第五章数列
5.5 数学归纳法
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(2020巴楚第一中学高二期中)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n-3)条时,第一步验证n等于( )
A.1
B.2
C.3
D.0
解析因为多边形的边数最少是3,即三角形,所以在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n-3)条时,第一步验证n等于3,故选C.
答案C
2.设Sk=+…+,则Sk+1为( )
A.Sk+
B.Sk+
C.Sk+
D.Sk+
解析因式子右边各分数的分母是连续正整数,则由
Sk=+…+,
①
得Sk+1=+…+.
②
由②-①,得Sk+1-Sk=
=.
故Sk+1=Sk+.
答案C
3.(2020宁波高二月考)用数学归纳法证明+…+时,从n=k到n=k+1,不等式左边需添加的项是( )
A.
B.
C.
D.
解析当n=k时,左边为+…+,
当n=k+1时,左边为+…+,
所以左边需添加的项是,选B.
答案B
4.用数学归纳法证明“2n+1≥n2+n+2(n∈N+)”时,第一步的验证为 .?
答案当n=1时,左边=4,右边=4,左≥右,不等式成立
5.用数学归纳法证明(1+1)(2+2)(3+3)…(n+n)=2n-1·(n2+n)时,从n=k到n=k+1左边需要添加的因式是 .?
解析当n=k时,左端为(1+1)(2+2)…(k+k),
当n=k+1时,左端为(1+1)(2+2)…(k+k)(k+1+k+1),
由k到k+1需添加的因式为2k+2.
答案2k+2
6.(2020陕西西安一中高二期中)用数学归纳法证明:1+5+9+13+…+(4n-3)=2n2-n(n∈N+).
证明(1)当n=1时,左边=1,右边=1,命题成立.
(2)假设n=k(k≥1,k∈N+)时,命题成立,即1+5+9+13+…+(4k-3)=2k2-k.
则当n=k+1时,1+5+9+13+…+(4k-3)+(4k+1)=2k2-k+(4k+1)
=2k2+3k+1=2(k+1)2-(k+1).
所以当n=k+1时,命题成立.
综合(1)(2)可知,原命题成立.
7.(2020江西南昌二中高二期末)数列{an}的前n项和为Sn,且满足an=Sn+-2(n∈N+).
(1)求S1,S2,S3,S4的值;
(2)猜想数列{Sn}的通项公式,并用数学归纳法证明你的结论.
解(1)当n=1时,∵a1=S1=S1+-2,∴S1=.
又a2=S2-S1=S2+-2,
∴S2=,
同理S3=,S4=.
(2)猜想Sn=(n∈N+).
下面用数学归纳法证明这个结论.
①当n=1时,结论成立.
②假设n=k(k∈N+,k≥1)时结论成立,即Sk=,
当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=Sk+1+-2,
∴=2-Sk.
∴Sk+1=,
即当n=k+1时结论成立.
由①②,知Sn=对任意的正整数n都成立.
能力提升练
1.利用数学归纳法证明+…+<1(n∈N+,且n≥2)时,第二步由k到k+1时不等式左端的变化是( )
A.增加了这一项
B.增加了两项
C.增加了两项,同时减少了这一项
D.以上都不对
解析不等式左端共有n+1项,且分母是首项为n,公差为1,末项为2n的等差数列,当n=k时,左端为+…+;当n=k+1时,左端为+…+,对比两式,可得结论.
答案C
2.已知关于自然数n的命题P(n),由P(k)成立可以推出P(k+1)成立,若P(6)不成立,则下面结论正确的是
( )
A.P(7)一定不成立
B.P(5)可能成立
C.P(2)一定不成立
D.P(4)不一定成立
解析∵P(n)对n=6不成立,无法判断当n>6时,P(n)是否成立,故A错误;假设P(n)对n=5成立,则根据推理关系,得P(n)对n=6成立,与条件P(n)对n=6不成立矛盾,∴假设不成立,故B错误;同理可得,当n<6时,P(n)一定不成立,故D错误,C正确.故选C.
答案C
3.(2020浙江诸暨中学高二月考)已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N+,都能使m整除f(n),则最大的m的值为( )
A.30
B.9
C.36
D.6
解析由f(n)=(2n+7)·3n+9,得f(1)=36,f(2)=3×36,f(3)=10×36,f(4)=34×36,
由此猜想m=36.
下面用数学归纳法证明:
(1)当n=1时,显然成立.
(2)假设n=k时,f(k)能被36整除,即
f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除;
当n=k+1时,[2(k+1)+7]·3k+1+9=3[(2k+7)·3k+9]-18+2×3k+1=3[(2k+7)·3k+9]+18(3k-1-1).
∵3k-1-1是2的倍数,
∴18(3k-1-1)能被36整除,
∴当n=k+1时,f(n)也能被36整除.
由(1)(2)可知对一切正整数n都有f(n)=(2n+7)·3n+9能被36整除,
m的最大值为36.
答案C
4.数列{an}中,已知a1=2,an+1=(n∈N+),依次计算出a2,a3,a4后,归纳、猜想得出an的表达式为 .?
解析a1=2,a2=,a3=,a4=,猜测an=.
答案an=
5.(2020北京人大附中高二期中)已知f(n)=1++…+(n∈N+),用数学归纳法证明f(2n)>,请补全证明过程:
(1)当n=1时,f(21)=1+.
(2)假设n=k时命题成立,即f(2k)>,则当n=k+1时,f(2k+1)=f(2k)+ >,即当n=k+1时,命题成立.?
综上所述,对任意n∈N+,都有f(2n)>成立.
解析因为f(n)=1++…+(n∈N+),
所以f(2n)=1++…++…+.
所以当n=k时,f(2k)=1++…++…+,
当n=k+1时,f(2k+1)=1++…++…++…+=f(2k)++…+,
故答案为:+…+.
答案+…+
6.是否存在a,b,c,使等式2+2+2+…+2=对一切n∈N+都成立?若不存在,说明理由;若存在,用数学归纳法证明你的结论.
解取n=1,2,3可得
解得a=,b=,c=.
下面用数学归纳法证明2+2+2+…+2=.
即证12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1),
①当n=1时,左边=1,右边=1,∴等式成立;
②假设当n=k时等式成立,即12+22+…+k2=k(k+1)(2k+1)成立,
则当n=k+1时,
等式左边=12+22+…+k2+(k+1)2
=k(k+1)(2k+1)+(k+1)2
=[k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2]
=(k+1)(2k2+7k+6)
=(k+1)(k+2)(2k+3),
∴当n=k+1时等式成立.
由数学归纳法,综合①②,知当n∈N+时等式成立,
故存在a=,b=,c=使已知等式成立.
素养培优练
1.(多选)(2020江苏江阴高级中学高二期中)用数学归纳法证明对任意n≥k(n,k∈N)的自然数都成立,则以下满足条件的k的值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析取n=1,则不成立;
取n=2,则不成立;
取n=3,则成立;
取n=4,则成立;
下面证明:当n≥3时,成立.
当n=3,则成立;
设当n=k(k≥3)时,有成立,
则当n=k+1时,有,
令t=,则=3-,
因为t>,
故>3-,
因为>0,
所以,
所以当n=k+1时,不等式也成立,
由数学归纳法可知,对任意的n≥3都成立.
故选CD.
答案CD
2.(2019江苏高二期中)已知m,n为正整数,
(1)证明:当x>-1时,(1+x)m≥1+mx;
(2)对于n≥6,已知1-n<,求证:1-n(3)求出满足等式3n+4n+…+(n+2)n=(n+3)n的所有正整数n.
(1)证明当x=0时,1≥1,即(1+x)m≥1+mx成立;
当x≠0时,用数学归纳法证明.
①当m=1时,原不等式成立;
当m=2时,左边=1+2x+x2,右边=1+2x,
因为x2≥0,所以左边≥右边,原不等式成立.
②假设当m=k时,不等式成立,即(1+x)k≥1+kx,则当m=k+1时,∵x>-1,∴1+x>0,于是在不等式(1+x)k≥1+kx两边同乘以1+x,得(1+x)k·(1+x)≥(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2≥1+(k+1)x,
所以(1+x)k+1≥1+(k+1)x,即当m=k+1时,不等式也成立.
综合①②知,对一切正整数m不等式都成立.
(2)证明当n≥6,m≤n时,由(1),得1-m≥1->0,
于是1-n≤1-nm=1-nm(3)解由(2)知,当n≥6时,1-n+1-n+…+1-n<+2+…+n=1-<1,
∴n+n+…+n<1,
即3n+4n+…+(n+2)n<(n+3)n,即当n≥6时,不存在满足等式3n+4n+…+(n+2)n=(n+3)n的正整数n.
故只需要讨论n=1,2,3,4,5的情形:
当n=1时,3≠4,等式不成立;
当n=2时,32+42=52,等式成立;
当n=3时,33+43+53=63,等式成立;
当n=4时,34+44+54+64为偶数,而74为奇数,
故34+44+54+64≠74,等式不成立;
当n=5时,同n=4的情形可分析出,等式不成立.
综上,所求的n只有n=2,3.(共32张PPT)
5.5 数学归纳法
激趣诱思
知识点拨
往一匹健壮的马身上放一根稻草,马毫无反应;再添加一根稻草,马还是丝毫没有感觉……一直往马身上添加稻草,当最后一根轻飘飘的稻草放到了马身上后,马竟不堪重负瘫倒在地.这在社会学里,取名为“稻草原理”.这也是多米诺骨牌效应的一个体现,这其中更蕴含着一种递推的数学思想,下面我们来学习一下这种数学思想.
激趣诱思
知识点拨
数学归纳法的定义
一个与自然数有关的命题,如果
(1)当n=n0时,命题成立;
(2)在假设n=k(其中k≥n0)时命题成立的前提下,能够推出n=k+1时命题也成立.
那么,这个命题对大于等于n0的所有自然数都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.
激趣诱思
知识点拨
名师点析
用数学归纳法论证问题的步骤
(1)验证当n=n0(n0∈N+)时,命题p(n0)成立;
(2)假设n=k(k∈N+,k≥n0)时,命题p(k)成立,并由此假设出发,推出命题p(k+1)也成立.
由(1)(2)断定命题对于从n0开始的一切正整数n都成立.
激趣诱思
知识点拨
微思考
数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1?
提示:不一定.如证明n边形的内角和为(n-2)×180°,第一个值n0=3.
激趣诱思
知识点拨
微练习
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
用数学归纳法证明等式
例1用数学归纳法证明:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
即当n=k+1时等式也成立.
由①②可得对于任意的n∈N+等式都成立.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
用数学归纳法证明恒等式时,应关注以下三点:
(1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况.
(2)弄清从n=k到n=k+1等式两端增加了哪些项,减少了哪些项.
(3)证明n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
所以n=k+1时,等式也成立.
综上所述,对于任何n∈N+,等式都成立.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
用数学归纳法证明不等式
思路分析按照数学归纳法的步骤证明,由n=k到n=k+1的推证过程可应用放缩技巧,使问题简单化.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
即当n=k+1时,命题成立.
由(1)和(2)可知,命题对所有的n∈N+都成立.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
用数学归纳法证明不等式应注意的问题
(1)先凑假设,作等价变换.
(2)瞄准当n=k+1时的递推目标,有目的地放缩、分析直到凑出结论.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
归纳—猜想—证明
可以看出,上面表示四个结果的分数中,分子与项数n一致,分母可用项数n表示为3n+1.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.“归纳—猜想—证明”的一般环节
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.“归纳—猜想—证明”的主要题型
(1)已知数列的递推公式,求通项或前n项和.
(2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题,求使命题成立的参数值是否存在.
(3)给出一些简单的命题(n=1,2,3,…),猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2数列{an}满足Sn=2n-an(Sn为数列{an}的前n项和),先计算数列的前4项,再猜想an,并证明.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
下面证明猜想:
(1)当n=1时,由上面的计算可知猜想成立.
(2)假设当n=k时猜想成立,
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
数学归纳法在比较大小中的应用
解:(1)当n=1,2时,Pn=Qn.
(2)当n≥3时(以下再对x进行分类),
①若x∈(0,+∞),显然有Pn>Qn;
②若x=0,则Pn=Qn;
③若x∈(-1,0),则P3-Q3=x3<0,
所以P3P4-Q4=4x3+x4=x3(4+x)<0,所以P4探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
即当n=k+1时,不等式成立.
所以当n≥3,且x∈(-1,0)时,Pn探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛
1.利用数学归纳法比较大小,关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系,猜测出证明的方向,再用数学归纳法证明结论成立.
2.本题除n的不同取值会影响Pn与Qn之间的大小变化外,变量x也影响Pn与Qn的大小关系,这就要求我们在探索大小关系时,不能只顾“n”,而忽视其他变量(参数)的作用.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=
(a≠1,n∈N+),在验证n=1成立时,左边计算所得的项是( )
A.1
B.1+a
C.1+a+a2
D.1+a+a2+a3
解析:当n=1时,左边=1+a+a1+1=1+a+a2,故C正确.
答案:C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.(2020福建永春高二月考)用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,第二步归纳假设应该写成( )
A.假设当n=k(k∈N+)时,xk+yk能被x+y整除
B.假设当n=2k(k∈N+)时,xk+yk能被x+y整除
C.假设当n=2k+1(k∈N+)时,xk+yk能被x+y整除
D.假设当n=2k-1(k∈N+)时,x2k-1+y2k-1能被x+y整除
解析:根据数学归纳法的证明步骤,注意n为奇数,所以第二步归纳假设应写成“假设n=2k-1(k∈N+)正确”,再推n=2k+1正确.故选D.
答案:D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4.(2020湖北省高二月考)用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·2…(2n-1)(n∈N+)”时,从“n=k到n=k+1”时,左边应添加的式子是( )
解析:当n=k时,左边=(k+1)(k+2)…(k+k).当n=k+1时,左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2).所以当n=k+1时,左边增加的式
答案:C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
∴当n=k+1时,等式也成立.
根据(1)和(2)知,对任意n≥2,n∈N+,等式都成立.
