第六章导数及其应用
6.3 利用导数解决实际问题
课后篇巩固提升
基础达标练
1.某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁,若使砌壁所用的材料最省,堆料场的长和宽应分别为(单位:米)( )
A.32,16
B.30,15
C.40,20
D.36,18
解析要使材料最省,则要求新砌的墙壁的总长最短,设场地宽为x米,则长为米,因此新墙总长L=2x+(x>0),则L'=2-.令L'=0,得x=16或x=-16(舍去).此时长为=32(米),可使L最短.
答案A
2.将8分为两个非负数之和,使两个非负数的立方和最小,则应分为( )
A.2和6
B.4和4
C.3和5
D.以上都不对
解析设一个数为x,则另一个数为8-x,则其立方和y=x3+(8-x)3=83-192x+24x2(0≤x≤8),y'=48x-192.令y'=0,即48x-192=0,解得x=4.当0≤x<4时,y'<0;当4
0.所以当x=4时,y最小.
答案B
3.(2020东海第二中学高二月考)如图,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的底面边长为( )时,其容积最大.
A.
B.
C.
D.
解析设正六棱柱容器的底面边长为x,则正六棱柱容器的高为(1-x),所以正六棱柱容器的容积为V(x)=(x+2x)·x·(1-x)=(-x3+x2),
所以V'(x)=-x2+x,令V'(x)=0,得x=0(舍去)或x=,则在0,上,V'(x)>0;在,1上,V'(x)<0,所以V(x)在0,上单调递增,在,1上单调递减,所以当x=时,V(x)取得最大值.
答案B
4.某公司生产某种产品,固定成本为20
000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总营业收入R与年产量x的关系是R(x)=
则总利润最大时,每年生产的产品是( )
A.100
B.150
C.200
D.300
解析由题意,得总成本函数为C(x)=20
000+100x,总利润P(x)=R(x)-C(x)=
所以P'(x)=令P'(x)=0,得x=300,易知x=300时,总利润P(x)最大.
答案D
5.(2020四川树德中学高二期中)已知球体的半径为3,当球内接正四棱锥的体积最大时,正四棱锥的高和底面边长的比值是( )
A.1
B.
C.
D.2
解析如
图,△PAC是正四棱锥P-ABCD的对角面,其外接圆是四棱锥外接球的大圆,O是圆心(球心),设正四棱锥底面边长为a,则AC=a,OA=OP=3,设OE=x(0则由AO2=OE2+AE2,得x2+a2=9,a2=18-2x2,PE=3+x,S四边形ABCD=18-2x2,
V=S四边形ABCD·PE=(18-2x2)(3+x)=(-x3-3x2+9x+27),
V'=(-3x2-6x+9)=-2(x-1)(x+3),当00,V单调递增,当1∴当x=1时,V取得极大值也是最大值Vmax=.
此时高PE=4,a==4,=1.故选A.
答案A
6.电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y=x3-x2-40x(x>0),为使耗电量最小,则其速度应定为 .?
解析由题设,知y'=x2-39x-40,
令y'>0,解得x>40或x<-1,
故函数y=x3-x2-40x(x>0)在(40,+∞)上单调递增,在(0,40)上单调递减.∴当x=40时,y取得最小值.由此得为使耗电量最小,则其速度应定为40.
答案40
7.(2020山东省实验中学高二期中)某商场销售某种商品,该商品的成本为3元/千克,每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+5(x-6)2,其中3解析设商场每日销售该商品所获得的利润为L元,则L=y(x-3)=+5(x-6)2(x-3)=5x3-75x2+360x-539(30,得3答案4 21
8.
(2020江苏)某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底O在水平线MN上,桥AB与MN平行,OO'为铅垂线(O'在AB上).经测量,左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO'的距离a(米)之间满足关系式h1=a2;右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与F到OO'的距离b(米)之间满足关系式h2=-b3+6b.已知点B到OO'的距离为40米.
(1)求桥AB的长度.
(2)计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD和EF,且CE为80米,其中C,E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元),桥墩CD每米造价k(万元)(k>0),O'E为多少米时,桥墩CD与EF的总造价最低?
解(1)设AA1,BB1,CD1,EF1都与MN垂直,A1,B1,D1,F1是相应垂足.由条件知,当O'B=40时,BB1=-×403+6×40=160,则AA1=160.由O'A2=160,得O'A=80.
所以AB=O'A+O'B=80+40=120(米).
(2)以O为原点,OO'为y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示).
设F(x,y2),x∈(0,40),则y2=-x3+6x,
EF=160-y2=160+x3-6x.
因为CE=80,所以O'C=80-x.
设D(x-80,y1),则y1=(80-x)2,
所以CD=160-y1=160-(80-x)2=-x2+4x.
记桥墩CD和EF的总造价为f(x),则f(x)=k
=k(0f'(x)=kx(x-20),
令f'(x)=0,得x=20.
x
(0,20)
20
(20,40)
f'(x)
-
0
+
f(x)
↘
极小值
↗
所以当x=20时,f(x)取得最小值.
答:(1)桥AB的长度为120米;
(2)当O'E为20米时,桥墩CD和EF的总造价最低.
9.某商店经销一种商品,每件产品的成本为30元,并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元(a为常数,2≤a≤5)的税收.设每件产品的日售价为x元(35≤x≤41),根据市场调查,日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例.已知每件产品的日售价为40元时,日销售量为10件.
(1)求该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式;
(2)当每件产品的日售价为多少元时,该商品的日利润L(x)最大,并求出L(x)的最大值.
解(1)设日销售量为,则=10,
∴k=10e40,则日售量为件.则日利润L(x)=(x-30-a)=10e40·;
答:该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式为L(x)=10e40·.
(2)L'(x)=10e40·.
①当2≤a≤4时,33≤a+31≤35,
当35∴当x=35时,L(x)取最大值为10(5-a)e5;
②当4令L'(x)=0,得x=a+31,易知当x=a+31时,L(x)取最大值为10e9-a.
综上,得L(x)max=
答:当2≤a≤4时,当每件产品的日售价35元时,L(x)取最大值为10(5-a)e5;当4能力提升练
1.(2019湖南高三三模)某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元,每年最大规模的种植量是8万斤,每种植一斤藕,成本增加0.5元.如果销售额函数是f(x)=-x3+ax2+x(x是莲藕种植量,单位:万斤;销售额的单位:万元,a是常数),若种植2万斤,利润是2.5万元,则要使利润最大,每年需种植莲藕( )
A.8万斤
B.6万斤
C.3万斤
D.5万斤
解析设销售的利润为g(x),由题意,得g(x)=-x3+ax2+x-1-x,x∈(0,8],
即g(x)=-x3+ax2-1.当x=2时,g(2)=-1+a-1=,解得a=2,故g(x)=-x3+x2-1,g'(x)=-x2+x=-x(x-6),
当x∈(0,6)时,g'(x)>0,当x∈(6,8)时,g'(x)<0,所以函数g(x)在(0,6)上单调递增,在(6,8)上单调递减,所以x=6时,利润最大,故选B.
答案B
2.(2019北京市八一中学高二期中)已知等腰梯形的上底长为7,腰长为2,那么该等腰梯形面积最大时的下底长为( )
A.7.5
B.8
C.8.5
D.9
解析根据题意,绘图如下:
由题意,可知AB=7,AD=2,不妨设DE=x,x∈(0,2),
故可得AE=,DC=7+2x,则梯形的面积
f(x)=(7+x)
=,
令h(x)=-x4-14x3-45x2+56x+196,
故可得h'(x)=-4x3-42x2-90x+56,
令g(x)=-4x3-42x2-90x+56,
则g'(x)=-12x2-84x-90,
因为x∈(0,2),容易知g'(x)<0恒成立,
故可得h'(x)在区间(0,2)上单调递减,
又h'(0)>0,h'(2)<0,h'=0,故可得h(x)在区间0,上单调递增,在,2上单调递减,故当且仅当x=时,h(x)取得最大值,则f(x)也取得最大值.此时,梯形的底边长DC=7+2x=8.故选B.
答案B
3.(2019云南省云南师大附中高三月考)如图所示,一个仓库设计由上部屋顶和下部主体两部分组成,屋顶的形状是四棱锥P-ABCD,四边形ABCD是正方形,点O为正方形ABCD的中心,PO⊥平面ABCD,下部的形状是长方体ABCD-A'B'C'D'.已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比,比例系数为k(k>0),下部主体造价与高度成正比,比例系数为8k.若欲造一个上、下总高度为10
m,AB=8
m的仓库,则当总造价最低时,PO=( )
A.
m
B.
m
C.4
m
D.4
m
解析如
图,设BC的中点为E,连接PE,OE,则OE=4.
由于PO⊥平面ABCD,则有PO⊥OE.
在Rt△POE中,设∠PEO=θ,则有PO=4tan
θ,PE=,
所以上部屋顶面积为S=4S△PBC=,下部主体的高度为h=10-4tan
θ,
所以仓库的总造价为y=S·k+h·8k=32k·+80k.
设f(θ)=0<θ<,所以f'(θ)=.
令f'(θ)=0,得sin
θ=,所以θ=.
则当0<θ<时,f'(θ)<0,f(θ)在0,上单调递减;
当<θ<时,f'(θ)>0,f(θ)在上单调递增;
所以当θ=时,f(θ)有最小值,此时总造价最低,PO=
m.
答案B
4.(2020高台第一中学高二期中)如图所示,某几何体由底面半径和高均为1的圆柱与半径为1的半球对接而成,在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体,且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行,则小圆柱体积的最大值为 .?
解析根
据题意,画出图形:
由题意,设小圆柱体底面半径为cos
θ,
则高为1+sin
θ,θ∈0,,
小圆柱体体积V=π·cos2θ·(1+sin
θ).
设sin
θ=t,t∈(0,1),
则V=π·(1-t2)(1+t)=π·(-t3-t2+t+1).
则V'=π·(-3t2-2t+1)=π·(-3t+1)(t+1).
当t=时,Vmax=.
答案
5.
如图所示,内接于抛物线y=1-x2的矩形ABCD,其中A,B在抛物线上运动,C,D在x轴上运动,则此矩形的面积的最大值是 .?
解析设CD=x,则点C的坐标为,
点B的坐标为,
∴矩形ABCD的面积S=f(x)=x·=-+x,x∈(0,2).
由f'(x)=-x2+1=0,
得x1=-(舍),x2=,
∴x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增,x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
故当x=时,f(x)取最大值.
答案
6.(2019佛山顺德区容山中学高二开学考试)已知某公司生产一种零件的年固定成本为5万元,每生产1千件,成本再增加3万元.假设该公司年内共生产该零件x千件并且全部销售完,每1千件的销售收入为D(x)万元,且D(x)=为使公司获得最大利润,则应将年产量定为 千件(注:年利润=年销售收入-年总成本).?
解析设年利润为W(x),则W(x)=xD(x)-(3x+5)=
当0所以W(x)在(0,6)上单调递增,在(6,10]上单调递减,最大值为W(6)=3.6×6--5=9.4万元.
当x>10时,W(x)=190--3x=190-+3x≤190-2=190-2×75=40,
当且仅当=3x,即x=25时,等号成立.
综上所述,当x=25千件时,年利润最大.
答案25
7.(2019安徽合肥高三二模)已知正三棱锥的体积为,则其表面积的最小值为 .?
解析设
正三棱锥的底面边长为a,高为h,如图,过顶点S作底面ABC的垂线,垂足为O,过O作OD垂直AB于D,连接SD,∴AB=a,SO=h.
∴SO⊥底面ABC,AB?底面ABC,
∴AB⊥SO,SO⊥OD.
又∵AB⊥OD,SO∩OD=O,∴AB⊥平面SOD.
又∵SD?平面SOD,∴AB⊥SD,即SD为△SAB的高,三棱锥体积×a2×h,得a2h=12,
又O为底面中心,∴OD=ABsin
60°=a,SD=,
三棱锥的表面积S=a2+3××a×a2+,将a2=代入得S==3.
∴S'=3,令S'=0,得h3-2-2=0,令=t(t>0),上式可化为t2-2t-3=0,解得t=3,或t=-1(舍),
∴=3,得h=2.
当02时,S'>0,故S在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,故当h=2时,表面积最小,此时S=3=6.
答案6
8.
如图所示,有甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线海岸的岸边A处,乙厂与甲厂在海的同侧,乙厂位于离海岸40
km的B处,乙厂到海岸的垂足D与A相距50
km.两厂要在此岸边A,D之间合建一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元,则供水站C建在何处才能使水管费用最省?
解设C点距D点x
km,则AC=50-x(km),
所以BC=(km).
又设总的水管费用为y元,
依题意,得y=3a(50-x)+5a(0y'=-3a+.令y'=0,解得x=30.
在(0,50)上,y只有一个极小值点,根据问题的实际意义,函数在x=30
km处取得最小值,此时AC=50-x=20(km).故供水站建在A,D之间距甲厂20
km处,可使水管费用最省.
9.(2020江西新余一中高二月考)某同学大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查,生产一小型电子产品需投入固定成本2万元,每生产x万件,需另投入流动成本C(x)万元,当年产量小于7万件时,C(x)=x2+2x(万元);当年产量不小于7万件时,C(x)=6x+ln
x+-17(万元).已知每件产品售价为6元,假设该同学生产的商品当年能全部售完.
(1)写出年利润p(x)(万年)关于年产量x(万件)的函数解析式.(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)
(2)当年产量约为多少万件时,该同学的这一产品所获年利润最大?最大年利润是多少?(取e3=20)
解(1)每件产品售价为6元,则x万件产品销售收入为6x万元.
依题意,得当0当x≥7时,p(x)=6x-6x+ln
x+-17-2=15-ln
x-.
∴p(x)=
(2)当0∴当x=6时,p(x)的最大值为p(6)=10(万元).
当x≥7时,p(x)=15-ln
x-,
∴p'(x)=-,
∴当7≤x∴当x=e3时,p(x)取最大值p(e3)=15-ln
e3-1=11(万元).
∵11>10,
∴当x=e3≈20时,p(x)取得最大值11万元,
即当年产量约为20万件,该同学的这一产品所获年利润最大,最大利润为11万元.
素养培优练
(2020江苏高三模拟)为了提升学生“数学建模”的核心素养,某校数学兴趣活动小组指导老师给学生布置了一项探究任务:如图,有一张边长为27
cm的等边三角形纸片ABC,从中裁出等边三角形纸片A1B1C1作为底面,从剩余梯形ABB1A1中裁出三个全等的矩形作为侧面,围成一个无盖的三棱柱(不计损耗).
(1)若三棱柱的侧面积等于底面积,求此三棱柱的底面边长;
(2)当三棱柱的底面边长为何值时,三棱柱的体积最大?
解设三棱柱的底面边长为x
cm,即A1C=x,
则A1A=27-x.
因为△ABC为等边三角形,
所以三棱柱的高为×(27-x)=(27-x).
(1)因为三棱柱的底面积为×x×x×x2,
侧面积为3×x×(27-x)=(27x-x2),
所以x2=(27x-x2),
解得x=18或x=0(舍去).
即三棱柱的底面边长为18
cm.
(2)三棱柱的体积V=x2×(27-x)=(27x2-x3).
因为x>0,(27-x)>0,所以0因为V'=(54x-3x2)=x(18-x),
所以当00,V单调递增;
当18所以当x=18时,V取到极大值,也是最大值,
Vmax=(27×182-183)=.
即当底面边长为18
cm时,三棱柱的体积最大,为
cm3.(共32张PPT)
6.3 利用导数解决实际问题
激趣诱思
知识点拨
科学家在健康志愿者和严重直立性低血压患者两组实验中研究了米多君的药代动力学.健康志愿者口服米多君迅速并几乎完全吸收.然后,药品在各种组织中(包括消化道、肝脏、循环系统)经酶解广泛代谢成其药理活性代谢物脱甘氨酸米多君.右图是随时间变化,血液中米多君浓度变化曲线,问何时药的浓度达峰值?
激趣诱思
知识点拨
一、最优化问题
生活中,经常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等实际问题,这些问题通常称为最优化问题.
二、利用导数解决生活中的最优化问题的一般步骤
1.分析实际问题中各量之间的关系.列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x),根据实际意义确定定义域.
2.求函数y=f(x)的导数f'(x).解方程f'(x)=0得出定义域内的实根,确定极值点.
3.比较函数在区间端点和极值点处的函数值,获得所求的最大(小)值.
4.还原到原实际问题中作答.
激趣诱思
知识点拨
名师点析
用导数解决实际问题的基本过程
解应用题时,首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽象成数学问题——就是从实际问题出发,抽象概括,利用数学知识建立相应的数学模型——再利用数学知识对数学模型进行分析、研究,得到数学结论;然后再把数学结论返回到实际问题中进行检验.其思路如下:
激趣诱思
知识点拨
(1)审题:阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论,找出问题的主要关系.
(2)建模:将文字语言转化成数学语言,利用数学知识建立相应的数学模型.
(3)解模:把数学问题化归为常规问题,选择合适的数学方法求解.
(4)对结果进行验证评估,定性、定量分析,作出正确的判断,确定其答案.
值得注意的是,在实际问题中,有时会遇到函数在定义区间内只有一个点使f'(x)=0的情形,如果函数在这个点有极大(小)值,那么不与端点值比较也可以确定这就是最大(小)值.这也适用于开区间或无穷区间.
激趣诱思
知识点拨
微练习
有一个边长分别为8与5的长方形,在各角剪去相同的小正方形,把四边折起做成一个无盖纸盒,要使纸盒的容积最大,剪去的小正方形的边长应为多少?
∴当x=1时,容积V取最大值为18.即剪去的小正方形的边长为1时,纸盒的容积最大.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
利润最大、效率最高问题
例1某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=
+10(x-6)2,其中3(1)求a的值;
(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
思路分析(1)根据x=5时,y=11求a的值.
(2)把每日的利润表示为销售价格x的函数,用导数求最大值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
从而,f'(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)·(x-6).
于是,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(3,4)
4
(4,6)
f'(x)
+
0
-
f(x)
↗
极大值42
↘
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点,所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42.故当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.
反思感悟
利润最大问题的求解方法
利用导数解决利润最大问题,关键是要建立利润的函数关系式,然后借助导数研究函数的最大值,注意函数定义域的限制以及实际意义.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克,1(a,b为常数);当4-100.已知当销售价格为2元/千克时,每日可销售出该特产800千克;当销售价格为3元/千克时,每日可售出150千克.
(1)求a,b的值,并确定y关于x的函数解析式;
(2)若该商品的销售成本为1元/千克,试确定销售价格x的值,使店铺每日销售该特产所获利润f(x)最大.(
≈2.65)
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)由题意,当x=2时,y=800,∴a+b=800.
又∵x=3时,y=150,∴b=300,可得a=500.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
∴x=5.3时,有最大值1
840.
∵1
800<1
840,∴当x=5.3时,f(x)有最大值1
840,即当销售价格为5.3元时,店铺所获利润最大.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
费用最低(用料最省)问题
例2为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=
(0≤x≤10).若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式;
(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.
思路分析根据题设条件构造函数关系,再应用导数求最值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
当00.
故x=5是f(x)的最小值点,对应的最小值为f(5)=6×5+
=70,即当隔热层修建5
cm厚时,总费用达到最小值70万元.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
费用最低问题的求解策略
(1)用料最省、成本(费用)最低问题是日常生活中常见的问题之一,解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式,准确求导,结合实际作答.
(2)利用导数的方法解决实际问题,当在定义区间内只有一个点使f'(x)=0时,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道在这个点取得最大(小)值.
探究一
探究二
探究三
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变式训练1一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时10千米时,燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元,问轮船的速度是多少时,航行1千米所需的费用总和最少?
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探究三
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解:设速度为每小时v千米时,燃料费是每小时p元,那么由题设,知p=kv3,
令q'=0,解得v=20.
当v<20时,q'<0;
当v>20时,q'>0,所以当v=20时,q取得最小值.
即当速度为20千米/时时,航行1千米所需的费用总和最少.
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面积、体积最大问题
例3用总长为14.8
m的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5
m,那么高为多少时容器的容积最大,并求出它的最大容积.
思路分析可设容器底面短边的长为x
m,那么长边的长以及高就可用x表示出来,从而得到容积与x的函数关系式,然后用导数求得最大值.
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解:设容器底面短边的长为x
m,
则另一边长为(x+0.5)m,
由题意知x>0,x+0.5>0,
且3.2-2x>0,∴0设容器的容积为V(x)
m3,
则有V(x)=x(x+0.5)(3.2-2x)
=-2x3+2.2x2+1.6x(0∴V(x)'=-6x2+4.4x+1.6.
令V(x)'=0,有15x2-11x-4=0,
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∴当x∈(0,1)时,V'(x)>0,V(x)为增函数;
x∈(1,1.6)时,V'(x)<0,V(x)为减函数.
∴V(x)在x∈(0,1.6)时取极大值V(1)=1.8,这个极大值就是V(x)在x∈(0,1.6)时的最大值,即V(x)max=1.8,这时容器的高为1.2
m.
∴当高为1.2
m时,容器的容积最大,最大值为1.8
m3.
反思感悟
面积、体积最大问题的求解策略
求面积、体积的最大值问题是生活、生产中的常见问题,解决这类问题的关键是根据题设确定出自变量及其取值范围,利用几何性质写出面积或体积关于自变量的函数,然后利用导数的方法来解.
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变式训练2周长为20
cm的矩形,绕一条边旋转成一个圆柱,则圆柱体积的最大值为 cm3.?
解析:设圆柱半径对应的矩形的一边长为x
cm,则另一边长为(10-x)cm(0由题意可知圆柱体积为V=πx2(10-x)=10πx2-πx3.
∴V'=20πx-3πx2,
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导数在实际问题中的应用
典例统计显示,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量(升)与行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为
(0(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?
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令h'(x)=0,得x=80,当x∈(0,80)时,h'(x)<0,h(x)是减函数;当x∈(80,120)时,h'(x)>0,h(x)是增函数.∴当x=80时,h(x)取到极小值h(80)=11.25,也是最小值.即当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升.
方法点睛
在求实际问题中的最大值或最小值时,一般先设自变量、因变量、建立函数关系式,并确定其定义域,再利用求函数最值的方法求解,注意结果应与实际情况相符合.用导数求实际问题中的最大(小)值,如果函数在区间内只有一个极值点,那么根据实际意义可知该极值点就是最值点.
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1.一个箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)=x2
(0A.30
B.40
C.50
D.60
答案:B
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2.做一个容积为256
cm3的方底无盖水箱,要使用料最省,水箱的底面边长为( )
A.5
cm
B.6
cm
C.7
cm
D.8
cm
答案:D
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3.已知某厂生产某种商品x(百件)的总成本函数为C(x)=
x3-6x2+29x+15(万元),总收益函数为R(x)=20x-x2(万元),则生产这种商品所获利润的最大值为 万元.?
所以P'(x)=-x2+10x-9,由P'(x)=0,得x=9或x=1,所以当19时,P(x)单调递减.所以当x=9时,P(x)有极大值,也即最大值P(9)=66.
答案:66
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4.(2020河北省高二期中)某生产厂家生产一种产品的固定成本为1万元,并且每生产1百台产品需增加投入0.5万元.已知销售收入R(x)(万元)满足
(其中x是该产品的月产量,单位:百台,0探究一
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当x∈(0,6)时,g'(x)>0,当x∈(6,8)时,g'(x)<0,
所以g(x)在(0,6)上单调递增;在(6,8)上单调递减.
所以x=6时,g(x)取得极大值,也是最大值,
所以当公司每月生产6百台时,获得利润最大.
答案:6
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5.某工厂生产某种产品,已知该产品的月产量x(吨)与产品的价格P(元/吨)之间的关系为P=24
200-
x2,且生产x吨的成本为R=50
000+200x元.问每月生产多少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润=收入-成本)
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解得x1=200,x2=-200(舍去).
因为f(x)在[0,+∞)内只有一个极大值点x=200使f'(x)=0,故它就是
答:每月生产200吨产品时利润达到最大,最大利润为315万元.