第六章导数及其应用
6.1 导数
6.1.1 函数的平均变化率
6.1.2 导数及其几何意义
课后篇巩固提升
基础达标练
1.函数f(x)=x2-1在区间[1,m]上的平均变化率为3,则实数m的值为( )
A.3
B.2
C.1
D.4
解析由已知,得=3,
∴m+1=3,∴m=2.
答案B
2.若函数f(x)=x+,则f'(1)=( )
A.2
B.
C.1
D.0
解析f'(1)=1-=0.
答案D
3.已知点P(-1,1)为曲线上的一点,PQ为曲线的割线,当Δx→0时,若kPQ的极限为-2,则在点P处的切线方程为( )
A.y=-2x+1
B.y=-2x-1
C.y=-2x+3
D.y=-2x-2
解析由题意可知,曲线在点P处的切线方程为y-1=-2(x+1),即2x+y+1=0.
答案B
4.已知函数f(x)=x2,则在曲线y=f(x)上切线倾斜角为的点是( )
A.(0,0)
B.(2,4)
C.
D.
解析设切点为(x0,y0),
∵f'(x0)=(2x0+Δx)=2x0,∴2x0=tan=1,得x0=.
∴y0=,所求点的坐标为.
答案D
5.(2020北京八一中学高二月考)已知直线l经过(-1,0),(0,1)两点,且与曲线y=f(x)切于点A(2,3),则的值为( )
A.-2
B.-1
C.1
D.2
解析∵直线l经过(-1,0),(0,1)两点,∴l:y=x+1.
直线与曲线y=f(x)切于点A(2,3),
可得曲线在x=2处的导数为f'(2)=1,
所以f'(2)==1.
答案C
6.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如图所示.在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为,其三者的大小关系是 .?
解析∵=kMA,
=kAB,=kBC,
由图像可知,kMA答案
7.已知函数f(x)=x2-2x+3,则曲线y=f(x)在点A(-1,6)处的切线方程是 .?
解析因为f(x)=x2-2x+3,切点为点A(-1,6),所以斜率k=f'(-1)=
=(Δx-4)=-4,
所以切线方程为y-6=-4(x+1),即4x+y-2=0.
答案4x+y-2=0
8.已知函数f'(x)=x2+2x,曲线y=f(x)在点P处的切线垂直于直线x+2y=0,则点P的坐标是 .?
解析设P(x0,y0),
则f'(x0)=(2x0+2+Δx)=2x0+2.
因为点P处的切线垂直于直线x+2y=0,
所以点P处的切线的斜率为2,
所以2x0+2=2,解得x0=0,即点P的坐标是(0,0).
答案(0,0)
9.(2020山东潍坊高三检测)若函数f(x)=ax2+c,且f'(1)=2,求a的值.
解∵f(1+Δx)-f(1)=a(1+Δx)2+c-a-c=a(Δx)2+2aΔx,∴f'(1)=(aΔx+2a)=2a,
即2a=2,∴a=1.
10.已知函数f(x)=x2,曲线y=f(x),
(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程;
(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程.
解(1)设切点为(x0,y0),
∵f'(x0)=
==2x0,
∴f'(1)=2.
∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),
即y=2x-1.
(2)点P(3,5)不在曲线y=f(x)上,设切点为A(x0,y0),
由(1)知,f'(x0)=2x0,
∴切线方程为y-y0=2x0(x-x0),
由P(3,5)在所求直线上,得5-y0=2x0(3-x0),
①
再由A(x0,y0)在曲线y=x2上得y0=,
②
联立①②得x0=1或x0=5.
从而切点为(1,1)时,
切线的斜率为k1=2x0=2,
此时切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1,
当切点为(5,25)时,切线的斜率为k2=2x0=10,
此时切线方程为y-25=10(x-5),即y=10x-25.
综上所述,过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程为y=2x-1或y=10x-25.
能力提升练
1.A,B两机关开展节能活动,活动开始后两机关的用电量W1(t),W2(t)与时间t(天)的关系如图所示,则一定有
( )
A.两机关节能效果一样好
B.A机关比B机关节能效果好
C.A机关的用电量在[0,t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0,t0]上的平均变化率大
D.A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大
解析由图可知,A,B两机关用电量在[0,t0]上的平均变化率都小于0,由平均变化率的几何意义知,A机关用电量在[0,t0]上的平均变化率小于B机关的平均变化率,从而A机关比B机关节能效果好.
答案B
2.设函数f(x)可导,则等于( )
A.f'(1)
B.3f'(1)
C.f'(1)
D.f'(3)
解析
=f'(1).
答案C
3.(2020江西南昌东湖区高三检测)设f(x)为可导函数,且满足=-1,则过曲线y=f(x)上点(1,f(1))处的切线斜率为( )
A.2
B.-1
C.1
D.-2
解析∵
==-1,
∴=-2,
即f'(1)=-2.
由导数的几何意义知,曲线在点(1,f(1))处的切线斜率k=f'(1)=-2,故选D.
答案D
4.(多选)已知函数f(x)=x3,曲线y=f(x)在点P处的切线的斜率k=3,则点P的坐标是( )
A.(1,1)
B.(-1,-1)
C.(-1,1)
D.(1,-1)
解析设点P的坐标为(x0,y0),因为y=x3,
所以f'(x0)=[3+3x0·Δx+(Δx)2]=3.
由题意,知切线斜率k=3,令3=3,得x0=1或x0=-1.
当x0=1时,y0=1;
当x0=-1时,y0=-1.
故点P的坐标是(1,1)或(-1,-1).
答案AB
5.若一物体运动方程如下:(位移:m,时间:s)
s(t)=
求:(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度;
(2)物体的初速度v0;
(3)物体在t=1时的瞬时速度.
解(1)因为物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt=5-3=2,
物体在t∈[3,5]内的位移变化量为Δs=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48,所以物体在t∈[3,5]上的平均速度为=24(m/s).
(2)求物体的初速度v0即求物体在t=0时的瞬时速度.
因为物体在t=0附近的平均变化率为=3Δt-18.所以物体在t=0处的瞬时变化率为(3Δt-18)=-18.
即物体的初速度为-18
m/s.
(3)物体在t=1时的瞬时速度即为函数在t=1处的瞬时变化率.
因为物体在t=1附近的平均变化率为=3Δt-12.所以物体在t=1处的瞬时变化率为(3Δt-12)=-12.
即物体在t=1时的速度为-12
m/s.
6.(2020山西临汾高三检测)已知函数f(x)=x3,若曲线y=f(x)在点(a,a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x=a所围成的三角形的面积为,求a的值.
解∵f'(a)==3a2,
∴曲线在(a,a3)处的切线方程为y-a3=3a2(x-a),切线与x轴的交点为.∴三角形的面积为·|a3|=,得a=±1.
素养培优练
(2020广东佛山高三检测)已知函数f(x)=,曲线y=f(x).
(1)求曲线过点A(1,0)的切线方程;
(2)求满足斜率为-的曲线的切线方程.
解(1)设过点A(1,0)的切线的切点为P,
则f'(x0)==-,即该切线的斜率为k=-.
因为点A(1,0),P在切线上,
所以=-,
解得x0=.故切线的斜率k=-4.
故曲线过点A(1,0)的切线方程为y=-4(x-1),
即4x+y-4=0.
(2)设斜率为-的切线的切点为Q,
由(1)知,k=f'(a)=-=-,得a=±.
所以切点坐标为或-,-.
故满足斜率为-的曲线的切线方程为y-=-(x-)或y+=-(x+),
即x+3y-2=0或x+3y+2=0.(共38张PPT)
6.1.1 函数的平均变化率
6.1.2 导数及其几何意义
激趣诱思
知识点拨
动车组高速、稳定、安全,给我们的出行带来了方便.动车组驶出市区之后,速度越来越快,车厢前方的电子屏幕上不断刷新着最新的即时速度纪录——160、178、203、230(km/h).列车风驰电掣地“飞行”,这样的速度超过12级飓风的风速.你能计算出这辆列车在整个旅途上的平均速度吗?
激趣诱思
知识点拨
一、
函数的平均变化率
一般地,若函数y=f(x)的定义域为D,且x1,x2∈D,x1≠x2,y1=f(x1),y2=f(x2),则称Δx=x2-x1为自变量的改变量;称Δy=y2-y1(或Δf=f(x2)-f(x1))为相应的因变量的改变量;称
为函数y=f(x)在以x1,x2为端点的闭区间上的平均变化率.
激趣诱思
知识点拨
名师点析
函数平均变化率的几何意义:
如图所示,函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率,就是直线AB的斜率,其中A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)).事实上,
激趣诱思
知识点拨
微思考
在平均变化率中,Δx,Δy,
是否可以等于0?当平均变化率等于0时,是否说明函数在该区间上一定为常数?
提示:Δx可以为正数,也可以为负数,但Δx不可以为0,Δy可以为0;
可以为0.当平均变化率
等于0时,并不说明函数在该区间上一定为常数.例如函数f(x)=x2在区间[-2,2]的平均变化率是0,但它不是常数函数.
激趣诱思
知识点拨
微练习
已知函数f(x)=x2+1,则在[2,2.1]上函数值的改变量为( )
A.0.40 B.0.41
C.0.43
D.0.44
答案:B
激趣诱思
知识点拨
二、平均速度与平均变化率
从物理学中我们知道,平均速度可以描述物体在一段时间内运动的快慢,如果物体运动的位移x
m与时间t
s的关系为x=h(t),则物体在[t1,t2](t1(m/s).这就是说,物体在某段时间内的平均速度等于x=h(t)在该段时间内的平均变化率.
激趣诱思
知识点拨
微练习
若质点运动规律为s=t2+3,则在时间段[3,3+Δt]内的平均速度等于( )
A.6+Δt
C.3+Δt
D.9+Δt
解析:Δs=(3+Δt)2+3-32-3=(Δt)2+6Δt,
答案:A
激趣诱思
知识点拨
三、瞬时变化率与导数
激趣诱思
知识点拨
名师点析
导数定义式的几种常见的变式:
激趣诱思
知识点拨
微练习1
已知函数f(x)在x=x0处可导,则当h→0时,
趋近值( )
A.与h,x0都有关
B.仅与x0有关,而与h无关
C.仅与h有关,而与x0无关
D.与x0,h均无关
解析:由导数的定义,对给定的可导函数f(x)有
=f'(x0).显然,f'(x0)仅与x0有关,而与h无关.故选B.
答案:B
激趣诱思
知识点拨
微练习2
已知函数f(x)=x2,则f(x)在x0处的导数等于 .
答案:2x0
激趣诱思
知识点拨
四、导数的几何意义
函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,f'(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处(也称在x=x0处)的切线的斜率,从而根据直线的点斜式方程可知,切线的方程是y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
激趣诱思
知识点拨
微练习
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
求函数的平均变化率
例1(1)求函数f(x)=
在区间[-1,0],[1,3],[x0,x0+1]上的平均变化率;
(2)若某一物体的运动方程为s=-2t2,那么该物体在t=2到t=3时的平均速度为 .?
思路分析(1)按照平均变化率的定义分三步求解;(2)实质就是求函数s(t)在区间[2,3]上的平均变化率.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
答案:-10
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
求函数平均变化率的解题策略
(1)求函数y=f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率的解题步骤:
①求函数值的增量:Δf=f(x2)-f(x1);
②求自变量的增量:Δx=x2-x1;
(2)运动物体在t0到t1这段时间内运动的平均速度就是物体运动的位移函数s(t)在区间[t0,t1]上的平均变化率,因此求平均速度的实质也是求函数的平均变化率.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练1已知函数f(x)=3x2+5,求f(x):
(1)在区间[0.1,0.2]上的平均变化率;
(2)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
求函数在某一点处的导数
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
求函数y=f(x)在点x0处的导数的三个步骤
简称:一差、二比、三极限.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练2求函数f(x)=3x2在x=1处的导数.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
例3已知函数f(x)=x2.过曲线y=f(x)上某点P的切线满足下列条件,分别求出P点.
(1)平行于直线y=4x-5;
(2)垂直于直线2x-6y+5=0;
(3)与x轴成135°的倾斜角.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
切点坐标的求法
根据切线斜率求切点坐标的步骤:
①设切点坐标(x0,y0);
②求切线的斜率f'(x0);
③由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0;
④x0代入f(x)求y0得切点坐标.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练3已知函数f(x)=2x2-7,若曲线y=f(x)在点P处的切线方程为8x-y-15=0,求切点P的坐标.
由题意可知4x0=8,∴x0=2.
代入y=2x2-7得y0=1.
故所求切点P为(2,1).
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
求曲线的切线方程
例4已知函数f(x)=x3,曲线C:y=f(x).
(1)求曲线C在横坐标为x=1的点处的切线方程;
(2)求曲线C过点(1,1)的切线方程.
思路分析(1)求f'(1)→求切点→点斜式方程求切线
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
延伸探究第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点?
从而求得公共点为P(1,1)或M(-2,-8),即切线与曲线C的公共点除了切点外,还有另一公共点(-2,-8).
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
过不在曲线y=f(x)上一点M(x1,y1)的切线方程的求法
典例已知函数f(x)=
,求过点(2,0)且与曲线y=f(x)相切的直线方程.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
方法点睛
解决过点M(x1,y1)与曲线y=f(x)相切的切线方程问题的常用方法
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
1.(2020湖北宜昌示范高中月考)如图所示,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率等于( )
A.1
B.-1
C.2
D.-2
答案:B
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
2.已知f(x)=x3,则f'(0)=( )
A.-1
B.1
C.
D.0
答案:D
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
3.已知函数f(x)=-
,则曲线y=f(x)在(1,-1)处的切线方程是( )
A.x-y-2=0
B.2x-2y+3=0
C.x+y=0
D.x-y=0
所以切线的斜率k=1.由点斜式可得y+1=x-1,即x-y-2=0,此即为切线方程.
答案:A
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
4.(2020陕西渭南高二检测)已知函数f(x)在x=x0处的导数为2,则
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
5.一木块沿某一斜面自由下滑,测得下滑的水平距离s(m)与时间t(s)之间的函数关系为s=
t2,则t=2
s时,此木块在水平方向的瞬时速度为 m/s.?
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
6.已知函数f(x)=x2+
,试求曲线y=f(x)与x轴平行的切线方程.
