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章末整合
专题一 导数的几何意义?
例1已知函数f(x)=x3+x-16.
(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程;
(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;
(3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-
x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.
解:(1)∵f'(x)=(x3+x-16)'=3x2+1,
∴f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f'(2)=13.
∴切线的方程为y=13(x-2)+(-6),即y=13x-32.
(2)(方法一)设切点为(x0,y0),
∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26.
k=3×(-2)2+1=13.
∴直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).
解得x0=-2,
∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26.
k=3×(-2)2+1=13.
∴直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).
即切点为(1,-14)或(-1,-18).
切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.
即y=4x-18或y=4x-14.
方法技巧导数的几何意义的解题策略
(1)利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y-y0=f'(x0)(x-x0),明确“过点P(x0,y0)的曲线y=f(x)的切线方程”与“在点P(x0,y0)处的曲线y=f(x)的切线方程”的异同点.
(2)围绕着切点有三个等量关系:切点(x0,y0),则k=f'(x0),y0=f(x0),(x0,y0)满足切线方程.
变式训练1直线y=kx+b与曲线y=x3+ax+1相切于点(2,3),则b= .?
解析:∵y=x3+ax+1过点(2,3),
∴a=-3,∴y'=3x2-3,∴k=3×4-3=9,
∴b=y-kx=3-9×2=-15.
答案:-15
专题二 函数的单调性与导数?
例2若函数f(x)=2sin
xcos
x-4x-msin
x在[0,2π]上单调递减,则实数m的取值范围为( )
A.(-2,2)
B.[-2,2]
C.(-1,1)
D.[-1,1]
解析:依题意,f(x)=2sin
xcos
x-4x-msin
x=sin
2x-4x-msin
x,
所以f'(x)=2(2cos2x-1)-4-mcos
x=4cos2x-mcos
x-6≤0对任意x∈[0,2π]恒成立.
设t=cos
x∈[-1,1],g(t)=4t2-mt-6,则g(t)≤0在[-1,1]上恒成立,
解得-2≤m≤2.
答案:B
方法技巧利用导数求解参数范围的步骤
(1)对含参数的函数f(x)求导,得到f'(x).
(2)若函数f(x)在(a,b)上单调递增,则f'(x)≥0恒成立;若函数f(x)在(a,b)上单调递减,则f'(x)≤0恒成立,得到关于参数的不等式,解出参数范围.
(3)验证参数范围中取等号时,是否恒有f'(x)=0.若f'(x)=0恒成立,则函数f(x)在(a,b)上为常函数,舍去此参数值.
解:f'(x)=x2-ax+a-1.
令f'(x)=0,解得x=1或x=a-1.
当a-1≤1,即a≤2时,函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,不合题意.
当a-1>1,即a>2时,函数f(x)在(-∞,1)上为增函数,在(1,a-1)上为减函数,在(a-1,+∞)上为增函数.
所以4≤a-1≤6,即5≤a≤7.
故a的取值范围是[5,7].
专题三 函数的极值、最值与导数?
例3已知函数f(x)=x3+ax2+b的图像上一点P(1,0),且在点P处的切线与直线3x+y=0平行.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在区间[0,t](0
解:(1)因为f'(x)=3x2+2ax,曲线在P(1,0)处的切线斜率为f'(1)=3+2a,即3+2a=-3,a=-3.
又函数过(1,0)点,即-2+b=0,b=2.
所以a=-3,b=2,f(x)=x3-3x2+2.
(2)由f(x)=x3-3x2+2,得f'(x)=3x2-6x.
由f'(x)=0,得x=0或x=2.
①当0②当2x
0
(0,2)
2
(2,t)
t
f'(x)
?
-
0
+
?
f(x)
2
↘
-2
↗
t3-3t2+2
f(x)min=f(2)=-2,f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个.
f(t)-f(0)=t3-3t2=t2(t-3)<0,
所以f(x)max=f(0)=2.
规律方法利用导数求极值与最值的方法
(1)求极值时一般需确定f'(x)=0的点和单调性,对于常见连续函数,先确定单调性即可得极值点.当连续函数的极值点只有一个时,相应的极值点必为函数的最值点.
(2)求闭区间上可导函数的最值时,对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断,只需要直接与端点的函数值比较即可获得.
变式训练3已知函数f(x)=ln
x+ax2+(a+2)x,a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当a<0时,若关于x的不等式f(x)≤-
+b-1恒成立,求实数b的取值范围.
当t∈(0,1)时,g'(t)>0,g(t)单调递增;
当t∈(1,+∞)时,g'(t)<0,g(t)单调递减.
所以g(t)的最大值为g(1)=-1,得b≥-1,所以实数b的取值范围是
[-1,+∞).
专题四 生活中的优化问题?
例4某超市销售某种商品,据统计,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克,其中4≤x≤15)满足:当4≤x≤9时,y=a(x-9)2+
(a,b为常数);当9≤x≤15时,y=-5x+85.已知当销售价格为6元/千克时,每日售出该商品170千克.
(1)求a,b的值,并确定y关于x的函数解析式;
(2)若该商品的销售成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使店铺每日销售该商品所获利润f(x)最大.
(2)由(1)知,当4≤x<9时,每日销售利润
=10(x3-21x2+135x-243)+240,
∴f'(x)=30(x-5)(x-9).
当4≤x<5时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
当5∴x=5是函数f(x)在(4,9)上的唯一极大值点,
∴f(x)max=f(5)=10×42×2+240=560;
当9≤x≤15时,
每日销售利润f(x)=(-5x+85)(x-3)=-5(x-10)2+245,
∴f(x)max=f(10)=245.
∵560>245,∴销售价格为5元/千克时,每日利润最大.
方法技巧解决优化问题的步骤
(1)分析问题中各个数量之间的关系,建立适当的函数模型,并确定函数的定义域.
(2)通过研究相应函数的性质,如单调性、极值与最值,提出优化方案,使问题得以解决.在这个过程中,导数是一个有力的工具.
(3)验证数学问题的解是否满足实际意义.
变式训练4如图,某小区内有两条相互垂直的道路l1与l2,平面直角坐标系的第一象限有块空地OAB,其边界OAB是函数y=f(x)的图像.前一段OA是函数y=k
图像的一部分,后一段AB是一条线段,测得A到l1的距离为8米、到l2的距离为16米,OB长为32米.现要在此地建一个社区活动中心,平面图为直角梯形PQBD(其中PQ,DB为两个底边).
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)设梯形的高为t米,则当t为何值时,社区活动中心的占地面积最大.第六章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.如果物体的运动方程为s(t)=+2t(t>1),其中s的单位是米,t的单位是秒,那么物体在2秒末的瞬时速度是
( )
A.米/秒
B.米/秒
C.米/秒
D.米/秒
解析∵s(t)=+2t,∴s'(t)=-+2.故物体在2秒末的瞬时速度s'(2)=-+2=(米/秒).
答案A
2.若函数f(x)=x3-f'(1)·x2-x,则f'(1)的值为
( )
A.0
B.2
C.1
D.-1
解析∵f(x)=x3-f'(1)·x2-x,
∴f'(x)=x2-2f'(1)·x-1,
∴f'(1)=1-2f'(1)-1,∴f'(1)=0.
答案A
3.已知函数f(x)=x4+ax2+1,若曲线y=f(x)在点(-1,a+2)处切线的斜率为8,则a=( )
A.9
B.6
C.-9
D.-6
解析f'(x)=4x3+2ax,由题意,知f'(-1)=-4-2a=8,∴a=-6.故选D.
答案D
4.函数f(x)=exsin
x在区间上的值域为( )
A.[0,]
B.(0,)
C.[0,)
D.(0,]
解析f'(x)=ex(sin
x+cos
x).
∵x∈,f'(x)>0,
∴f(x)在上是单调增函数,
∴f(x)min=f(0)=0,f(x)max=f.
答案A
5.(2020周口中英文学校高二月考)已知函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个递增区间是( )
A.(2,3)
B.(3,+∞)
C.(2,+∞)
D.(-∞,3)
解析f'(x)=6x2+2ax+36.
因为f(x)在x=2处有极值,
所以f'(2)=0,解得a=-15.
令f'(x)>0,得x>3或x<2.
所以从选项看函数的一个递增区间是(3,+∞).
答案B
6.若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为( )
A.-1
B.-2e-3
C.5e-3
D.1
解析f'(x)=[x2+(a+2)x+a-1]·ex-1,
则f'(-2)=[4-2(a+2)+a-1]·e-3=0,
解得a=-1,则f(x)=(x2-x-1)·ex-1,f'(x)=(x2+x-2)·ex-1,令f'(x)=0,得x=-2或x=1,
当x<-2或x>1时,f'(x)>0,
当-2则f(x)极小值为f(1)=-1.
答案A
7.设函数f(x)=x-ln
x(x>0),则y=f(x)( )
A.在区间,(1,e)内均有零点
B.在区间,(1,e)内均无零点
C.在区间内有零点,在区间(1,e)内无零点
D.在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点
解析f'(x)=,令f'(x)=0,得x=3,当00,f(e)=-1<0,f+1>0,所以y=f(x)在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点.
答案D
8.(2020山西高二月考)f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,xf'(x)-f'(x)<0,且f(-3)=0,则不等式>0的解集为( )
A.(-∞,-3)∪(3,+∞)
B.(-∞,-3)∪(0,3)
C.(-3,3)
D.(-3,0)∪(3,+∞)
解析设函数g(x)=,则g'(x)=,
当x<0时,xf'(x)-f(x)<0,所以此时g'(x)=<0,即函数g(x)单调递减.
又函数g(x)=为奇函数,
所以函数g(x)在x>0时单调递减,且f(3)=0.
画出函数g(x)=的草图(只体现单调性),
则不等式>0的解集为0即不等式的解集为(-∞,-3)∪(0,3).
答案B
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
9.(2019山东高二期中)设函数f(x)=ex-x+,点P是曲线y=f(x)上的任意一点,P点处的切线的倾斜角为α,则角α的取值范围包含下列哪些( )
A.
B.
C.
D.
解析f'(x)=ex->-.
设切线的倾斜角为α,则tan
α>-,
故可得α∈.
故选CD.
答案CD
10.(2020福建连城第一中学高二期中)如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图像,则下面判断正确的有( )
A.在(-2,1)上f(x)是增函数
B.在(3,4)上f(x)是减函数
C.在x=-1处取得极小值
D.在x=1处取得极大值
解析根据导函数的正负,得到原函数的增减性,由图可得如下数据:
x
(-3,
-1)
-1
(-1,
2)
2
(2,4)
4
(4,
+∞)
f'(x)
-
0
+
0
-
0
+
f(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘
极小值
↗
在(3,4)上f(x)是减函数,在x=-1处取得极小值.
正确的有BC.
答案BC
11.(2020福建连城第一中学高二期中)已知函数f(x)=,则下列结论正确的是( )
A.函数f(x)存在两个不同的零点
B.函数f(x)既存在极大值又存在极小值
C.当-eD.若x∈[t,+∞)时,f(x)max=,则t的最小值为2
解析由f(x)=0,得x2+x-1=0,解得x=,所以A正确.
f'(x)=-=-,当f'(x)>0时,-12.所以(-∞,-1),(2,+∞)是函数的单调递减区间,(-1,2)是函数的单调递增区间,所以f(-1)是函数的极小值,f(2)是函数的极大值,所以B正确.
当x→+∞时,f(x)→0,根据B可知,函数的最小值是f(-1)=-e,再根据单调性可知,当-e由图像可知,t的最大值是2,所以D不正确.
故选ABC.
答案ABC
12.(2020山东省实验中学高二月考)设函数f(x)=,则下列说法正确的是( )
A.f(x)定义域是(0,+∞)
B.x∈(0,1)时,f(x)图像位于x轴下方
C.f(x)存在单调递增区间
D.f(x)有且仅有两个极值点
E.f(x)在区间(1,2)上有最大值
解析由题意,函数f(x)=满足解得x>0且x≠1,所以函数f(x)=的定义域为(0,1)∪(1,+∞),所以A不正确;由f(x)=,当x∈(0,1)时,ln
x<0,∴f(x)<0,所以f(x)在(0,1)上的图像都在x轴的下方,所以B正确;因为f'(x)=>0在定义域上有解,所以函数f(x)存在单调递增区间,所以C是正确的;由g(x)=ln
x-,则g'(x)=(x>0),所以g'(x)>0,函数g(x)单调递增,则函数f'(x)=0只有一个根x0,使得f'(x0)=0,当x∈(0,x0)时,f'(x)<0,函数单调递减,当x∈(x0,+∞)时,函数单调递增,所以函数只有一个极小值,所以D不正确;由g(x)=ln
x-,则g'(x)=(x>0),所以g'(x)>0,函数g(x)单调递增,且g(1)=-1<0,g(2)=ln
2->0,所以函数f(x)在(1,2)先减后增,没有最大值,所以E不正确,故选BC.
答案BC
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(2020武威第六中学高二月考)已知函数f(x)=2cos
x+sin
x,则f'的值为 .?
解析依题意,得f'(x)=-2sin
x+cos
x,故f'=-2sincos=-=-.
答案-
14.(2020湖南长郡中学高三下学期第二次适应性考试)过曲线y=x3-3x2上一点(2,-4)作曲线的切线,则切线方程为 .?
解析由题意可得y'=3x2-6x.
设该切线切点为(x0,y0),则切线斜率为3-6x0,因此切线方程为y=(3-6x0)(x-x0)+y0=(3-6x0)(x-x0)+-3.
又点(2,-4)在切线上,
∴(3-6x0)(2-x0)+-3=-4,
整理,得(2-x0)2(2x0-1)=0,
解得x0=2或x0=.
代入切线方程,化简得y=-4或y=-x+,
整理得,y=-4或9x+4y-2=0.
答案9x+4y-2=0或y=-4
15.用长为18
cm的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2∶1,则该长方体的长、宽、高分别为 时,其体积最大.?
解析设长、宽、高分别为2x,x,h,则4(2x+x+h)=18,h=-3x,
∴V=2x·x·h=2x2=-6x3+9x2,由V'=0,得x=1或x=0(舍去).
∴x=1是函数V在(0,+∞)上唯一的极大值点,也是最大值点,
故长、宽、高分别为2
cm,1
cm,
cm时,体积最大.
答案2
cm,1
cm,
cm
16.(2020山东济南高二期中)若f(x)=mln
x-x3+x2-4x+4在(2,+∞)上单调递减,则实数m的取值范围为 .?
解析∵f(x)=mln
x-x3+x2-4x+4(x>0),
∴f'(x)=-3x2+3x-4.
由于f(x)在(2,+∞)上单调递减,
即f'(x)≤0在(2,+∞)上恒成立,
即-3x2+3x-4≤0在(2,+∞)上恒成立,
则m≤3x3-3x2+4x在(2,+∞)上恒成立,
即m≤g(x)min在(2,+∞)上恒成立,
设g(x)=3x3-3x2+4x(x>2),
g'(x)=9x2-6x+4,知Δ=36-4×9×4<0,
∴x∈(2,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,
∴m≤g(x)min=g(2)=3×23-3×22+4×2=20,
∴m≤20,即实数m的取值范围为(-∞,20].
答案(-∞,20]
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)(2019湖北武汉高二期末)已知函数f(x)=+x2.
(1)求f(x)的递减区间;
(2)当x∈[-1,1]时,求f(x)的值域.
解(1)由函数f(x)=+x2,得f'(x)=x2+2x.
由f'(x)=x2+2x<0,解得x∈(-2,0).
即f(x)的递减区间为[-2,0].
(2)当f'(x)=x2+2x>0,解得x∈(-∞,-2)∪(0,+∞),
即f(x)在[-1,0]上单调递减,在[0,1]上单调递增.
所以f(0)≤f(x)≤max{f(-1),f(1)},且f(0)=0,f(-1)=,f(1)=,
故f(x)的值域为.
18.(本小题满分12分)设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R.已知f(x)在x=3处取得极值.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求曲线y=f(x)在点A(1,16)处的切线方程.
解(1)f'(x)=6x2-6(a+1)x+6a.
∵f(x)在x=3处取得极值,
∴f'(3)=6×9-6(a+1)×3+6a=0,解得a=3.
∴f(x)=2x3-12x2+18x+8.
(2)A点在f(x)上,由(1),可知f'(x)=6x2-24x+18,f'(1)=6-24+18=0,
∴切线方程为y=16.
19.(本小题满分12分)(2020广州育才中学高二月考)已知函数f(x)=x2-2ln
x.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求证:当x>2时,f(x)>3x-4.
解(1)依题意,知函数的定义域为{x|x>0},
∵f'(x)=2x-,
由f'(x)>0,得x>1;由f'(x)<0,得0∴f(x)的单调递增区间为[1,+∞),单调递减区间为[0,1].
(2)设g(x)=f(x)-3x+1=x2-2ln
x-3x+4,
∴g'(x)=2x--3=,
∵当x>2时,g'(x)>0,
∴g(x)在(2,+∞)上为增函数,
∴g(x)>g(2)=4-2ln
2-6+4>0,
∴当x>2时,x2-2ln
x>3x-4,
即当x>2时,f(x)>3x-4.
20.(本小题满分12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r
m,高为h
m,体积为V
m3.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/m2,底面的建造成本为160元/m2,该蓄水池的总建造成本为12
000π元(π为圆周率).
(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;
(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.
解(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh=200πrh(元),底面的总成本为160πr2元,所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元.
又根据题意200πrh+160πr2=12
000π,
所以h=(300-4r2),
从而V(r)=πr2h=(300r-4r3).
因为r>0,又由h>0可得r<5,
故函数V(r)的定义域为(0,5).
(2)因为V(r)=(300r-4r3),
所以V'(r)=(300-12r2).
令V'(r)=0,解得r1=5,r2=-5(因为r2=-5不在定义域内,舍去).
当r∈(0,5)时,V'(r)>0,故V(r)在(0,5)上为增函数;
当r∈(5,5)时,V'(r)<0,故V(r)在(5,5)上为减函数.
由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8.
即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大.
21.(本小题满分12分)(2020四川成都高三三模)已知函数f(x)=x-1+axln
x(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)函数g(x)=m(x+1)+f(x),当0解(1)因为f'(x)=a(ln
x+1)+1,
当a=0时,f'(x)=1>0,所以函数f(x)的单调递增区间是(0,+∞);
当a>0时,由f'(x)>0得x>,
所以函数f(x)的单调递增区间是[,+∞);
当a<0时,由f'(x)>0得0所以函数f(x)的单调递增区间是[0,].
(2)g(x)≥0,即m(x+1)+axln
x+x-1≥0,因为x>0,
所以m≥,令h(x)=,
①当x≥1时,因为0x≤0,
因此1-x-axln
x≤0,所以只需m≥0.
②当0x≤-xln
x,
所以h(x)≤,
因此只需h(x)≤≤m,即m+ln
x-+1≥0,构造函数p(x)=m+ln
x-+1,p'(x)=,
当m≥2时,p(x)在(0,m-1)上单调递减,在(m-1,+∞)上单调递增,
所以p(x)min=p(m-1)=m+2+ln(m-1)>0;
当m=1时,p(x)=ln
x+2,
则p=-3+2=-1<0,不满足题意;
当m=0时,p(x)=ln
x-+1,
则p=-e<0,故不满足题意.
综上可知,整数m的最小值为2.
22.(本小题满分12分)(2020山西太原高二月考)已知函数f(x)=aln
x+(a>0).
(1)求函数f(x)的极值.
(2)是否存在实数a,使得函数f(x)在[1,e]上的最小值为0?若存在,试求出a的值;若不存在,请说明理由.
解(1)由题意,知x>0,f'(x)=(a>0).
由f'(x)>0,得>0,解得x>,所以函数f(x)的单调递增区间为;
由f'(x)<0,得<0,解得0所以当x=时,函数f(x)取得极小值为f=aln+a=a-aln
a,无极大值.
(2)由(1),知函数f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为.
①当0<≤1,即a>1时,函数在[1,e]上为增函数,故函数f(x)的最小值为f(1)=aln
1+1=1,显然1≠0,故不满足条件;
②当1<a=a(1-ln
a),
由a(1-ln
a)=0,解得a=e或a=0(舍去),
而③当≥e,即0e+=a+,由a+=0,解得a=-,而0综上所述,这样的a不存在.