第五章数列
5.3 等比数列
5.3.1 等比数列
课后篇巩固提升
基础达标练
1.对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是( )
A.a1,a3,a9成等比数列
B.a2,a3,a6成等比数列
C.a2,a4,a8成等比数列
D.a3,a6,a9成等比数列
解析因为在等比数列中,an,a2n,a3n,…也成等比数列,所以a3,a6,a9成等比数列.
答案D
2.在等比数列{an}中,已知a9=-2,则此数列的前17项之积等于( )
A.216
B.-216
C.217
D.-217
解析由等比数列的性质:序号和相等,则对应项的乘积相等.∵a1·a17=a2·a16=…=,
∴a1·a2·…·a17=(a9)17=(-2)17=-217.
答案D
3.(2020广东新会华侨中学高三月考)设等比数列{an}满足a1+a3=3,a1-a5=-3,则a7=( )
A.8
B.-8
C.6
D.-6
解析设等比数列{an}的公比为q,
a1+a3=3,即a1(1+q2)=3,
①
a1-a5=-3,即a1(1-q4)=-3,
②
由②÷①得1-q2=-1,即q2=2,a1=1.
则an=a1qn-1=qn-1,所以a7=q6=(q2)3=8.
答案A
4.在下面所示的表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每一纵行成等比数列,则a+b+c的值为
( )
1
2
0.5
1
a
b
c
A.1
B.2
C.
D.4
解析根据题意填写表格,得
1
2
3
4
0.5
1
2
1
所以a+b+c=.
答案C
5.(2019山东济南高三三模)公比为2的等比数列{an}中存在两项am,an,满足aman=32,则的最小值为
( )
A.
B.
C.
D.
解析aman=2m+n-2=32,∴m+n=7.
当m=1,n=6时,;
当m=2,n=5时,;
当m=3,n=4时,;
当m=4,n=3时,;
当m=5,n=2时,;
当m=6,n=1时,.
故的最小值为.
故选D.
答案D
6.在2和30之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入的两数是 .?
解析设两数依次为a,b,∴a2=2b,2b=a+30.
∴a2-a-30=0,∴a=6,∴b=18.
答案6,18
7.已知a,b,c成等差数列,且a,c,b成等比数列,则a∶b∶c= .(其中a,b,c不相等)?
解析由已知,得
由①,得a=2b-c,代入②得2b2-bc-c2=0,
解得b=-c(b=c舍去).
∴c=-2b.∴a=2b-c=4b.
∴a∶b∶c=4b∶b∶(-2b)=4∶1∶(-2).
答案4∶1∶(-2)
8.设{an}是正数组成的等比数列,公比q=2,且a1a2a3…a30=230,则a3a6a9…a30= .?
解析因为数列{an}中,公比q=2,设a2a5a8…a29=x,
而a1a4a7…a28,a2a5a8…a29,a3a6a9…a30成等比数列,且公比为q10=210,
又a1a2a3…a30=230,即x3=230,
解得x=a2a5a8…a29=210,
所以a3a6a9…a30=220.
答案220
9.在公差不为0的等差数列{an}和等比数列{bn}中,a1=b1=1,a2=b2,a8=b3.
(1)求数列{an}的公差和数列{bn}的公比.
(2)是否存在a,b使得对于一切自然数n都有an=logabn+b成立?若存在,求出a,b;若不存在,请说明理由.
解(1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,由已知a1=b1=1,a2=b2,得1+d=q,由a8=b3,得1+7d=q2,解得(舍去)或
(2)若存在a,b,使得an=logabn+b成立,即1+(n-1)·5=loga6n-1+b,∴5n-4=(n-1)loga6+b,
∴(5-loga6)n-(4+b-loga6)=0.
∴解得因此,存在a=,b=1使得结论成立.
10.已知{an}是各项为不同的正数的等差数列,lg
a1,lg
a2,lg
a4成等差数列.又bn=,n=1,2,3,….
(1)证明{bn}为等比数列;
(2)如果数列{bn}前3项的和等于,求数列{an}的首项a1和公差d.
分析要证明数列为等比数列,关键是从定义出发看bn+1与bn之比是否为同一常数,或是否满足等比数列通项公式的形式;由题设应先求出{an}的通项公式.
(1)证明∵lg
a1,lg
a2,lg
a4成等差数列,
∴2lg
a2=lg
a1+lg
a4,即=a1·a4.
设等差数列{an}的公差为d,则(a1+d)2=a1(a1+3d),这样d2=a1d,从而d(d-a1)=0.
∵d≠0,∴d=a1≠0.∴an=a1+(n-1)d=n·d.
∴=2n·d.
∴bn=.
∴数列{bn}是以为首项,为公比的等比数列.
(2)解∵b1+b2+b3=,
∴d=3.∴a1=d=3.
能力提升练
1.(多选)(2019苏州外国语学校高二期中)数列{an}满足an=qn(q>0,n∈N+),则以下结论正确的是( )
A.{a2n}是等比数列
B.是等比数列
C.{lg
an}是等差数列
D.{lg
}是等差数列
解析因为an=qn(q>0,n∈N+),所以a2n=q2n,=q2,故A正确;
,故B正确;
lg
an=lg
qn=nlg
q,故lg
an-lg
an-1=nlg
q-(n-1)lg
q=lg
q,故C正确;
lg
=lg
q2n=2nlg
q,故lg
-lg
=2nlg
q-2(n-1)lg
q=2lg
q,故D正确;
故选ABCD.
答案ABCD
2.已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d(d≠1),且a1=b1,a4=b4,a10=b10,则a1和d的值分别为( )
A.
B.-
C.-,-
D.,-
解析由
由两式得a1=,代入①式中,+3d=·d3,
化简得d9-3d3+2=0,即(d3-1)(d6+d3-2)=0,∵d≠1,
∴由d6+d3-2=0,得d=-,a1=.
答案D
3.(2020南昌高三月考)如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的和除以与它前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做“和差等比数列”.已知{an}是“和差等比数列”,a1=2,a2=3,则满足使不等式an>10的n的最小值是( )
A.8
B.7
C.6
D.5
解析依题意,=5,得,
则数列{an}是首项为2,公比为的等比数列,
所以an=2·n-1,
验证知,当n≥5时,2·n-1>10成立,
所以n的最小值是5.
故选D.
答案D
4.(2020辽宁辽师大附中高二月考)朱载堉(1536—1611),中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家,他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制,各相邻两律之间的频率之比完全相等,亦称“十二等程律”.即一个八度13个音,相邻两个音之间的频率之比相等,且最后一个音是最初那个音的频率的2倍.设第三个音的频率为f1,第七个音的频率为f2,则=( )
A.4
B.
C.
D.
解析设第一个音的频率为a,设相邻两个音之间的频率之比为q,那么an=aqn-1,根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍,得a13=2a=aq12,解得q=,所以=q4=,故选D.
答案D
5.已知两个等比数列{an},{bn},满足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3.若数列{an}是唯一的,则a的值为 .?
解析设{an}的公比为q,则b1=1+a,b2=2+aq,b3=3+aq2,
由b1,b2,b3成等比数列,得(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),得aq2-4aq+3a-1=0.
(
)
由a>0得Δ=4a2+4a>0,故方程(
)有两个不同的实根.由{an}唯一知方程(
)必有一根为0,代入(
)得a=.
答案
6.设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为 .?
答案64
7.设二次方程anx2-an+1x+1=0(n=1,2,3,…)有两根α和β,且满足6α-2αβ+6β=3.
(1)试用an表示an+1;
(2)求证:当a1≠时,是等比数列;
(3)当a1=时,求数列{an}的通项公式.
分析本题是有关数列、一元二次方程的根与系数关系的综合题.根据题目条件列出等量关系,找到递推关系即可获解.
解(1)根据根与系数的关系,有
代入题设条件6(α+β)-2αβ=3,得=3.
∴an+1=an+.
(2)证明:∵an+1=an+,
∴an+1-.
当a1≠时,an-≠0,故数列是以为公比的等比数列.
(3)当a1=时,a1-.
故数列是首项为a1-,公比为的等比数列,
∴an=,n=1,2,3,…,
即数列{an}的通项公式为an=,n=1,2,3,….
8.判断是否存在一个等比数列{an},使其满足下列三个条件,使am-1,,am+1+依次成等差数列:①a1+a6=11,且a3a4=;②an+1>an;③至少存在一个m(m∈N+,且m>4).若存在,请写出数列的通项公式;若不存在,请说明理由.
解假设存在符合条件的等比数列{an},
则
解得
又因为an+1>an,
所以取a1=,a6=.
设公比为q,由a6=a1q5,得q5,解得q=2,
所以an=·2n-1.
又因为am-1,,am+1+成等差数列,
所以2am-1+,
即2.
整理,得22m-7·2m-8=0,即(2m-8)(2m+1)=0.
因为2m+1>0,所以2m-8=0,
即2m=8,所以m=3,这与条件③中的m>4矛盾.
所以不存在符合题意的等比数列.
素养培优练
(2020四川成都高三二模)已知{an}是递增的等比数列,a1=1,且2a2,a3,a4成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,n∈N+,求数列{bn}的前n项和Sn.
解(1)设数列{an}的公比为q,由题意,知q>1.
∵2a2,a3,a4成等差数列,
∴3a3=a4+2a2,∴3q2=q3+2q,
即q2-3q+2=0,解得q=2或q=1(舍去),∴q=2.
∴数列{an}的通项公式为an=a1qn-1=2n-1.
(2)∵bn=
=,
∴Sn=1-+++…++
=
=
=.(共34张PPT)
5.3.1 等比数列
激趣诱思
知识点拨
将一张厚度为0.044
mm的白纸一次又一次地对折,对折1
000次(假设是可能的)纸的厚度将是4.4×10296
m,相当于约5.0×10292个珠穆朗玛峰的高度和,这可能吗?一位数学家曾经说过:你如果能将一张报纸对折38次,我就能顺着它在今天晚上爬上月球.将一张报纸对折会有那么大的高度吗?这就是我们今天要解决的问题.
激趣诱思
知识点拨
一、等比数列的定义
1.等比数列的概念
一般地,如果数列{an}从第2项起,每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q,即
=q恒成立,则称{an}为等比数列,其中q称为等比数列的公比.
2.等比数列的通项公式
一般地,如果等比数列{an}的首项是a1,公比是q,那么其通项公式为an=a1qn-1.
激趣诱思
知识点拨
名师点析
对等比数列的几点说明
(1)等比数列的每一项均不为0.
(2)从“第2项起”是因为首项没有“前一项”.
(3)公比q是每一项与它前一项的比,求公比q时不要将相邻两项比的顺序颠倒.
(4)在等比数列{an}中,已知a1,n,q,an四个量中的三个,可以求得另一个量.
(5)数列{an}是等比数列的充要条件是an=kqn,其中k,q是不为0的常数.
激趣诱思
知识点拨
微思考
在等比数列{an}中,你会用第m项am与公比q来表达{an}的通项公式吗?
提示:设{an}的首项为a1,则am=a1·qm-1,①
an=a1qn-1,②
激趣诱思
知识点拨
微练习1
下列数列中,有哪些是等比数列?
①-1,-2,-4,-8;
③1,1,1,1.
提示:①是首项为-1,公比为2的等比数列;②是首项为1,公比为-
的等比数列;若常数列的各项不为零,则它也是等比数列,所以③是等比数列.
激趣诱思
知识点拨
微练习2
激趣诱思
知识点拨
二、等比数列的性质
如果x,G,y是等比数列,那么称G为x与y的等比中项,且G2=xy.
激趣诱思
知识点拨
名师点析
等比数列的主要性质
若数列{an}为等比数列,首项为a1,公比为q,则有如下结论:
(1)两个等比数列的积仍为等比数列.
(2)在等比数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则有aman=apaq;若m+n=2k(m,n,k∈N+),则
(3)数列{an}是有穷数列,则与首末两项等距离的两项的积相等,且等于首末两项之积.
(4)在等比数列{an}中,每隔k项取出一项,按原来的顺序排列,所得新数列仍为等比数列,公比为qk+1.
激趣诱思
知识点拨
(5)当数列{an}是各项都为正数的等比数列时,数列{lg
an}是公差为lg
q的等差数列.
(6)当m,n,p(m,n,p∈N+)成等差数列时,am,an,ap成等比数列.
(7)等比数列{an}中,若公比为q,则数列{λan}仍是公比为q的等比数列;若{bn}是公比为q'的等比数列,则数列{an·bn}是公比为q·q'的等比
激趣诱思
知识点拨
微练习1
A.1
B.-1
C.±1
D.2
答案:C
激趣诱思
知识点拨
微练习2
已知{an}为等比数列,且an>0.若a5a7+2a6a8+a7a9=49,则a6+a8= .?
答案:7
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
等比数列的判定或证明
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
等比数列的判定方法
{an}是等比数列.
(3)通项公式法:若数列的通项公式可写成an=kqn(k,q均为不等于0的常数,n∈N+),则数列{an}是等比数列.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1下面四个数列:
①1,1,2,4,8,16,32,64;
其中是等比数列的有 .(只填序号)?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解析:①不符合“同一”,故不是等比数列.
②不一定是等比数列,当{an}只有3项时,{an}是等比数列;当{an}的项数超过3项时,不一定符合“每一”.
③不一定.若常数列是各项都为0的数列,它就不是等比数列.当常数列各项不为0时,是等比数列.
④等比数列的定义用式子的形式表示出来就是:在数列{an}中,对任意n∈N+,有
=q,则{an}是等比数列.
答案:④
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
等比数列的通项公式及应用
例2在等比数列{an}中,
(1)a4=2,a7=8,求an;
(2)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.
思路分析先将条件转化为关于基本元素a1与q的方程组,求出a1和q,再表示其他量.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
等比数列基本运算的求解策略
由等比数列的通项公式可知,若已知a1,q,n,an中的三个,便可通过建立方程或方程组求出另一个,这是解这类问题的基本思想方法.但对于具体问题,则应具体观察和分析,找到较为简捷的解题方法,如整体思想、设而不求思想.同时还应注意等比定理的运用,即
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究将本例2(1)中的条件“a4=2,a7=8”改为“a7=1,且a4,a5+1,a6成等差数列”结论又如何?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
等比数列性质的应用
例3等比数列{an}的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+…+log3a10=( )
A.12
B.10
C.8
D.2+log35
解析:由题意可知a5a6=a4a7,又a5a6+a4a7=18,得a5a6=a4a7=9,
而log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1·a2·…·a10)
答案:B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.若{an}是等比数列,m,n,p,q∈N+,且m+n=p+q,则am·an=ap·aq.
2.若{an}是等比数列,m,n,k∈N+,且m+n=2k,则am·an=
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=( )
答案:A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
an+1=pan+q(p≠1)型数列的构造与证明
典例若数列{an}满足a1=2,an+1=3an+2,试说明数列{an+1}为等比数列,并求{an}的通项公式.
解:∵an+1=3an+2,
∴an+1+1=3an+3=3(an+1),
则数列{an+1}是以a1+1=3为首项,3为公比的等比数列,
∴an+1=3·3n-1=3n,∴an=3n-1.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛
一般地,根据递推关系的特点进行变形,变为我们所熟悉的数列来解决.对于形如an+1=pan+q(p≠1)的递推公式,可设出形式an+1+x=p(an+x),即an+1=pan+(p-1)x,通过对比系数,得(p-1)x=q,所以
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.给出下列命题:①若
,则-a,b,-c成等比数列(abc≠0);②若b2=ac,则a,b,c成等比数列;③若an+1=anq(q为常数),则{an}是等比数列.其中正确的命题有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
解析:①显然正确;②中当abc=0时不成立;③中当q=0时不成立.故选B.
答案:B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于( )
A.-24
B.0
C.12
D.24
解析:由题意得,(3x+3)2=x(6x+6),解得x=-3或x=-1.当x=-1时,3x+3=0,不满足题意.当x=-3时,原数列是等比数列,前三项分别为-3,-6,-12,故第四项为-24.
答案:A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.(2020南昌高三模拟)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项的和为Sn,a1=2,且a1,a3,a9成等比数列,则S8=( )
A.56
B.72
C.88
D.40
答案:B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4.在数列{an}中,a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则数列{an}的通项公式为 .?
解析:∵an+1=3Sn,①
∴an=3Sn-1(n≥2).②
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
5.在等比数列{an}中,a3a9=1,a1a5+a8a10=8,则a3+a9等于 .?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
6.已知数列{an},a1=2,an+1=2an+3.
(1)求证:{an+3}是等比数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明:由an+1=2an+3,得an+1+3=2an+6=2(an+3),∴
=2.
∴{an+3}是以a1+3=5为首项,以2为公比的等比数列.
(2)解:由(1)知an+3=5·2n-1,∴an=5·2n-1-3.
