第六章导数及其应用
6.2 利用导数研究函数的性质
6.2.2 导数与函数的极值、最值
课后篇巩固提升
基础达标练
1.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),其导函数f'(x)在(a,b)内的图像如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内的极大值点有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析依题意,记函数y=f'(x)的图像与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1,x2,x3,x4,当a
0;当x1答案B
2.(2020江西南昌高二期末)函数f(x)=aex-sin
x在x=0处有极值,则a的值为( )
A.-1
B.0
C.1
D.e
解析由题意,得f'(x)=aex-cos
x.∵f(x)在x=0处有极值,∴f'(0)=a-cos
0=a-1=0,解得a=1.经检验,满足题意,故选C.
答案C
3.函数f(x)=x2·ex+1,x∈[-2,1]的最大值为( )
A.4e-1
B.1
C.e2
D.3e2
解析∵f'(x)=(x2+2x)ex+1=x(x+2)ex+1,
∴令f'(x)=0,解得x=-2或x=0.
又当x∈[-2,1]时,ex+1>0,
∴当-2当00.
∴f(x)在(-2,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增.
又f(-2)=4e-1,f(1)=e2,∴f(x)的最大值为e2.
答案C
4.当x=1时,三次函数有极大值4,当x=3时有极小值0,且函数过原点,则此函数是( )
A.y=x3+6x2+9x
B.y=x3-6x2+9x
C.y=x3-6x2-9x
D.y=x3+6x2-9x
解析∵三次函数过原点,故可设为y=x3+bx2+cx,
∴y'=3x2+2bx+c.又x=1,3是y'=0的两个根,
∴解得∴y=x3-6x2+9x.
又y'=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),
∴当x=1时,f(x)极大值=4,
当x=3时,f(x)极小值=0,满足条件,故选B.
答案B
5.(2020山东省山东师范大学附中高三月考)函数f(x)=x+2cos
x在区间[0,π]上的最大值为( )
A.2
B.
C.
D.π-2
解析f'(x)=1-2sin
x,x∈[0,π].
令f'(x)>0,解得x<或x>,
令f'(x)<0,解得∴函数f(x)在0,和,π上单调递增,在上单调递减,
∴f(x)的极大值为f=,f(x)的极小值为f=,又f(0)=2,f(π)=π-2,
故所求最大值为.
答案B
6.已知曲线f(x)=x3+ax2+bx+1在点(1,f(1))处的切线斜率为3,且x=是y=f(x)的极值点,则a+b= .?
解析∵f'(x)=3x2+2ax+b,
∴
解得a=2,b=-4,∴a+b=2-4=-2.
答案-2
7.设a∈R,若函数y=ex+ax(x∈R)有大于零的极值点,则a的取值范围为 .?
解析∵y=ex+ax,∴y'=ex+a.令y'=ex+a=0,则ex=-a,即x=ln(-a),又∵x>0,∴-a>1,即a<-1.
答案(-∞,-1)
8.函数f(x)=x3-3x2-9x+k在区间[-4,4]上的最大值为10,则其最小值为 .?
解析f'(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1).
由f'(x)=0,得x=3或x=-1.
又f(-4)=k-76,f(3)=k-27,f(-1)=k+5,f(4)=k-20,则f(x)max=k+5=10,得k=5,
∴f(x)min=k-76=-71.
答案-71
9.已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1处取得极值,且f(1)=-1.
(1)试求常数a,b,c的值;
(2)试判断x=±1是函数的极大值点还是极小值点,并说明理由.
解f'(x)=3ax2+2bx+c,
(1)(方法一)∵x=±1是函数的极值点,
∴x=±1是方程3ax2+2bx+c=0的两根.
由根与系数的关系,得
又f(1)=-1,∴a+b+c=-1,③
由①②③解得a=,b=0,c=-.
(方法二)由f'(1)=f'(-1)=0,得3a+2b+c=0,①
3a-2b+c=0,②
又f(1)=-1,∴a+b+c=-1,③
由①②③解得a=,b=0,c=-.
(2)由(1),知f(x)=x3-x,
∴f'(x)=x2-(x-1)(x+1).
当x<-1或x>1时,f'(x)>0,
当-1∴函数f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函数,
在(-1,1)上是减函数.
∴当x=-1时,函数取得极大值,x=-1为极大值点;
当x=1时,函数取得极小值,x=1为极小值点.
10.设函数f(x)=ln(2x+3)+x2.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
解易知f(x)的定义域为.
(1)f'(x)=+2x=.
当-0;
当-1当x>-时,f'(x)>0,
从而f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.
(2)由(1)知,f(x)在区间上的最小值为f=ln
2+.
又因为f-f=ln-ln=ln<0,所以f(x)在区间上的最大值为f+ln
.
能力提升练
1.(多选)(2020建湖第二中学高二开学考试)关于函数f(x)=ex-2,下列结论不正确的是( )
A.f(x)没有零点
B.f(x)没有极值点
C.f(x)有极大值点
D.f(x)有极小值点
解析令f(x)=0,解得x=ln
2,所以f(x)有零点,所以A选项不正确.f'(x)=ex>0,所以f(x)在R上递增,没有极值点,所以B选项正确,CD选项不正确.故选ACD.
答案ACD
2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1处取得极大值10,则的值为( )
A.-
B.-2
C.-2或-
D.不存在
解析∵f'(x)=3x2+2ax+b,且f(x)在x=1处取得极大值10,
∴f'(1)=3+2a+b=0,f(1)=1+a+b-a2-7a=10,
∴a2+8a+12=0,∴a=-2,b=1或a=-6,b=9.
当a=-2,b=1时,f'(x)=3x2-4x+1=(3x-1)(x-1).
当1时,f'(x)>0,
∴f(x)在x=1处取得极小值,与题意不符.
当a=-6,b=9时,f'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3);
当x<1时,f'(x)>0,当1∴f(x)在x=1处取得极大值,符合题意;
∴=-=-.
答案A
3.(2020旬邑中学高二月考)函数f(x)=4x-ln
x的最小值为( )
A.1+2ln
2
B.1-2ln
2
C.1+ln
2
D.1-ln
2
解析f'(x)=4-,x>0.
令f'(x)>0,得x>;令f'(x)<0,得0所以当x=时,函数有最小值为f=4×-ln=1+ln
4=1+2ln
2.故选A.
答案A
4.(2019江苏南京高三期中)定义在0,的函数f(x)=8sin
x-tan
x的最大值为 .?
解析函数f(x)=8sin
x-tan
x,
那么f'(x)=8cos
x-,
令f'(x)=0,得cos
x=.∵x∈0,,∴x=.
当x∈0,时,f'(x)>0,函数f(x)在区间0,上是增函数;
当x∈时,f'(x)<0,函数f(x)在区间上是减函数.
∴当x=时,函数f(x)取得最大值为3.
答案3
5.若函数f(x)=x3+x2-ax-4在区间(-1,1)上恰有一个极值点,则实数a的取值范围为 .?
解析∵f'(x)=3x2+2x-a,
函数f(x)在区间(-1,1)上恰有一个极值点,
即f'(x)=0在(-1,1)内恰有一个根.
又函数f'(x)=3x2+2x-a的对称轴为x=-,
∴应满足
∴1≤a<5.
答案[1,5)
6.已知函数f(x)=+2ln
x,若当a>0时,f(x)≥2恒成立,则实数a的取值范围是 .?
解析由f(x)=+2ln
x,得f'(x)=,又函数f(x)的定义域为(0,+∞),且a>0,
令f'(x)=0,得x=-(舍去)或x=.
当0时,f'(x)>0.
故x=是函数f(x)的极小值点,也是最小值点,且f()=ln
a+1.
要使f(x)≥2恒成立,需ln
a+1≥2恒成立,则a≥e.
答案[e,+∞)
7.设f(x)=aln
x+x+1,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的极值.
解(1)因为f(x)=aln
x+x+1,
故f'(x)=.
由于曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴,故该切线斜率为0,即f'(1)=0,从而a-=0,解得a=-1.
(2)由(1),知f(x)=-ln
x+x+1(x>0),
f'(x)=-.令f'(x)=0,解得x1=1,x2=-.
因为x2=-不在定义域内,舍去.
当x∈(0,1)时,f'(x)<0,故f(x)在(0,1)上为减函数;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(1,+∞)上为增函数.故f(x)在x=1处取得极小值,且f(1)=3.
8.(2020天津)已知函数f(x)=x3+kln
x(k∈R),f'(x)为f(x)的导函数.
(1)当k=6时,
①求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
②求函数g(x)=f(x)-f'(x)+的单调区间和极值;
(2)当k≥-3时,求证:对任意的x1,x2∈[1,+∞),且x1>x2,有.
(1)解①当k=6时,f(x)=x3+6ln
x,故f'(x)=3x2+.
可得f(1)=1,f'(1)=9,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-1=9(x-1),即y=9x-8.
②依题意,g(x)=x3-3x2+6ln
x+,x∈(0,+∞).从而可得g'(x)=3x2-6x+,整理可得g'(x)=.令g'(x)=0,解得x=1.
当x变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表:
x
(0,1)
1
(1,+∞)
g'(x)
-
0
+
g(x)
↘
极小值
↗
所以,函数g(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞);g(x)的极小值为g(1)=1,无极大值.
(2)证明由f(x)=x3+kln
x,得f'(x)=3x2+.
对任意的x1,x2∈[1,+∞),且x1>x2,
令=t(t>1),则(x1-x2)[f'(x1)+f'(x2)]-2[f(x1)-f(x2)]=(x1-x2)3+3-2+kln=-3x2+3x1+k-2kln(t3-3t2+3t-1)+kt--2ln
t.
①
令h(x)=x--2ln
x,x∈[1,+∞).
当x>1时,h'(x)=1+>0,
由此可得h(x)在[1,+∞)单调递增,
所以当t>1时,h(t)>h(1),即t--2ln
t>0.
因为x2≥1,t3-3t2+3t-1=(t-1)3>0,k≥-3,
所以,(t3-3t2+3t-1)+kt--2ln
t≥(t3-3t2+3t-1)-3t--2ln
t=t3-3t2+6ln
t+-1.
②
由(1)②可知,当t>1时,g(t)>g(1),即t3-3t2+6ln
t+>1,故t3-3t2+6ln
t+-1>0.
③
由①②③可得(x1-x2)[f'(x1)+f'(x2)]-2[f(x1)-f(x2)]>0.
所以,当k≥-3时,对任意的x1,x2∈[1,+∞),且x1>x2,有.
素养培优练
1.(2020全国Ⅰ)已知函数f(x)=ex+ax2-x.
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)当x≥0时,f(x)≥x3+1,求a的取值范围.
解(1)当a=1时,f(x)=ex+x2-x,f'(x)=ex+2x-1.
故当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0.
所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
(2)f(x)≥x3+1等价于e-x≤1.
设函数g(x)=e-x(x≥0),
则g'(x)=-
x3-ax2+x+1-x2+2ax-1e-x
=-x[x2-(2a+3)x+4a+2]e-x
=-x(x-2a-1)(x-2)e-x.
①若2a+1≤0,即a≤-,则当x∈(0,2)时,g'(x)>0.
所以g(x)在(0,2)上单调递增,而g(0)=1,
故当x∈(0,2)时,g(x)>1,不合题意.
②若0<2a+1<2,即-0.所以g(x)在(0,2a+1),(2,+∞)上单调递减,在(2a+1,2)上单调递增.由于g(0)=1,
所以g(x)≤1当且仅当g(2)=(7-4a)e-2≤1,即a≥.
所以当≤a<时,g(x)≤1.
③若2a+1≥2,即a≥,则g(x)≤x3+x+1e-x.
由于0∈,
故由②可得x3+x+1e-x≤1.故当a≥时,g(x)≤1.
综上,a的取值范围是.
2.(2020云南保山高二月考)已知函数g(x)=,f(x)=g(x)-ax.
(1)若函数f(x)在(1,+∞)上是减函数,求实数a的最小值;
(2)若存在x1,x2∈[e,e2],使f(x1)≤f'(x2)+a(a>0)成立,求实数a的取值范围.
解由已知函数g(x),f(x)的定义域均为(0,1)∪(1,+∞),且f(x)=-ax(a>0).
(1)函数g'(x)=,
因为f(x)在(1,+∞)上为减函数,故f'(x)=-a≤0在(1,+∞)上恒成立.
所以当x∈(1,+∞)时,f'(x)max≤0.
又f'(x)=-a=-2+-a=-2+-a,
故当,即x=e2时,f'(x)max=-a.
所以-a≤0,于是a≥,故a的最小值为.
(2)命题“若存在x1,x2∈[e,e2],使f(x1)≤f'(x2)+a成立”等价于“当x∈[e,e2]时,有f(x)min≤f'(x)max+a”.由(1),知当x∈[e,e2]时,f'(x)max=-a,
∴f'(x)max+a=.
问题等价于“当x∈[e,e2]时,有f(x)min≤”.
①当a≥时,由(1),f(x)在[e,e2]上为减函数,
则f(x)min=f(e2)=-ae2≤,故a≥.
②当0故f'(x)的值域为[f'(e),f'(e2)],即.
由f'(x)的单调性和值域知,存在唯一x0∈(e,e2),使f'(x0)=0,且满足:
当x∈(e,x0)时,f'(x)<0,f(x)为减函数;
当x∈(x0,e2)时,f'(x)>0,f(x)为增函数;
所以,f(x)min=f(x0)=-ax0≤,x0∈(e,e2).
所以,a≥,与06.2.2 导数与函数的极值、最值
激趣诱思
知识点拨
“极大”与“极小”都是文艺复兴时期德意志库萨的尼古拉的用语.尼古拉认为一个事物,如果没有比它更大的事物存在,就叫做最大或极大,极大与极小是对立一致的.那么数学中“极大值”与“极小值”又是如何界定的呢?
激趣诱思
知识点拨
一、函数的导数与极值
1.极值点与极值
一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,设x0∈D,如果对于x0附近的任意不同于x0的x,都有
(1)f(x)(2)f(x)>f(x0),则称x0为函数f(x)的一个极小值点,且f(x)在x0处取极小值.
极大值点与极小值点都称为极值点,极大值与极小值都称为极值.显然,极大值点在其附近函数值最大,极小值点在其附近函数值最小.
激趣诱思
知识点拨
2.极值点的求法
一般地,如果x0是y=f(x)的极值点,且f(x)在x0处可导,则必有f'(x0)=0.
名师点析
求函数y=f(x)极值的步骤
第1步,求导数f'(x).
第2步,求方程f'(x)=0的所有实数根.
第3步,考察在每个根x0附近,从左到右,导函数f'(x)的符号如何变化.如果f'(x)的符号由正变负,则f(x0)是极大值;如果由负变正,则f(x0)是极小值.
如果在f'(x)=0的根x=x0的左、右侧,f'(x)的符号不变,则f(x0)不是极值.
激趣诱思
知识点拨
微思考1
(1)函数是否一定存在极值?若存在,是否是唯一的?
(2)极大值是否一定比极小值大?
(3)函数的极值点是否可以出现在区间的端点?
提示:(1)在一个给定的区间上,函数可能存在若干个极值,也可能不存在极值;函数可以只有极大值没有极小值,或者只有极小值没有极大值,也可能既有极大值又有极小值.
(2)极大值与极小值之间无确定的大小关系,即一个函数的极大值未必大于极小值.
(3)不可以,函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值,因为不符合极值点的定义.
激趣诱思
知识点拨
微思考2
(1)导数为0的点一定是函数的极值点吗?
(2)函数在极值点处的导数一定等于0吗?
提示:(1)不一定,例如对于函数f(x)=x3,虽有f'(0)=0,但x=0并不是f(x)=x3的极值点,要使导数为0的点成为极值点,还必须满足其他条件.
(2)不一定,例如函数f(x)=|x-1|,它在x=1处取得极小值,但它在x=1处不可导,就更谈不上导数等于0了.但对可导函数来说,极值点处的导数值一定等于0.
激趣诱思
知识点拨
二、函数的最值
函数f(x)的最大(小)值是函数定义域内最大(小)的函数值.
名师点析
求函数y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤
第1步,求f(x)在开区间(a,b)内所有使f'(x)=0的点.
第2步,计算函数f(x)在区间(a,b)内使f'(x)=0的所有点和端点的函数值,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
激趣诱思
知识点拨
微思考
函数极值与最值有什么联系与区别?
提示:(1)函数的极值是表示函数在某一点附近的变化情况,是在局部上对函数值的比较,具有相对性;而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况,是对整个区间上的函数值的比较,具有绝对性.
(2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值,则最大值或最小值最多只能各有一个,具有唯一性;而极大值和极小值可能多于一个,也可能没有,例如:常函数就没有极大值,也没有极小值.
(3)极值只能在函数的定义域内部取得,而最值可以在区间的端点处取得.有极值的不一定有最值,有最值的不一定有极值,极值有可能成为最值,最值只要不是在端点处取到,则一定是某个极值.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
利用导数求函数的极值
例1求下列函数的极值:
(1)f(x)=1+3x-x3;
(3)f(x)=x2e-x.
思路分析按照求极值的方法,首先从方程f'(x)=0入手,求出函数f(x)在定义域内所有可解的极值点,然后按极值的定义判断并求值.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:(1)函数定义域为R,且f'(x)=3-3x2,
令f'(x)=0,得x=±1.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,-1)
-1
(-1,1)
1
(1,+∞)
f'(x)
-
0
+
0
-
f(x)
↘
-1
↗
3
↘
所以f(x)在x=-1处取极小值-1,
在x=1处取极大值3.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
(3)函数f(x)的定义域为R,
f'(x)=2xe-x+x2e-x(-x)'=x(2-x)e-x,
令f'(x)=0,得x=0或x=2,
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,0)
0
(0,2)
2
(2,+∞)
f'(x)
-
0
+
0
-
f(x)
↘
0
↗
4e-2
↘
从表中可以看出,
当x=0时,函数有极小值,且f(0)=0;
当x=2时,函数有极大值,且f(2)=4e-2.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
求函数极值的解题策略
求函数的极值必须严格按照求函数极值的步骤进行,其重点是列表判断导数为零的点的左右两侧的导数值是不是异号,若异号,则是极值;否则,不是极值.另外,在求函数的极值前,首先要研究函数的定义域.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练1已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R),当a∈R且a≠
时,求函数的极值.
解:f'(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]ex.
令f'(x)=0,解得x=-2a或x=a-2.
由a≠
知,-2a≠a-2.
以下分两种情况讨论:
若a>
,则-2ax
(-∞,-2a)
-2a
(-2a,a-2)
a-2
(a-2,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
∴f(x)在(-∞,-2a),(a-2,+∞)内是增函数,在(-2a,a-2)内是减函数.
∴函数f(x)在x=-2a处取得极大值f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a;
函数f(x)在x=a-2处取得极小值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2.
若a<
,则-2a>a-2,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,a-2)
a-2
(a-2,-2a)
-2a
(-2a,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴f(x)在(-∞,a-2),(-2a,+∞)内是增函数,在(a-2,-2a)内是减函数.
∴函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2;
函数f(x)在x=-2a处取得极小值f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
利用导数求函数的最值
例2求下列函数的最值:
(1)f(x)=x3-2x2+1,x∈[-1,2];
思路分析按照求函数最值的步骤求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:(1)f'(x)=3x2-4x,令f'(x)=0,有3x2-4x=0,解得x=0或x=
.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
从上表可知,最大值是f(0)=f(2)=1,最小值是f(-1)=-2.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
当x>1时,f'(x)<0,∴函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,∴当x=1时,函数f(x)有最大值,且最大值是f(1)=-1,函数f(x)无最小值.
探究一
探究二
探究三
探究四
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反思感悟
求函数最值的解题策略
(1)如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图像是一条连续不间断的曲线,那么它必有最大值和最小值.
(2)如果函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,求f(x)在区间[a,b]上的最值可简化过程,即直接将极值点的函数值与端点的函数值比较大小,即可判定最大(或最小)的函数值,就是最大(或最小)值.
(3)求函数在闭区间上的最值时,需要对各个极值与端点的函数值进行比较,有时需要作差、作商,有时还要估算,甚至有时需要进行分类讨论.
(4)求函数在开区间上的最值时,要借助导数分析研究函数的单调性与极值情况,从而画出函数的大致图像,结合图像求出最值.
探究一
探究二
探究三
探究四
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当堂检测
变式训练2a为常数,求函数f(x)=-x3+3ax(0≤x≤1)的最大值.
解:f'(x)=-3x2+3a=-3(x2-a).
若a≤0,则f'(x)≤0,函数f(x)单调递减,所以当x=0时,有最大值f(0)=0.
x,f'(x),f(x)变化情况如下表所示:
探究一
探究二
探究三
探究四
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探究一
探究二
探究三
探究四
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根据函数的极值与最值求参数值(或范围)
例3(1)若函数f(x)=ax3+bx-4在x=1处取得极值,且极值为0,求实数a,b的值;
(2)已知函数f(x)=ax3-6ax2+b(a≠0),是否存在实数a,b使f(x)在区间
[-1,2]上取得最大值3,最小值-29?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
思路分析(1)可利用f'(1)=0,f(1)=0求解;(2)利用求最值的方法建立关于a,b的方程组确定a,b的值,注意对a的讨论.
探究一
探究二
探究三
探究四
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当堂检测
解:(1)由于f(x)=ax3+bx-4,
所以f'(x)=3ax2+b.
依题意,可得f'(1)=0且f(1)=0.
(2)存在.
f'(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),
令f'(x)=0,解得x1=0,x2=4(舍去).
①当a>0,x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-1,0)
0
(0,2)
f'(x)
+
0
-
f(x)
↗
极大值
↘
探究一
探究二
探究三
探究四
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当堂检测
所以当x=0时,f(x)取得最大值.所以b=3.
又f(2)=-16a+3,f(-1)=-7a+3,f(-1)>f(2),所以当x=2时,f(x)取得最小值,
所以-16a+3=-29,即a=2.
②当a<0,x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-1,0)
0
(0,2)
f'(x)
-
0
+
f(x)
↘
极小值
↗
所以当x=0时,f(x)取得最小值.所以b=-29.
又f(2)=-16a-29,f(-1)=-7a-29,f(2)>f(-1),所以当x=2时,f(x)取得最大值,
所以-16a-29=3,即a=-2.
综上所述,a=2,b=3或a=-2,b=-29.
探究一
探究二
探究三
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反思感悟
根据函数极值与最值求参数值(或范围)的解题策略
(1)已知函数的极值或最值求参数值时,主要根据极值点处的导数值为0和已知的极值,列出方程(组),利用待定系数法求解;同时应注意,导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
(2)对于可导函数f(x),若它有极值点x0,则必有f'(x0)=0,因此函数f(x)有极值的问题,往往可以转化为方程f'(x)=0有根的问题,从而可借助方程的知识进行求解.
(3)有些含参数的问题,需要对参数进行分类讨论求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
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当堂检测
变式训练3已知函数f(x)=
x3-
(m+3)x2+(m+6)x(x∈R,m为常数),在区间(1,+∞)内有两个极值点,求实数m的取值范围.
解:f'(x)=x2-(m+3)x+m+6.
因为函数f(x)在(1,+∞)内有两个极值点,
所以f'(x)=x2-(m+3)x+m+6在(1,+∞)内与x轴有两个不同的交点,如图所示.
解得m>3.故实数m的取值范围是(3,+∞).
探究一
探究二
探究三
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极值问题的综合应用
例4已知函数f(x)=x3-3x+a(a为实数),若方程f(x)=0有三个不同实根,求实数a的取值范围.
思路分析求出函数的极值,要使f(x)=0有三个不同实根,则应有极大值大于0,极小值小于0,由此可得a的取值范围.
探究一
探究二
探究三
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解:令f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)=0,
解得x1=-1,x2=1.
当x<-1时,f'(x)>0;
当-1当x>1时,f'(x)>0.
所以当x=-1时,f(x)有极大值f(-1)=2+a;
当x=1时,f(x)有极小值f(1)=-2+a.
因为方程f(x)=0有三个不同实根,
所以y=f(x)的图像与x轴有三个交点,如图.
解得-2探究一
探究二
探究三
探究四
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反思感悟
极值综合问题的求解策略
利用导数可以判断函数的单调性,研究函数的极值情况,并在此基础上画出函数的大致图像,从直观上判断函数图像与x轴的交点或两个函数图像的交点的个数.
探究一
探究二
探究三
探究四
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延伸探究1本例中,若方程f(x)=0恰有两个根,则实数a的值如何求解?
解:由例题,知函数的极大值f(-1)=2+a,极小值f(1)=-2+a,若f(x)=0恰有两个根,则有2+a=0,或-2+a=0,所以a=-2或a=2.
延伸探究2本例中,若方程f(x)=0有且只有一个实根,求实数a的范围.
解:由例题可知,要使方程f(x)=0有且只有一个实根,只需2+a<0或
-2+a>0,即a<-2或a>2.
探究一
探究二
探究三
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不等式恒成立问题
典例已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c(a,b,c∈R).
(1)若函数f(x)在x=-1和x=3处取得极值,求a,b的值;
(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,6]时,f(x)<2|c|恒成立,求c的取值范围.
解:(1)f'(x)=3x2-2ax+b(a,b,c∈R).
因为函数f(x)在x=-1和x=3处取得极值,
所以-1,3是方程3x2-2ax+b=0的两根.
探究一
探究二
探究三
探究四
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(2)由(1),知f(x)=x3-3x2-9x+c(a,b,c∈R),
则f'(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3).
当x变化时,f'(x),f(x)的变化如下表:
x
(-∞,-1)
-1
(-1,3)
3
(3,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值c+5
↘
极小值c-27
↗
而f(-2)=c-2,f(6)=c+54,
所以x∈[-2,6]时,f(x)的最大值为c+54.
要使f(x)<2|c|恒成立,只要c+54<2|c|成立即可.
当c≥0时,c+54<2c,所以c>54;
当c<0时,c+54<-2c,所以c<-18.
所以c的取值范围为(-∞,-18)∪(54,+∞).
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方法点睛
不等式恒成立时,求参数的取值范围问题的常用方法:先分离参数,再转化为求函数的最值问题.在求函数最值时,可以借助导数求解.
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探究三
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A.x=e为函数f(x)的极大值点
B.x=e为函数f(x)的极小值点
解析:f'(x)=
,故当0e时,函数单调递减,故x=e为函数的极大值点.
答案:A
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2.函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( )
A.5,-15
B.5,-4
C.-4,-15
D.5,-16
解析:由f'(x)=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2)=0,得x=-1或x=2.
因为f(0)=5,f(2)=-15,f(3)=-4,
所以f(2)所以f(x)max=f(0)=5,f(x)min=f(2)=-15.
答案:A
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3.已知函数f(x)=2ef'(e)ln
x-
e是自然对数的底数),则f(x)的极大值为( )
A.2e-1
B.-
C.1
D.2ln
2
∴x∈(0,2e)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
x∈(2e,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
∴f(x)的极大值为f(2e)=2ln
2e-2=2ln
2,选D.
答案:D
探究一
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4.(2020江西靖安中学高二月考(理))函数f(x)=ln
x-x的极大值是 .?
解析:f(x)的定义域为(0,+∞),
∵f(x)=ln
x-x,∴f'(x)=
-1.
令f'(x)=0,解得x=1.
当00;当x>1时,f'(x)<0,
∴f(x)递增区间是(0,1],递减区间是[1,+∞),
故f(x)在x=1处取得极大值,极大值为f(1)=ln
1-1=-1.
答案:-1
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5.(2019湖北武汉高三月考)设函数f(x)=ex+x2-ax,若x=0是f(x)的极值点,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为 .?
解析:由已知,得f'(x)=ex+2x-a,所以f'(0)=1-a=0,得a=1,所以f'(1)=e+2-1=e+1.
答案:e+1
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6.已知函数f(x)=2x3-6x2+m(m∈R)在区间[-2,2]上有最大值3,求它在[-2,2]上的最小值.
解:f'(x)=6x2-12x=6x(x-2),
在(-2,2)上,只有x=0是f(x)的极值点,且为极大值点,
∴f(x)极大值=f(0)=m.
又f(-2)=-16-24+m=m-40,
f(2)=16-24+m=m-8.
容易判断m-40∴f(x)min=m-40=-37,即最小值是-37.