(共35张PPT)
6.1.3 基本初等函数的导数
6.1.4 求导法则及其应用
激趣诱思
知识点拨
交通规则是人们出行的安全保障,只有在一定的交通规则的指引下,人们才能正常地工作,在没有交通规则的路上行走是不可想象的.下面就是一组交通指示标志图,它们代表了一些交通的规则.导数的运算是否也满足一定的法则呢?
激趣诱思
知识点拨
一、基本初等函数的求导公式
C'=0,(xα)'=αxα-1,(ax)'=axln
a,(logax)'=
,(sin
x)'=cos
x,
(cos
x)'=-sin
x.
名师点析
特殊函数的导数:
(1)(ex)'=ex.
激趣诱思
知识点拨
微练习1
答案:C
激趣诱思
知识点拨
微练习2
已知f(x)=x2,则f'(3)=( )
A.0
B.2x
C.6
D.9
解析:f'(x)=2x,∴f'(3)=6.
答案:C
激趣诱思
知识点拨
二、求导法则
1.函数和(或差)的求导法则:
设f(x),g(x)是可导的,则[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x).即两个函数之和(或差)的导数,等于这两个函数的导数之和(或差).
2.函数积的求导法则
设f(x),g(x)是可导的,则[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).即两个函数之积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数.
由上述法则立即可以得出[Cf(x)]'=Cf'(x).即常数与函数之积的导数,等于常数乘以函数的导数.
激趣诱思
知识点拨
3.函数的商的求导法则
设f(x),g(x)是可导的,且g(x)≠0,g'(x)≠0,则
激趣诱思
知识点拨
名师点析
正确理解函数的求导法则应注意以下几点:
(1)两个函数和(差)的求导法则可以推广到若干个函数和(差)的情形:即[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]'=f'1(x)±f'2(x)±…±f'n(x).
(2)准确记忆公式形式,应注意:
激趣诱思
知识点拨
微练习1
函数y=sin
2x的导数为( )
A.y'=cos
2x
B.y'=2cos
2x
C.y'=2(sin2x-cos2x)
D.y'=-sin
2x
解析:∵sin
2x=2sin
xcos
x,y'=2[cos2x+sin
x(-sin
x)]=2cos
2x.
答案:B
激趣诱思
知识点拨
微练习2
求曲线f(x)=xlog2x-x+1在点(2,1)处的切线方程.
激趣诱思
知识点拨
三、简单复合函数的求导法则
一般地,如果函数y=f(u)与u=g(x)的复合函数为y=h(x)=f(g(x)),则可以证明,复合函数的导数h'(x)与f'(u),g'(x)之间的关系为h'(x)=[f(g(x))]'=f'(u)g'(x)=f'(g(x))g'(x).这一结论也可以表示为y'x=y'uu'x.
名师点析
复合函数求导的主要步骤是:
(1)分解复合函数为基本初等函数,适当选取中间变量.
(2)求每一层基本初等函数的导数.
(3)每层函数求导后,需把中间变量转化为自变量的函数.
激趣诱思
知识点拨
微练习
答案:B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
利用导数公式求函数的导数
例1求下列函数的导数.
思路分析若不能直接运用导数公式求导,可先对函数解析式化简再用公式求导.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
简单函数求导的解题策略
(1)若所求函数符合导数公式,则直接利用公式求解.
(2)对于不能直接利用公式的类型,一般遵循“先化简,再求导”的基本原则,避免不必要的运算失误.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
其中正确的有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案:C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
利用导数的运算法则求导数
例2求下列函数的导数.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
运用导数求导法则求导的解题策略
(1)对于函数求导问题,一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.在实施化简时,必须注意变换的等价性,避免不必要的运算错误.
(2)若要求导的函数解析式与三角函数有关,往往需要先运用相关的三角公式对解析式进行化简与整理,然后套用公式求导.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究把(4)的函数换成“y=xtan
x”,求其导数.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
复合函数的求导
例3求下列函数的导数:
(1)y=(3x-1)2; (2)y=ln(5x+2);
思路分析抓住构成复合函数的基本初等函数是求复合函数导数的关键,解题时可先把复合函数分拆成基本初等函数,再运用复合函数求导法则.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)设y=u2,u=3x-1.
则y'=y'u·u'x=2u·3=6(3x-1)=18x-6.
(2)设y=ln
u,u=5x+2,
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.复合函数的求导法则如下:
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx'=yu'·ux'(其中yx'表示y对x的导数).即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
2.复合函数的求导应注意以下几点:
(1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的,适当选定中间变量.
(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量进行求导,而其中要特别注意的是中间变量的导数.
(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则,求出各函数的导数,并把中间变量转换成自变量的函数.
(4)复合函数的求导过程熟练后,中间步骤可以省略不写.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2求下列函数的导数:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
导数运算法则的综合应用
典例(1)已知函数f(x)=ln(2x-1),曲线y=f(x)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是( )
(2)已知函数f(x)=eax,设曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a= .?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(2)曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线的斜率为f'(0),又切线与直线x+2y+1=0垂直,所以f'(0)=2.
因为f(x)=eax,所以f'(x)=(eax)'=eax·(ax)'=aeax,所以f'(0)=ae0=a,故a=2.
答案:(1)A (2)2
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛
本题中,正确地求出复合函数的导数是前提,审题时注意所给点是不是切点,挖掘题目隐含条件,求出参数,解决已知经过一定点的切线问题,寻求切点是解决问题的关键.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究1本例(1)的条件变为“曲线y=f(x)上的点到直线2x-y+m=0的最小距离为2
”,其他条件不变,求m的值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究2求(2)中曲线的切线与坐标轴围成的面积.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.下列各式中正确的是( )
答案:D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.(2020浙江杭州师范大学附属中学高三月考)函数f(x)=ln
x(x>0)的图像与直线y=
x+a相切,则a等于( )
A.ln
2-1
B.ln
2+1
C.ln
2
D.2ln
2
答案:A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.(2020河南郑州高二月考)已知函数f(x)=4x-x3,则曲线y=f(x)在点(1,3)处的切线的倾斜角是 .?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案:1
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
5.已知抛物线f(x)=ax2+bx-5(a≠0)在点(2,1)处的切线方程为y=-3x+7,求a,b的值.第六章导数及其应用
6.1 导数
6.1.3 基本初等函数的导数
6.1.4 求导法则及其应用
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(2020辽宁庄河高中高三月考)若f(x)=cos
x,则f'=( )
A.-1
B.1
C.0
D.
解析f(x)=cos
x,f'(x)=-sin
x,
∴f'=-1.故选A.
答案A
2.(多选)下列求导运算不正确的是( )
A.'=1+
B.(log2x)'=
C.(3x)'=3elog3e
D.(x2cos
x)'=-2xsin
x
解析∵'=1-,故A错;
∵(log2x)'=,故B正确;
∵(3x)'=3xln
3,故C错;
∵(x2cos
x)'=2xcos
x-x2sin
x,故D错.
答案ACD
3.(2020全国Ⅰ,理6)函数f(x)=x4-2x3的图像在点(1,f(1))处的切线方程为( )
A.y=-2x-1
B.y=-2x+1
C.y=2x-3
D.y=2x+1
解析对函数f(x)求导可得f'(x)=4x3-6x2,由导数的几何意义知在点(1,f(1))处的切线的斜率为k=f'(1)=-2.又因为f(1)=-1,所以切线方程为y-(-1)=-2(x-1),化简得y=-2x+1.
答案B
4.(2020黑山黑山中学高二月考)直线y=kx+b与曲线y=x3+ax+9相切于点(3,0),则b的值为( )
A.-15
B.-45
C.15
D.45
解析因为曲线y=x3+ax+9过点(3,0),所以0=33+3a+9,所以a=-12,所以y=x3-12x+9,
所以y'=3x2-12,
所以曲线在点(3,0)处的切线斜率k=3×32-12=15.
因此,曲线在点(3,0)处的切线方程为y-0=15(x-3),即y=15x-45,所以b=-45.
答案B
5.某质点的运动方程为s(t)=(其中s的单位为米,t的单位为秒),则质点在t=3秒时的速度为( )
A.-4×3-4米/秒
B.-3×3-4米/秒
C.-5×3-5米/秒
D.-4×3-5米/秒
解析由s(t)=得s'(t)='=(t-4)'=-4t-5,得s'(3)=-4×3-5,故选D.
答案D
6.已知f(x)=x2,g(x)=ln
x,若f'(x)-g'(x)=1,则x= .?
解析因为f(x)=x2,g(x)=ln
x,
所以f'(x)=2x,g'(x)=,且x>0,
f'(x)-g'(x)=2x-=1,即2x2-x-1=0,
解得x=1或x=-(舍去负值).故x=1.
答案1
7.(2019重庆八中高二期末)已知函数f(x)=(-3x+1)ex(其中e为自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为 .?
解析点(0,1)在曲线上,所以f'(x)=-3ex+(-3x+1)ex=ex(-3x-2),所以f'(0)=-2,故在点(0,1)处的切线方程为y-1=-2(x-0),即2x+y-1=0.
答案2x+y-1=0
8.已知函数f(x)=f'sin
x+cos
x,则f'= .?
解析∵f'(x)=f'cos
x-sin
x,
∴f'=f'cos-sin=-1,
∴f'(x)=-cos
x-sin
x,
∴f'=-cos-sin=-.
答案-
9.设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f'(x)满足f'(1)=2a,f'(2)=-b,其中常数a,b∈R.求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.
解因为f(x)=x3+ax2+bx+1,
所以f'(x)=3x2+2ax+b.
令x=1,得f'(1)=3+2a+b,又f'(1)=2a,
所以3+2a+b=2a,解得b=-3.
令x=2,得f'(2)=12+4a+b,又f'(2)=-b,
所以12+4a+b=-b,解得a=-.
则f(x)=x3-x2-3x+1,从而f(1)=-.
又f'(1)=2×=-3,
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-=-3(x-1),即6x+2y-1=0.
10.已知函数f(x)=esin
x,曲线y=f(x)在(0,1)处的切线与直线l平行,且与l的距离为,求直线l的方程.
解∵f'(x)=esin
xcos
x,∴f'(0)=1.
∴曲线y=f(x)在(0,1)处的切线方程为y-1=x,即x-y+1=0.
又直线l与x-y+1=0平行,
故可设为x-y+m=0.
由,得m=-1或m=3.
∴直线l的方程为x-y-1=0或x-y+3=0.
能力提升练
1.(2020全国Ⅲ)若直线l与曲线y=和圆x2+y2=都相切,则l的方程为( )
A.y=2x+1
B.y=2x+
C.y=x+1
D.y=x+
解析由y=得y'=,设直线l与曲线y=的切点为(x0,),则直线l的方程为y-(x-x0),即x-y+=0,
由直线l与圆x2+y2=相切,得圆心(0,0)到直线l的距离等于圆的半径r=,即,解得x0=1(负值舍去),所以直线l的方程为y=x+.
答案D
2.已知函数f(x)=e-2x+1,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为( )
A.
B.
C.
D.1
解析依题意,得f'(x)=e-2x·(-2)=-2e-2x,f'(0)=-2e-2×0=-2.
曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方程是y-2=-2x,即y=-2x+2.
在坐标系中作出直线y=-2x+2,y=0与y=x的图像,因为直线y=-2x+2与y=x的交点坐标是,直线y=-2x+2与x轴的交点坐标是(1,0),
结合图像可得,这三条直线所围成的三角形的面积等于×1×.
答案A
3.已知函数f(x)=.点P在曲线y=f(x)上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解析因为f(x)=,
所以f'(x)=.
因为ex>0,所以ex+≥2,所以f'(x)∈[-1,0),所以tan
α∈[-1,0).又因为α∈[0,π),所以α∈.
答案D
4.(2020百校联盟TOP300八月尖子生联考)已知f(x)=(x+a)是奇函数,则曲线y=f(x)在x=-1处的切线方程为( )
A.2x-y+3=0
B.2x+y-1=0
C.2x-y+1=0
D.x+y+2=0
解析由f(x)=(x+a)是奇函数,可得a=0,f(-1)=1.
当x<0时,f(x)=xln(-x)-,f'(x)=ln(-x)+1+,f'(-1)=2,
所以曲线f(x)在x=-1处的切线方程为y-1=2(x+1),即2x-y+3=0.
答案A
5.函数f(x)=ln
在x=0处的导数为 .?
解析f(x)=ln
=ln
ex-ln(1+ex)=x-ln(1+ex),则f'(x)=1-.
当x=0时,f'(0)=1-.
答案
6.(2020湖北孝感七校联考)已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln
x的图像在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为 .?
解析函数f(x)=ax-ln
x,可得f'(x)=a-,切线的斜率为k=f'(1)=a-1,切点坐标为(1,a),切线方程l为y-a=(a-1)(x-1),
l在y轴上的截距为a+(a-1)(-1)=1.
答案1
7.已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是 .?
解析设x>0,则-x<0,f(-x)=ln
x-3x,又f(x)为偶函数,f(x)=ln
x-3x,f'(x)=-3,f'(1)=-2,切线方程为y=-2x-1.
答案y=-2x-1
8.已知函数f(x)=x2,P(-1,1),Q(2,4)是曲线y=f(x)上的两点.
(1)求点P,Q处的曲线y=f(x)的切线方程;
(2)求与直线PQ平行的曲线y=f(x)的切线方程.
解(1)因为f'(x)=2x.
P(-1,1),Q(2,4)都是曲线y=f(x)上的点,
P点处的切线的斜率k1=f'(-1)=-2,
Q点处的切线的斜率k2=f'(2)=4,
P点处的切线方程为y-1=-2(x+1),
即2x+y+1=0.
Q点处的切线方程为y-4=4(x-2),
即4x-y-4=0.
(2)因为f'(x)=2x,直线PQ的斜率k==1,
设切点为M(x0,y0),则切线的斜率k=f'(x0)=2x0=1,所以x0=,所以切点M,
与PQ平行的切线方程为y-=x-,
即4x-4y-1=0.
素养培优练
(1)已知f(x)=eπxsin
πx,求f'(x)及f';
(2)设函数f(x)=,在曲线y=f(x)上求一点,使过该点的切线平行于x轴,并求切线方程.
解(1)∵f(x)=eπxsin
πx,
∴f'(x)=πeπxsin
πx+πeπxcos
πx
=πeπx(sin
πx+cos
πx).
∴f'=π=π.
(2)设切点的坐标为P(x0,y0),
由题意可知f'(x0)=0.
又f'(x)=,∴f'(x0)==0.
解得x0=0,此时y0=1.
即该点的坐标为(0,1),切线方程为y-1=0.
