第五章数列
5.3 等比数列
5.3.2 等比数列的前n项和
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知等比数列{an}各项为正,a3,a5,-a4成等差数列,Sn为{an}的前n项和,则=( )
A.2
B.
C.
D.
解析设等比数列{an}的公比为q,则有q>0,又a3,a5,-a4成等差数列,∴a3-a4=2a5,∴a1q2-a1q3=2a1q4,即1-q=2q2,解得q=-1(舍去)或q=,∴q=,
∴=1+q3=1+.
答案C
2.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=3,则等于
( )
A.2
B.
C.
D.3
解析设其公比为q,由已知可得=1+q3=3,∴q3=2,.
答案B
3.在各项均为正数的等比数列{an}中,若am+1·am-1=2am(m≥2),数列{an}的前n项积为Tn,若T2m-1=512,则m的值为( )
A.4
B.5
C.6
D.7
解析因为{an}是正项等比数列,所以am+1·am-1=2am=,则am=2,又T2m-1=a1a2…a2m-1=,所以22m-1=512=29,m=5.故选B.
答案B
4.(2020武威第六中学高三二模)已知等比数列{an},a1=1,a4=,且a1a2+a2a3+…+anan+1A.
B.,+∞
C.
D.,+∞
解析设等比数列{an}的公比为q,则q3=,解得q=,∴an=.
∴anan+1=.
∴数列{anan+1}是首项为,公比为的等比数列.
∴a1a2+a2a3+…+anan+1=1-<,∴k≥.
故k的取值范围是,+∞.
答案D
5.(多选)(2020山东济南高二期末)若Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=2an+1(n∈N+),则下列说法正确的是
( )
A.a5=-16
B.S5=-63
C.数列{an}是等比数列
D.数列{Sn+1}是等比数列
解析因为Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=2an+1(n∈N+),所以S1=2a1+1,因此a1=-1.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-1,
所以数列{an}是以-1为首项,以2为公比的等比数列,故C正确;
因此,a5=-1×24=-16,故A正确;
又Sn=2an+1=-2n+1,所以S5=-25+1=-31,故B错误;
因为S1+1=0,所以数列{Sn+1}不是等比数列,故D错误.
故选AC.
答案AC
6.(2020山东潍坊高二月考)等比数列{an}共有2n项,它的全部各项的和是奇数项的和的3倍,则公比q= .?
解析设{an}的公比为q,则奇数项也构成等比数列,其公比为q2,首项为a1,,S奇=.
由题意,得.
∴1+q=3,∴q=2.
答案2
7.等比数列{an}中,若前n项和Sn=2n-1,则+…+=.
解析当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1,当n=1时,a1=S1=21-1=1适合上式,∴{an}的通项公式为an=2n-1.∴=4n-1,即数列{}构成以1为首项,4为公比的等比数列.∴前n项和Tn=+…+(4n-1).
答案(4n-1)
8.已知数列{an}的前n项和为Sn,且对任意n∈N+,有2Sn=3an-2,则a1= ;Sn= .?
解析令n=1,则2S1=3a1-2,得a1=2;
由2Sn=3an-2,得
①
当n≥2时,2Sn-1=3an-1-2,
②
①-②得2an=3an-3an-1,即当n≥2时,an=3an-1,又a1=2,
故数列{an}是以2为首项,3为公比的等比数列,
∴an=2·3n-1,∴Sn==3n-1.
答案2 3n-1
9.(2020湖南长郡中学高三三模)若数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,a2=2,(Sn+1)(Sn+2+1)=(Sn+1+1)2.
(1)求Sn;
(2)记数列的前n项和为Tn,证明:1≤Tn<2.
解(1)由题意,有=…=,
所以数列{Sn+1}是等比数列.
又S1+1=a1+1=2,S2+1=a1+a2+1=4,
所以=2,数列{Sn+1}是首项为2,公比为2的等比数列.
所以Sn+1=2×2n-1=2n,所以Sn=2n-1.
(2)由(1)知,当n≥2时,Sn=2n-1,Sn-1=2n-1-1.
两式相减得an=2n-1,
当n=1时,a1=1也满足an=2n-1,
所以数列{an}的通项公式为an=2n-1.
所以.
当n=1时,T1=1;
当n≥2时,显然Tn>1,且Tn=1++…+=2-<2.
所以1≤Tn<2.
10.已知{an}是首项为1,公差为2的等差数列,Sn表示{an}的前n项和.
(1)求an及Sn;
(2)设{bn}是首项为2的等比数列,公比q满足q2-(a4+1)q+S4=0.求{bn}的通项公式及其前n项和Tn.
解(1)因为{an}是首项a1=1,公差d=2的等差数列,
所以an=a1+(n-1)d=2n-1.
故Sn=1+3+…+(2n-1)==n2.
(2)由(1)得a4=7,S4=16.
因为q2-(a4+1)q+S4=0,即q2-8q+16=0,
所以(q-4)2=0,从而q=4.
又因为b1=2,{bn}是公比q=4的等比数列,
所以bn=b1qn-1=2·4n-1=22n-1.
从而{bn}的前n项和Tn=(4n-1).
能力提升练
1.(2019浙江衢州二中高三四模)设数列{an}(n∈N+)的各项均为正数,前n项和为Sn,log2an+1=1+log2an,且a3=4,则S6=( )
A.128
B.65
C.64
D.63
解析因为log2an+1=1+log2an,
所以log2an+1=log22an,所以an+1=2an,
所以数列{an}是公比为2的等比数列.
又因为a3=4,所以a1==1,
S6==63.
答案D
2.数列{an}中,an>0,a1=1,且3+2an+1an-=0,则a1+a3+a5+…+a2n-1的值为( )
A.
B.
C.
D.
解析由3+2an+1an-=0,得3+2-1=0,解得=-1.
因为an>0,所以=q=.
数列{an}为等比数列,且首项为1,公比为,故a1+a3+a5+…+a2n-1是其中的奇数项前n项之和,a1+a3+a5+…+a2n-1=.
答案D
3.等比数列{an}共有奇数项,所有奇数项和S奇=255,所有偶数项和S偶=-126,末项是192,则首项a1=
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析设等比数列{an}共有2k+1(k∈N+)项,则a2k+1=192,则S奇=a1+a3+…+a2k-1+a2k+1=(a2+a4+…+a2k)+a2k+1=S偶+a2k+1=-+192=255,解得q=-2,而S奇==255,解得a1=3,故选C.
答案C
4.(2020湖南长郡中学高三三模)公元前5世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论.他提出让乌龟在阿基里斯前面1
000米处开始与阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后,若阿基里斯跑了1
000米,此时乌龟便领先他100米;当阿基里斯跑完下一个100米时,乌龟仍然领先他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时,乌龟仍然领先他1米……,所以阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律,若乌龟恰好领先阿基里斯10-2米时,乌龟爬行的总距离为
( )
A.米
B.米
C.米
D.米
解析由题意,乌龟每次爬行的距离组成等比数列{an},且a1=100,q=,an=10-2,∴Sn=(米).
故选D.
答案D
5.已知数列{an}满足:a1=1,an+1=(n∈N+).若bn+1=(n-2λ)·(n∈N+),b1=-λ,且{bn}是单调递增数列,则实数λ的取值范围是 .?
解析由an+1=,得+1,
则+1=2,
所以数列是等比数列,首项为2,公比为2,于是有+1=2n,所以bn=(n-1-2λ)·2n-1(n≥2).
由b2>b1得2(1-2λ)>-λ,解得λ<,当n≥2时,由bn+1>bn得(n-2λ)·2n>(n-1-2λ)·2n-1,解得λ<.综上,λ<.
答案λ<
6.(2020天津高三模拟)已知数列{an}是以1为首项,2为公差的等差数列,{bn}是以1为首项,2为公比的等比数列,设cn=,Tn=c1+c2+…+cn(n∈N+),则当Tn<2
020时,n的最大值为 .?
解析∵{an}是以1为首项,2为公差的等差数列,
∴an=2n-1.
∵{bn}是以1为首项,2为公比的等比数列,
∴bn=2n-1.
∴Tn=c1+c2+…+cn=+…+
=a1+a2+a4+…+
=(2×1-1)+(2×2-1)+(2×4-1)+…+(2×2n-1-1)=2(1+2+4+…+2n-1)-n
=2×-n
=2n+1-n-2.
∵Tn<2
020,∴2n+1-n-2<2
020,解得n≤9.
故当Tn<2
020时,n的最大值是9.
答案9
7.(2020重庆巴蜀中学高三月考)已知数列{an}满足a1=2,nan+1-(n+1)an=2n(n+1),设bn=.
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)若cn=-n,求数列{cn}的前n项和.
解(方法一)(1)因为bn=,且nan+1-(n+1)an=2n(n+1),所以bn+1-bn==2.
又因为b1=a1=2,
所以{bn}是以2为首项,以2为公差的等差数列.
所以bn=2+2(n-1)=2n.
(2)由(1)及题设,得cn=22n-n=4n-n,
所以数列{cn}的前n项和
Sn=(41-1)+(42-2)+…+(4n-n)
=(41+42+…+4n)-(1+2+…+n)
=.
(方法二)(1)因为bn=,所以an=nbn.
又因为nan+1-(n+1)an=2n(n+1),
所以n(n+1)bn+1-(n+1)nbn=2n(n+1),
即bn+1-bn=2.
又因为b1=a1=2,
所以{bn}是以2为首项,以2为公差的等差数列.
所以bn=2+2(n-1)=2n.
(2)略,同方法一.
8.设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为q.已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)当d>1时,记cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.
解(1)由题意,有
即解得
故
(2)由d>1,知an=2n-1,bn=2n-1,故cn=,
于是Tn=1++…+,
①
Tn=+…+.
②
①-②可得Tn=2++…+=3-,故Tn=6-.
素养培优练
(2020大连高二月考)若数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an+n,bn=log2(1-an).
(1)求证:数列{an-1}是等比数列;
(2)求数列的前n项和Tn;
(3)设cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Wn.
解(1)当n=1时,a1=S1=2a1+1,可得a1=-1;
当n≥2时,根据题意,得Sn-1=2an-1+(n-1),
所以Sn-Sn-1=(2an+n)-[2an-1+(n-1)]=2an-2an-1+1,即an=2an-1-1.
∴an-1=2(an-1-1),即=2(n≥2).
∴数列{an-1}是首项为-2,公比为2的等比数列.
(2)由(1)知,an-1=(-2)·2n-1=-2n,∴an=1-2n.
∴bn=log2(1-an)=log22n=n,
∴,
则Tn=1-++…+=1-.
(3)cn=n(1-2n)=n-n·2n,
令dn=n·2n,En=d1+d2+d3+…+dn-1+dn,
则En=1×21+2×22+3×23+…+(n-1)×2n-1+n×2n,
等式两边同时乘以2可得2En=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n+1,
两式相减可得-En=21+22+23+24+…+2n-n×2n+1.
化简可得En=(n-1)·2n+1+2.
令Fn=1+2+3+…n=,
则Wn=Fn-En=-(n-1)·2n+1-2.(共31张PPT)
5.3.2 等比数列的前n项和
激趣诱思
知识点拨
一个人知道一则消息,他第一次对2个人说了,结果全城人中就有3个人知道了;这2个人又每人把消息告诉了2个人,结果全城人中就有7个人知道了.假如这样传播9次,全城中该有多少人知道了?
激趣诱思
知识点拨
一、等比数列的前n项和公式
名师点析
对等比数列前n项和公式的说明
(1)在求等比数列{an}的前n项和公式时,应分q=1和q≠1两种情况,若题目中没有指明,切不可忘记对q=1这一情形的讨论.
(2)等比数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量,即a1,an,q,n,Sn,通常已知其中三个量可求另外两个量,这一方法简称为“知三求二”.
激趣诱思
知识点拨
微练习
在等比数列{an}中,若q=-2,S5=44,则a1的值为( )
A.4 B.-4
C.2
D.-2
答案:A
激趣诱思
知识点拨
二、等比数列前n项和的常用性质
设等比数列{an}的公比为q,首项为a1,前n项和为Sn,则等比数列的性质如下:
1.Sk≠0时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是等比数列.
激趣诱思
知识点拨
微练习
等比数列{an}的首项a1=-1,前n项和为Sn,若
,则公比q= .
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
等比数列前n项和公式的应用
例1在等比数列{an}中,
(1)已知a1=3,q=2,求a6,S6;
(2)已知a1=-1,a4=64,求q和S4;
思路分析在等比数列的前n项和公式中有五个基本量a1,an,q,n,Sn,只要已知任意三个,就可以求出其他两个.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
等比数列前n项和公式的应用策略
在等比数列{an}中,首项a1与公比q是两个最基本的元素,有关等比数列的问题,均可化成关于a1,q的方程或方程组求解.解题过程中,要注意:①选择适当的公式;②利用等比数列的有关性质;③注意在使用等比数列前n项和公式时,要考虑q是否等于1.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1在等比数列{an}中,公比为q,前n项和为Sn.
(3)a6-a4=24,a3·a5=64,求S8.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
等比数列前n项和性质的应用
例2(1)已知一个等比数列的首项为1,项数是偶数,其奇数项之和为85,偶数项之和为170,则这个数列的公比q= ,项数n= .?
(2)在等比数列{an}中,若前10项的和S10=10,前20项的和S20=30,则前30项的和S30= .?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解析:(1)(方法一)该等比数列的公比为q,项数为n,
∴2n-1=255,∴n=8,
故这个数列的公比为2,项数为8.
(方法二)该等比数列的公比为q,项数为n,
则奇数项和偶数项也分别成等比数列,公比均为q2.
∴q=2,n=8,∴这个数列的公比为2,项数为8.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案:(1)2 8 (2)70
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
若数列{an}是公比为q的等比数列,则其有以下性质:
(1)Sn+m=Sn+qnSm.
(3)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列(其中q≠-1).
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2等比数列{an}中,a2=
,a6=4,记{an}的前n项积为Tn,则T7=( )
A.1
B.1或-1
C.2
D.2或-2
答案:A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
特殊数列的求和
例3已知数列{an}的通项公式an=n·2n,求该数列的前n项和Sn.
思路分析写出数列的前n项和,注意其与等比数列形式类似,考虑用推导等比数列求和公式的方法来求其前n项和.
解:∵Sn=1×21+2×22+3×23+…+n·2n,
2Sn=1×22+2×23+…+(n-1)·2n+n·2n+1,
∴-Sn=2+22+23+…+2n-n·2n+1,
∴Sn=n·2n+1-(2+22+23+…+2n)
=n·2n+1-(2n+1-2)
=(n-1)·2n+1+2.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.分组求和法适用于某些特殊数列的求和,这些特殊数列的通项可写成几个等比数列或等差数列的和的形式.
2.错位相减法适用于求一个等差数列与一个等比数列的积组成的新数列的前n项和.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练3已知数列{an}的通项公式an=2n+n,求该数列的前n项和Sn.
解:Sn=a1+a2+a3+…+an
=(2+1)+(22+2)+(23+3)+…+(2n+n)
=(2+22+23+…+2n)+(1+2+3+…+n)
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
分类讨论思想在数列求和中的应用
典例求数列1,3a,5a2,7a3,…,(2n-1)an-1的前n项的和.
解:当a=1时,数列变为1,3,5,7,…,(2n-1),
当a≠1时,有
Sn=1+3a+5a2+7a3+…+(2n-1)an-1,①
aSn=a+3a2+5a3+7a4+…+(2n-1)an,②
①-②,得Sn-aSn=1+2a+2a2+2a3+…+2an-1-(2n-1)an,
(1-a)Sn=1-(2n-1)an+2(a+a2+a3+…+an-1)
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛
解答本题时应对参数a进行分类讨论求解.在应用错位相减时,写出的“Sn”与“qSn”的表达式应特别注意将两式“同项对齐”,以便于下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.(2020河北石家庄二中高三月考)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,S4=3(a1+a2),则公比q的值为( )
答案:D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案:C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.(2020黑龙江牡丹江一中高三月考)记数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an-1,则S2
020=( )
A.22
019-1
B.22
020-1
解析:依题意,Sn=2an-1,
当n=1时,a1=2a1-1,解得a1=1;
当n≥2时,由Sn=2an-1得Sn-1=2an-1-1,
两式相减并化简得an=2an-1.
故数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列,所以an=2n-1.
故选B.
答案:B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4.(2019甘南藏族自治州合作第一中学高二期中)设等比数列{an}的前n项和记为Sn,若S10∶S5=1∶2,则S15∶S5=( )
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解析:∵数列{an}为等比数列,且其前n项和记为Sn,
∴S5,S10-S5,S15-S10成等比数列.
答案:A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
5.数列{(2n-1)·4n-1}的前n项和为 .?
解析:设前n项和为Tn,则Tn=1+3×41+5×42+…+(2n-1)·4n-1,①
4Tn=1×4+3×42+…+(2n-3)·4n-1+(2n-1)·4n.②
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
6.已知{an}为等差数列,且a3=-6,a6=0.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若等比数列{bn}满足b1=-8,b2=a1+a2+a3,求{bn}的前n项和公式.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)设等差数列{an}的公差为d.
解得a1=-10,d=2.
所以an=-10+(n-1)×2=2n-12.
(2)设等比数列{bn}的公比为q.
因为b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8,
所以-8q=-24,q=3.
