等比数列；
（2）写出数列{an}的通项公式。
参考答案：（1）由已知得：，从第二项起，，所以数列{bn}是以2为首项，公比也为2的等比数列。
12．在等比数列｛an｝中, 存在正整数m, 有am=3, am+5=24, 求 am+15的值。
参考答案：1536
课后精练
一、填空题
1．在等比数列中, 若则 =_________
参考答案：
2．在等比数列中, 若是方程的两根，则 =_______
参考答案：
3．已知等差数列｛an｝的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于 。
参考答案：－6
4．设成等比数列，其公比为2，则的值为 。
参考答案：
5．等比数列中， 。
参考答案：2或
6．等比数列的各项均为正数，且，则 。
参考答案：
7．在中,是以为第三项, 为第七项的等差数列的公差是以为第三项, 为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是 。
参考答案：锐角三角形
8．已知一等比数列的前三项依次为，那么是此数列的第 项
参考答案：
二、选择题
9．某厂2001年12月份产值计划为当年1月份产值的n倍，则该厂2001年度产值的月平均增长率为 （ D ）
A． B． C． D．
10．等比数列{an}中各项为正数，公比q≠1,则下列数列中为等比数列的是 （ C ）
A.a1,2a2,3a3,…,nan,…; B.
C.a1+a2,a2+a3,a3+a4,…,an+an+1,…; D.lga1,lga2,…,lgan,…
11．在等比数列{an}中，a9+a10=a(a≠0),a19+a20=b,则a99+a100等于 （ A ）
12．已知等比数列满足，且，则当时，
A. B. C. D.
三、解答题
13．已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，求x,y之间的函数关系。
参考答案：
14．设在等比数列6，…　，768，…，12288，…中，768是第n项，12288是第2n-4项，求此数列的公比q及n.
参考答案：q=2,n=8
15．已知等比数列的各项均为正数，且求的值.
参考答案：5
16．已知数列的递推公式为，且
（1）求证：是等比数列；
（2）求
参考答案：（1）由，得，所以是以3为公比的等比数列.
（2）
第4课时 等比数列前n项的和
随堂小练习
一、填空题
1．设，则＝ 。
参考答案：
2．在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于.
参考答案：
3．2+(2+22)+(2+22+23)+…+（2+22+23+…+210）=
参考答案：212-24
4．设数列的前项和为，若，则公比 ( http: / / www. )参考答案：
二、选择题
5．等比数列的首项,前项和为若，则公比等于 (B; )
C.2 D.－2
6．等比数列｛an｝中，a3=7，前3项之和S3=21， 则公比q的值为 （ C ）
A．1 B．－ C．1或－1 D．－1或
7．已知各项为正的等比数列的前5项之和为3，前15项之和为39，则该数列的前10项之和为 （ C ）
A．3 B．3 C．12 D．15
8．等比数列的前n项和Sn=k·3n＋1，则k的值为 （ B ）
A．全体实数 B．－1 C．1 D．3
9．已知数列{an}的前n项和为Sn=b×2n+a(a0,b0),若数列{an}是等比数例，则a、b应满足的条件为（ C ）
（A）a-b=0 （B）a-b0 （C）a+b=0 （D）a+b0
10．在正项等比数列{an}中，a21+a22+……a2n=,则a1+a2+…an的值为 （B ）
（A）2n （B）2n-1 （C）2n+1 （D）2n+1-2
三、解答题
11．在等比数列｛an｝中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n
参考答案：∵S2n≠2Sn，∴q≠1
②÷①得：1＋qn＝即qn＝ ③
③代入①得＝64 ④
∴S3n＝ (1－q3n)＝64(1－)＝63
12．在等比数列｛an｝中，a1＋an=66，a2·an－1=128，且前n项和Sn=126，求n及公比q．
参考答案：∵a1an=a2an－1=128，又a1＋an=66，
∴a1、an是方程x2－66x＋128=0的两根，解方程得x1=2，x2=64，
∴a1=2，an=64或a1=64，an=2，显然q≠1．
若a1=2，an=64，由=126得2－64q=126－126q，
∴q=2，由an=a1qn－1得2n－1=32， ∴n=6．
若a1=64，an=2，同理可求得q=，n=6．
综上所述，n的值为6，公比q=2或．
课后精练
一、填空题
1．等比数列的公比为2，前4项之和等于10，则前8项之和等于__________
参考答案：170
2．在等比数列中，，，则的前4项和为
参考答案：120
3．设，则等于
参考答案：
4．等比数列4， 2，1， 的前10项和是
参考答案：
5．在等比数列中,,,则
参考答案：27
6．在等比数列中，，，则
参考答案：
7．求和：
参考答案：
8．已知数列中，，由它的偶数项所组成的新数列的前n项和
参考答案：
二、选择题
9．在正项等比数列{an}中，若s2=7,s6=91,则s4的值为 （A ）
（A）28 （B）32 （C）35 （D）49
10．设等比数列{an}的前n项和为Sn,前n项的倒数之和为Tn,则的值为 （B ）
（A）a1an （B） （C）a1nann （D）()n
11．一个等比数列共有3n项，其前n项之积为A，次n项之积为B，末n项之积为C，则一定有 （ D ）
（A）A+B=C （B）A+C=2B （C）AB=C （D）AC=B2
12．已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是 ( D ) ( http: / / www. )　（Ａ）　　　　　 （Ｂ）　
　（Ｃ）　　　　　 （Ｄ）
三、解答题
13．等比数列中前n项和为,,,求的值
参考答案：32
14．数列满足，。求及的表达式
参考答案：；
15．已知正项数列，其前项和满足且，，成等比数列，求数列的通项
参考答案：∵， ① 代得，故a1=2或a1=3
又，②
由①－②得，即
∵， ∴
当时，， a1， a3，a15不成等比数列∴;
当时，，， 有， ∴， ∴
16．已知数列｛an｝为等差数列，公差d≠0，｛an｝的部分项组成下列数列：a，a，…，a，恰为等比数列，其中k1＝1，k2＝5，k3＝17，求k1＋k2＋k3＋…＋kn.
参考答案：设的首项为a1，∵a、a、a成等比数列，∴（a1＋4d）2＝a1（a1＋16d）.
得a1＝2d，q＝＝3.
∵a＝a1＋（kn－1）d，又a＝a1·3n－1，∴kn＝2·3n－1－1.
∴k1＋k2＋…＋kn＝2（1＋3＋…＋3n－1）－n＝2×－n＝3n－n－1
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