(共33张PPT)
6.2.1 导数与函数的单调性
激趣诱思
知识点拨
MTF是目前分析镜头的解像力跟反差再现能力使用比较科学的方法.这种测定光学频率的方式是以一个mm的范围内能呈现出多少条线来度量,其单位以line/mm来表示.右图是三只不同镜头的MTF与空间频率的关系图.随着频率增加的变化,MTF发生了什么变化?如何来研究这种变化呢?
激趣诱思
知识点拨
用导数研究函数的单调性
一般地,(1)如果在区间(a,b)内,f'(x)>0,则曲线y=f(x)在区间(a,b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都大于0,曲线呈上升状态,因此f(x)在(a,b)上是增函数,如图(1)所示.
(2)如果在区间(a,b)内,f'(x)<0,则曲线y=f(x)在区间(a,b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都小于0,曲线呈下降状态,因此f(x)在(a,b)上是减函数,如图(2)所示.
激趣诱思
知识点拨
名师点析
导数与函数单调性关系的深入理解
(1)若在区间(a,b)上有f'(x)>0,则f(x)在该区间上单调递增;若在区间(a,b)上有f'(x)<0,则f(x)在该区间上单调递减.
(2)若函数f(x)在区间(a,b)上是增函数,则f'(x)≥0在x∈(a,b)内恒成立;同理,若函数f(x)在区间(a,b)上是减函数,则f'(x)≤0在x∈(a,b)内恒成立.
(3)对于函数f(x)来说,f'(x)>0是f(x)在(a,b)上单调递增的充分不必要条件;f'(x)<0是f(x)在(a,b)上单调递减的充分不必要条件.如f(x)=x3在R上为增函数,但f'(0)=0,所以在x=0处不满足f'(x)>0.
(4)当函数f(x)的单调递增(或递减)区间有多个时,各区间之间不能用“∪”连接,用“,”或“和”连接.
激趣诱思
知识点拨
微思考1
函数图像的变化趋势与导数值的大小有怎样的关系?
提示:
导数的绝对值
函数值变化
函数的图像
越大
快
比较“陡峭”(向上或向下)
越小
慢
比较“平缓”(向上或向下)
微思考2
如果在某个区间内恒有f'(x)=0,那么函数f(x)有什么特征?
提示:f(x)是常数函数.
激趣诱思
知识点拨
微练习
函数f(x)=2x-sin
x在(-∞,+∞)上是( )
A.增函数 B.减函数
C.先增后减
D.不确定
解析:∵f(x)=2x-sin
x,
∴f'(x)=2-cos
x>0在(-∞,+∞)上恒成立,∴f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.
答案:A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
函数与导函数图像间的关系
例1(1)设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图像如图所示,则导函数y=f'(x)的图像可能为( )
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(2)已知f'(x)是f(x)的导函数,f'(x)的图像如图所示,则f(x)的图像只可能是( )
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解析:(1)由函数的图像可知,当x<0时,函数单调递增,导数始终为正;当x>0时,函数先增后减再增,即导数先正后负再正.对照选项,应选D.
答案:(1)D (2)D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
研究函数与导函数图像之间关系的方法
研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关系时,注意抓住各自的关键要素,对于原函数,要注意其图像在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数,则应注意其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1已知y=xf'(x)的图像如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数).下面四个图像中,y=f(x)的图像大致是( )
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解析:当0
∴f'(x)<0,故f(x)在(0,1)上为减函数;
当x>1时,xf'(x)>0,∴f'(x)>0,
故y=f(x)在(1,+∞)上为增函数.故选C.
答案:C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
利用导数求函数的单调区间
例2求下列各函数的单调区间:
(1)f(x)=2x3-3x2;
(4)f(x)=ex+ax.
思路分析可按照求函数单调区间的步骤进行求解,其中:(1)要注意单调区间的写法;(2)要注意导数的求法;(3)要注意正弦函数的性质;(4)要注意对参数a进行讨论.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)函数定义域为R,且f'(x)=6x2-6x.
令f'(x)>0,即6x2-6x>0.
解得x>1或x<0;
令f'(x)<0,即6x2-6x<0,解得0所以f(x)的单调递增区间是(-∞,0]和[1,+∞),单调递减区间是[0,1].
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(4)函数定义域为R,且f'(x)=ex+a.
①当a≥0时,f'(x)=ex+a>0恒成立,f(x)在R上单调递增;
②当a<0时,由f'(x)=ex+a>0,得ex>-a,
所以x>ln(-a),
由f'(x)=ex+a<0,得ex<-a,所以x所以f(x)在(ln(-a),+∞)上单调递增,在(-∞,ln(-a))上单调递减.
综上,当a≥0时,f(x)的单调递增区间是(-∞,+∞),无单调递减区间;
当a<0时,f(x)的单调递增区间是[ln(-a),+∞),
单调递减区间是(-∞,ln(-a)].
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.利用导数求函数单调区间的步骤如下:
(1)求函数f(x)的定义域.
(2)求导数f'(x).
(3)在定义域内解不等式f'(x)>0,得单调递增区间;在定义域内解不等式f'(x)<0,得单调递减区间.
2.与利用函数单调性的定义判断函数的单调性或求函数的单调区间相比,利用导数求函数的单调区间显得更加简单易行,其实质是转化为解不等式问题,但也必须首先求出函数的定义域,在定义域内解不等式.另外,利用导数适合求一些高次函数的单调区间,其单调区间有时不止一个,这时在写出它们的单调区间时,不能将各个区间用并集符号连接.
3.当函数f(x)的解析式中含有参数时,可能需要对参数进行分类讨论才能确定其单调区间.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
由f'(x)<0,得0∴f(x)在(0,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数.
综上所述,当a≥0时,f(x)在(0,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
已知函数的单调性求参数的范围
例3已知函数f(x)=x3-ax-1为增函数,求实数a的取值范围.
思路分析f(x)单调递增→f'(x)≥0恒成立→分离参数求a的范围
解:由已知,得f'(x)=3x2-a.
因为f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,
所以f'(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立,
即a≤3x2对x∈R恒成立,
因为3x2≥0,所以只需a≤0.
又因为a=0时,f'(x)=3x2≥0,f(x)=x3-1在R上是增函数,所以a≤0.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
反思感悟
已知f(x)在区间(a,b)上的单调性求参数范围的方法
(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a,b)上单调递增(减)的问题,则区间(a,b)是相应单调区间的子集.
(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a,b)上单调递增(减)的问题,则f'(x)≥0(f'(x)≤0)在(a,b)内恒成立,注意验证等号是否成立.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究1若函数f(x)=x3-ax-1的单调递减区间为(-1,1),求a的取值范围.
解:f'(x)=3x2-a.
①当a≤0时,f'(x)≥0,
∴f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.此时不满足题意.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究2若函数f(x)=x3-ax-1在(-1,1)上单调递减,求a的取值范围.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
延伸探究3若函数f(x)=x3-ax-1在(-1,1)上不单调,求a的取值范围.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
利用导数证明不等式
典例已知x>1,求证:x>ln(1+x).
思路分析构造函数f(x)=x-ln(1+x),只要证明在x∈(1,+∞)上,f(x)>0恒成立即可.
证明:设f(x)=x-ln(1+x)(x≥1).
∴当x≥1时,f'(x)>0,
∴f(x)在[1,+∞)上是增函数.
又f(1)=1-ln
2>1-ln
e=0,即f(1)>0,
∴当x>1时,f(x)>0,
故当x>1时,x>ln(1+x).
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
方法点睛
1.利用导数证明不等式,是不等式证明的一种重要方法,其关键是构造函数.
2.要证不等式f(x)>g(x),可构造函数φ(x)=f(x)-g(x),只需证明φ(x)在其定义域上满足φ(x)>0即可,根据函数的单调性,借助于导数求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.函数f(x)=-x3-x2+x的单调递增区间是( )
解析:f'(x)=-3x2-2x+1,
令f'(x)>0,即-3x2-2x+1>0,
答案:A
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
2.(2020吉林吉化高二月考)若函数f(x)=
x2-2x-3ln
x,则函数f(x)的单调递减区间为( )
A.(-∞,-1)∪[3,+∞)
B.[-1,3]
C.[0,3]
D.[3,+∞)
答案:C
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
3.函数f(x)=x3+ax-2在区间(1,+∞)内是增函数,则实数a的取值范围是( )
A.[3,+∞)
B.[-3,+∞)
C.(-3,+∞)
D.(-∞,-3)
解析:f'(x)=3x2+a.令3x2+a≥0,得a≥-3x2.由题意,得a≥-3x2在x∈(1,+∞)上恒成立,所以a≥-3.
答案:B
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
4.若函数f(x)=x3+ax+5的单调递减区间是[-2,2],则实数a的值为 .?
解析:f'(x)=3x2+a,依题意,3x2+a<0的解集为(-2,2),故a=-12.
答案:-12
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
5.设f'(x)是函数f(x)的导数,y=f'(x)的图像如右图所示,则f(x)的图像最有可能是下列给出的四个图像中的 .?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解析:由f'(x)的图像知,x∈(-∞,0)时,f'(x)>0,f(x)为增函数,x∈(0,2)时,f'(x)<0,f(x)为减函数,x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)为增函数.只有③符合题意.
答案:③
探究一
探究二
探究三
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6.求函数f(x)=2ln
x-ax的单调区间.第六章导数及其应用
6.2 利用导数研究函数的性质
6.2.1 导数与函数的单调性
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(2020云南昆明高三一模)设f'(x)是函数f(x)的导函数,y=f'(x)的图像如图所示,则y=f(x)的图像可能是( )
解析根据导函数图像,y=f(x)的递增区间为(-3,-1),(0,1),递减区间为(-1,0),(1,3),观察选项可得D符合,故选D.
答案D
2.函数y=x+xln
x的单调递减区间是( )
A.(-∞,e-2)
B.(0,e-2)
C.(e-2,+∞)
D.(e2,+∞)
解析因为y=x+xln
x,所以定义域为(0,+∞).
令y'=2+ln
x<0,解得0x的单调递减区间是(0,e-2),故选B.
答案B
3.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在(-∞,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-)∪[,+∞)
B.[-]
C.(-∞,-)∪(,+∞)
D.(-)
解析f'(x)=-3x2+2ax-1≤0在(-∞,+∞)上恒成立,且不恒为0,则Δ=4a2-12≤0,解得-≤a≤.
答案B
4.(2020江西南昌高三期末)下列函数既是奇函数且又在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A.y=x2+x
B.y=xln
x
C.y=x3-3x
D.y=x-sin3x
解析由题意,知A选项中y=x2+x为非奇非偶函数,故A选项不正确,B选项中,y=xln
x为非奇非偶函数,故B选项不正确,C选项中,y=x3-3x是奇函数,求导得y'=3x2-3,当y'≥0时,有x≥1或x≤-1,故y=x3-3x在(0,+∞)上不单调递增,故C选项不正确,D选项中,y=x-sin3x是奇函数,求导得y'=-3sin2x·cos
x=(1-sin
2x·sin
x),又-1≤sin
2x≤1,-1≤sin
x≤1,故y'≥0恒成立,满足在(0,+∞)上单调递增,故D选项正确.故选D.
答案D
5.(2020江西南昌高二月考)设a=e,b=,c=,则a,b,c的大小关系是( )
A.aB.bC.cD.c解析考察函数f(x)=,则f'(x)=,f(x)在(e,+∞)上单调递增,
∵e<3<π,∴f(e)即,a答案A
6.(多选)(2020山东济南高三模拟)已知定义在上的函数f(x),f'(x)是f(x)的导函数,且恒有cos
xf'(x)+sin
xf(x)<0成立,则( )
A.f
B.>f
C.f
D.
解析设g(x)=,
则g'(x)=,
因为x∈时,cos
xf'(x)+sin
xf(x)<0,所以x∈时,g'(x)=<0,
因此g(x)在上单调递减,
所以g>g,g>g,
即,即f,即.故选CD.
答案CD
7.函数f(x)=x2e-x在区间(-∞,0)上的单调性为 .?
解析依题意,f(x)=,所以f'(x)=,故函数在(-∞,0)上单调递减.
答案单调递减
8.(2020六盘山高级中学高二期末)已知函数f(x)=x3+ax在R上单调递增,则实数a的取值范围是 .?
解析由题意,得f'(x)=3x2+a≥0在R上恒成立,即a≥-3x2恒成立,故a≥0,所以a的取值范围是[0,+∞).
答案[0,+∞)
9.(2020广东石门中学高二月考)已知函数f(x)=-x3+3x2+9x-2,求:
(1)函数y=f(x)的图像在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)f(x)的单调递减区间.
解(1)f'(x)=-3x2+6x+9,f'(0)=9=k,f(0)=-2,所以切点为(0,-2),
∴切线方程为y=9x-2,一般方程为9x-y-2=0.
(2)f'(x)=-3x2+6x+9=-3(x+1)(x-3),
令f'(x)<0,解得x<-1或x>3,
∴f(x)的单调递减区间为(-∞,-1]和[3,+∞).
10.
已知二次函数h(x)=ax2+bx+2,其导函数y=h'(x)的图像如图所示,f(x)=6ln
x+h(x).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若函数f(x)在区间上是单调函数,求实数m的取值范围.
解(1)由已知,h'(x)=2ax+b,
其图像为直线,且过(0,-8),(4,0)两点,把两点坐标代入h'(x)=2ax+b,∴解得
∴h(x)=x2-8x+2,h'(x)=2x-8,
∴f(x)=6ln
x+x2-8x+2.
(2)∵f'(x)=+2x-8=(x>0).
∴当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(0,1)
1
(1,3)
3
(3,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
↘
↗
∴f(x)的单调递增区间为(0,1)和(3,+∞),f(x)的单调递减区间为(1,3).
要使函数f(x)在区间上是单调函数,
则解得即实数m的取值范围为.
能力提升练
1.函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f'(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为( )
A.(-1,1)
B.(-1,+∞)
C.(-∞,-1)
D.(-∞,+∞)
解析构造函数g(x)=f(x)-(2x+4),
则g(-1)=2-(-2+4)=0,又f'(x)>2.
∴g'(x)=f'(x)-2>0,
∴g(x)是R上的增函数.
∴f(x)>2x+4?g(x)>0?g(x)>g(-1),
∴x>-1.
答案B
2.(多选)(2020山东省山东师范大学附中高二月考)已知f(x)是可导的函数,且f'(x)A.f(1)020)020f(0)
B.f(1)>ef(0),f(1)>e2f(-1)
C.f(1)D.f(1)>ef(0),f(2
020)>e2
020f(0)
解析设g(x)=,所以g'(x)=,
因为f'(x)所以g(x)在R上是减函数,
所以g(1)020)020)020f(0),f(1)故选AC.
答案AC
3.(2019江苏启东中学高二期中)函数f(x)=的单调递减区间为 .?
解析因为f(x)=,所以x>0且x≠1.
所以f'(x)=,
令f'(x)<0,解得0所以f(x)的单调递减区间为(0,1),(1,e).
答案(0,1),(1,e)
4.(2020临海白云高级中学高二月考)已知f(x)=-x2+bln(x+2)在(-1,+∞)单调递减,则b的取值范围是 .?
解析由题意,可知f'(x)=-x+≤0在x∈(-1,+∞)上恒成立,即b≤x(x+2)在x∈(-1,+∞)上恒成立,令f(x)=x(x+2)=x2+2x,x∈(-1,+∞),
∴f(x)>-1,∴要使b≤x(x+2),则b≤-1,
故b的取值范围为(-∞,-1].
答案(-∞,-1]
5.已知函数y=f(x)的定义域为,且y=f(x)的图像如图所示,记y=f(x)的导函数为y=f'(x),则不等式x·f'(x)<0的解集是 .?
解析当x<0时,y=f(x)在上单调递增,因此f'(x)>0,故x·f'(x)<0成立;y=f(x)在上单调递减,因此f'(x)<0,故x·f'(x)<0不成立;
当x>0时,y=f(x)在(0,1)上单调递减,因此f'(x)<0,故x·f'(x)<0成立;
y=f(x)在(1,3)上单调递增,因此f'(x)>0,故x·f'(x)<0不成立,所以x·f'(x)<0的解集是-,-∪(0,1).
答案∪(0,1)
6.已知函数f(x)=(ax2+x-1)ex,其中e是自然对数的底数,a∈R.
(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若a=-1,求f(x)的单调区间.
解f'(x)=(ax+2a+1)xex.
(1)若a=1,则f'(x)=(x+3)xex,f(x)=(x2+x-1)ex,所以f'(1)=4e,f(1)=e.
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-e=4e(x-1),即4ex-y-3e=0.
(2)若a=-1,则f'(x)=-(x+1)xex.
令f'(x)=0,解得x1=-1,x2=0.
当x∈(-∞,-1)时,f'(x)<0;
当x∈(-1,0)时,f'(x)>0;
当x∈(0,+∞)时,f'(x)<0;
所以f(x)的单调递增区间为[-1,0],单调递减区间为(-∞,-1]和[0,+∞).
7.(1)已知函数f(x)=axekx-1,g(x)=ln
x+kx.当a=1时,若f(x)在(1,+∞)上为减函数,g(x)在(0,1)上为增函数,求实数k的值;
(2)已知函数f(x)=x+-2ln
x,a∈R,讨论函数f(x)的单调区间.
解(1)当a=1时,f(x)=xekx-1,
∴f'(x)=(kx+1)ekx,g'(x)=+k.
∵f(x)在(1,+∞)上为减函数,
则对于任意x>1,f'(x)≤0?k≤-,∴k≤-1.
∵g(x)在(0,1)上为增函数,
则对于任意x∈(0,1),g'(x)≥0?k≥-,
∴k≥-1.
综上所述,k=-1.
(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
∴f'(x)=1-.
①当Δ=4+4a≤0,即a≤-1时,
得x2-2x-a≥0,则f'(x)≥0.
∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
②当Δ=4+4a>0,即a>-1时,
令f'(x)=0,得x2-2x-a=0,
解得x1=1-,x2=1+>0.
(ⅰ)若-10,
∵x∈(0,+∞),∴f(x)在(0,1-),(1+,+∞)上单调递增,
在(1-,1+)上单调递减.
(ⅱ)若a≥0,则x1≤0,当x∈(0,1+)时,f'(x)<0,当x∈(1+,+∞)时,f'(x)>0,
∴函数f(x)在区间(0,1+)上单调递减,
在区间(1+,+∞)上单调递增.
素养培优练
(2020枣庄第三中学高二月考)已知函数f(x)=ax2ex-1(a≠0).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)已知a>0且x∈[1,+∞),若函数f(x)没有零点,求a的取值范围.
解(1)f'(x)=2axex+ax2ex=axex(2+x),
令f'(x)=0,则x=0或x=-2.
①若a>0,
当x<-2时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
当-2当x>0时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
②若a<0,
当x<-2时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当-20,f(x)单调递增;
当x>0时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
综上所述,当a>0时,f(x)的单调递增区间为(-∞,-2]和[0,+∞),单调递减区间为[-2,0];
当a<0时,f(x)的单调递增区间为[-2,0],单调递减区间为(-∞,-2]和[0,+∞).
(2)当a>0时,由(1)可知,f(x)在x∈[1,+∞)上单调递增,若函数没有零点,则f(1)=ae-1>0,解得a>,故a的取值范围为,+∞.