(共36张PPT)
习题课——等差数列习题课
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
等差数列的基本运算
例1(1)已知数列{an}中,a1=-7,an+1=an+2,则a1+a2+…+a17= .?
(2)已知数列{an}中,a1=-7,a2=3,an+2=an+2,则S100= .?
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解析:(1)由a1=-7,an+1=an+2,得an+1-an=2,则a1,a2,…,a17是首项为-7,公差为2的等差数列.
(2)由a1=-7,an+2=an+2,可得an+2-an=2,故a1,a3,a5,a7,…,a99是首项为-7,公差为2的等差数列,共50项.
答案:(1)153 (2)4
700
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
等差数列运算的求解策略
由等差数列的前n项和公式及通项公式可知,若已知a1,d,n,an,Sn中的三个便可求出其余的两个,即“知三求二”.“知三求二”的实质是方程思想,即建立方程组求解.这种求解思路常称为“基本量法”.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练1已知等差数列{an}中,
(2)a1=1,an=-512,Sn=-1
022,求d;
(3)S5=24,求a2+a4.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解得n=4.
又an=a1+(n-1)d,
即-512=1+(4-1)d,
解得d=-171.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
已知Sn求an
例2设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=2n2-30n.
(1)求a1及an.
(2)判断这个数列是不是等差数列.
思路分析(1)利用a1=S1求a1,借助an=Sn-Sn-1(n≥2)求通项公式,但要验证a1是否符合条件;(2)利用等差数列的定义进行判断即可.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:(1)因为Sn=2n2-30n,
所以当n=1时,a1=S1=2×12-30×1=-28,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-30n-[2(n-1)2-30(n-1)]=4n-32.
当n=1时上式成立,
所以an=4n-32.
(2)由an=4n-32,得an-1=4(n-1)-32(n≥2),
所以an-an-1=4n-32-[4(n-1)-32]=4(常数),
所以数列{an}是等差数列.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
已知数列{an}的前n项和Sn,求通项公式an的步骤:
(1)当n=1时,a1=S1.
(2)当n≥2时,根据Sn写出Sn-1,化简an=Sn-Sn-1.
(3)如果a1也满足当n≥2时an=Sn-Sn-1的通项公式,那么数列{an}的通项公式为an=Sn-Sn-1;如果a1不满足当n≥2时an=Sn-Sn-1的通项
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
延伸探究将本例的条件“Sn=2n2-30n”改为“log2(Sn+1)=n+1”,其他条件不变,求an.
解:由log2(Sn+1)=n+1得Sn+1=2n+1,
∴Sn=2n+1-1.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-1-2n+1=2n.
当n=1时,a1=S1=3.经验证不符合上式.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
特殊数列的求和问题
例3已知等差数列{an}满足a3=7,a5+a7=26,{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn;
思路分析(1)设出公差,根据已知条件构造方程组可求出首项和公差,进而求出an及Sn;(2)先由(1)求出bn的通项公式,再根据通项的特点选择求和的方法.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.等差数列各项取绝对值后组成的数列{|an|}的前n项和,可分为以下情形:
(1)等差数列{an}的各项都为非负数,这种情形中数列{|an|}就等于数列{an},可以直接求解.
(2)在等差数列{an}中,a1>0,d<0,这种数列只有前有限项为非负数,从某项开始其余所有项都为负数,可把数列{an}分成两段处理.
(3)在等差数列{an}中,a1<0,d>0,这种数列只有前有限项为负数,其余都为非负数,同样可以把数列{an}分成两段处理.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练2在等差数列{an}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|an|}的前n项和.
所以an=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.
由an<0,得3n-63<0,即n<21.
所以数列{an}的前20项是负数,从第21项开始都为非负数.
设Sn,S'n分别表示数列{an}和{|an|}的前n项和,
当n≤20时,
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
等差数列前n项和中的最值问题
例4已知在等差数列{an}中,a1=31,Sn是它的前n项和,S10=S22.
(1)求Sn.
(2)这个数列前多少项的和最大?求出这个最大值.
(2)由(1)可知Sn=32n-n2=-(n-16)2+256,
∴当n=16时,Sn有最大值,Sn的最大值是256.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.已知等差数列的前n项和公式,求最值一般要运用配方法求解,即借助于二次函数的性质求解.
2.已知和关系求最值
在等差数列{an}中,
(1)若a1>0,且Sp=Sq(p≠q),则
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练3已知{an}为等差数列,若
<-1,且它的前n项和Sn有最大值,那么当Sn取得最小正值时,n等于多少?
∴Sn取最小正值时n=19.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
等差数列中的给和求和问题
典例等差数列{an}的前n项和为Sn,若S12=84,S20=460,求S28.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
方法点睛
解决此类问题最基本的方法是用定义法求出a1和d,此种方法应熟练掌握,但结合题意灵活应用等差数列的性质探寻其他解法,不仅可以开阔思路,还可以省去繁杂的运算.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S10=1,S30=5,则S40=( )
A.7
B.8
C.9
D.10
解析:根据等差数列的性质知,S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30构成等差数列.
所以(S20-S10)+(S30-S20)=S10+(S40-S30),
即S30-S10=S40-S30+S10,
所以S40=2S30-2S10=8.
答案:B
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
1.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20等于( )
A.-1
B.1
C.3
D.7
解析:由已知得a1+a3+a5=3a3=105,
a2+a4+a6=3a4=99,∴a3=35,a4=33,∴d=-2.
∴a20=a3+17d=35+(-2)×17=1.
答案:B
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
2.等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2=2,S4=10,则S6等于( )
A.12
B.18
C.24
D.42
解析:由题意知S2=2,S4-S2=8.因为{an}是等差数列,所以S6-S4,S4-S2,S2成等差数列.
所以S6-S4=14.所以S6=24.
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
3.(2020广西壮族自治区北流市实验中学高三开学考试)中国古代数学专著《九章算术》中有这样一题:今有男子善走,日增等里,九日走1
260里,又第一日、第四日、第七日所走之和为390里,则该男子的第三日走的里数为( )
A.240
B.120
C.100
D.90
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解析:因为男子善走,日增等里,可知每天走的里数符合等差数列,
设这个等差数列为{an},其公差为d,前n项和为Sn,
答案:B
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
4.等差数列{an}中,a1>0,S4=S9,则当Sn取最大时,n= .?
解析:(方法一)∵Sn有最大值,∴Sn是开口向下的抛物线.由于S4=S9,故对称轴为n=
=6.5.从而当n=6或n=7时,Sn最大.如图所示.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
答案:6或7
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
5.已知数列{an}中,a1=-60,an+1=an+3,则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30|= .?
解析:∵an+1-an=3为常数,
∴{an}是等差数列.
∴an=-60+(n-1)×3,即an=3n-63.
∴当an=0时,n=21;
当an>0时,n>21;
当an<0时,n<21.
∴S'30=|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30|
=-a1-a2-a3-…-a21+a22+a23+…+a30
=-2(a1+a2+…+a21)+S30
=-2S21+S30=765.
答案:765
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
6.已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5.
(1)求{an}的通项公式;
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测第五章数列
习题课——等差数列习题课
课后篇巩固提升
基础达标练
1.在等差数列{an}中,已知a1=,a1+a6=4,an=37,则n等于( )
A.50
B.49
C.56
D.51
解析设公差为d,因为a1+a6=2a1+5d=4,a1=,所以d=,所以an=+(n-1)×=37,所以n=56.
答案C
2.在数列{xn}中,x1=8,x4=2,且满足xn+2+xn=2xn+1,n∈N+.则x10=( )
A.-10
B.10
C.-20
D.20
解析由xn+2+xn=2xn+1,n∈N+,
可知数列{xn}是等差数列.
又x1=8,x4=2,
∴公差d==-2.
∴x10=x1+9d=8+9×(-2)=-10.
答案A
3.已知数列{an}满足a1=33,=2,则的最小值为( )
A.10
B.10.5
C.9
D.8
答案B
4.在等差数列{an}中,若a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则数列{an}前9项的和为( )
A.297
B.144
C.99
D.66
解析∵a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,∴a1+a4+a7=3a4=39,a3+a6+a9=3a6=27,即a4=13,a6=9.
∴d=-2,a1=19.
∴S9=19×9+×(-2)=99.
答案C
5.(2020黑龙江铁人中学高三)《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上两人所得与下三人等.问各得几何?”其意思是:“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱,甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中,戊所得为( )
A.钱
B.钱
C.钱
D.钱
解析依题意,设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,由甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等,即a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,得a=-6d.又五人分五钱,则a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5a=5,∴a=1,则a+2d=a+2×-=.故选B.
答案B
6.已知f(n+1)=f(n)-(n∈N+),且f(2)=2,则f(101)= .?
解析令an=f(n),则an+1-an=-,
∴{an}为等差数列,且a2=2.
∴an=a2-(n-2)=.
∴f(101)=a101=-.
答案-
7.在等差数列{an}中,若a1<0,Sn为其前n项之和,且S7=S17,则当Sn为最小时,n的值为 .?
解析由S7=S17,知a8+a9+…+a17=0,根据等差数列的性质,a8+a17=a9+a16=…=a12+a13,因此a12+a13=0,从而a12<0,a13>0,故n为12.
答案12
8.(2020江苏淮阴中学高一期中)等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d(d≠0),首项为a1,若{}也是等差数列,则= .?
解析依题意,知Sn=na1+d,
由于{}是等差数列,所以=2,
即=2,d≠0,
两边平方并化简,得2=4a1+d,
两边平方并化简,得4-4a1d+d2=0,
即(2a1-d)2=0,2a1-d=0,.
答案
9.已知在等差数列{an}中,a16+a17+a18=a9=-18,其前n项和为Sn,
(1)求Sn的最小值,并求出Sn取最小值时n的值;
(2)求Tn=|a1|+|a2|+…+|an|.
解(1)∵a16+a17+a18=a9=-18,
∴a17=-6.又a9=-18,∴d=.
首项a1=a9-8d=-30.∴an=n-.
设前n项和为Sk最小,则
即∴k=20或21.
故当n=20或21时,Sn取最小值.
最小值为S20=S21=-315.
(2)由an=n-≤0,得n≤21.
∴当n≤21时,Tn=-Sn=(41n-n2).
当n>21时,
Tn=-a1-a2-…-a21+a22+…+an
=Sn-2S21=(n2-41n)+630.
10.已知各项都不相等的等差数列{an}的前6项和为60,且满足=a1a21.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn+1-bn=an(n∈N+),且b1=3,求数列的前n项和Tn.
解(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0),
则解得
则an=2n+3.
(2)由bn+1-bn=an,得bn-bn-1=an-1(n≥2,n∈N+),bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1
=an-1+an-2+…+a1+b1
=(n-1)(n-1+4)+3=n(n+2),
∴bn=n(n+2),n∈N+.
∴.
∴Tn=
=.
能力提升练
1.(多选)(2019山东莱州一中高三月考)已知数列{an}是公差不为0的等差数列,前n项和为Sn,满足a1+5a3=S8,下列选项正确的有( )
A.a10=0
B.S7=S12
C.S10最小
D.S20=0
解析因为{an}是等差数列,设公差为d,由a1+5a3=S8,可得a1+9d=0,即a10=0,即选项A正确;
又S12-S7=a8+a9+a10+a11+a12=5a10=0,即选项B正确;
当d>0时,则S9或S10最小,当d<0时,则S9或S10最大,即选项C错误;
又S19=19a10=0,a20≠0,所以S20≠0,即选项D错误.故选AB.
答案AB
2.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一,书中有这样的一道题目:把100个面包分给5个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的是较小的两份之和,则最小的1份为( )
A.
B.
C.
D.
解析设这5份分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d(d>0),则有(a+a+d+a+2d)=a-2d+a-d,a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=100,故a=20,d=,则最小的一份为a-2d=20-.
答案A
3.“等和数列”的定义:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都等于同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{an}是等和数列,且a1=2,公和为5,则a18的值为 .?
解析由题意可得an+an+1=5,∴an+1+an+2=5.
∴an+2-an=0.∵a1=2,∴a2=5-a1=3.∴当n为偶数时,an=3;当n为奇数时,an=2.∴a18=3.
答案3
4.在等差数列{an}中,a1=2,S10=15,记Bn=a2+a4+a8+…+,则当n= 时,Bn取得最大值.?
解析∵S10=10a1+d=15,a1=2,∴d=-<0,故数列{an}单调递减,其通项公式为an=2-(n-1),令an=0,得n=19,即a19=0.当n>19时,an<0;当n<19时,an>0.在a2,a4,a8,…,中,当n≤4时,>0,当n≥5时,<0,故Bn取最大值时,n=4.
答案4
5.(2020江苏泰州中学高三)等差数列{an}的公差为2,Sn是数列{an}的前n项的和,若S20=40,则a1+a3+a5+a7+…+a19= .?
解析等差数列{an}的公差为2,S20=40,
则S20=a1+a2+a3+…+a19+a20
=a1+a3+a5+…+a17+a19+a2+a4+…+a18+a20
=a1+a3+a5+…+a17+a19+a1+d+a3+d+…+a17+d+a19+d
=2(a1+a3+a5+…+a17+a19)+10d=40,
解得a1+a3+a5+a7+…+a19=10.
答案10
6.设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an=+2(n-1),n∈N+.
(1)求数列{an}的通项公式an.
(2)是否存在正整数n,使得+…+-(n-1)2=2
021?若存在,求出n值;若不存在,请说明理由.
解(1)由an=+2(n-1),得Sn=nan-2(n-1)n.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=nan-2(n-1)n-(n-1)an-1+2(n-2)(n-1),
整理,得an-an-1=4,则{an}为a1=1,d=4的等差数列,所以an=1+(n-1)4=4n-3.
(2)由(1),得Sn=n[4n-3-2(n-1)]=(2n-1)n,得=2n-1,得+…+=n2.
令n2-(n-1)2=2
021,解得n=1
011.
因此存在n=1
011满足题意.
7.一支车队有15辆车,某天依次出发执行任务.第1辆车于下午2时出发,第2辆车于下午2时10分出发,第3辆车于下午2时20分出发,依此类推.假设所有的司机都连续开车,并且都在下午6时停下休息.
(1)到下午6时,最后一辆车行驶了多长时间?
(2)如果每辆车的行驶速度都是60
km/h,这支车队当天总共行驶了多少路程?
解由题意,知第1辆车在休息之前行驶了240
min,各辆车行驶的时间构成一个等差数列{an},其中a1=240,公差d=-10,则an=240-10(n-1)=-10n+250.
(1)∵a15=-10×15+250=100,
∴到下午6时,最后一辆车行驶了100
min.
(2)这支车队所有车辆行驶的总时间为×15=2
550(min)=(h),∴这支车队当天总共行驶的路程为×60=2
550(km).
素养培优练
(2020山东实验中学高三一模)已知{an}是各项都为正数的数列,其前n项和为Sn,且Sn为an与的等差中项.
(1)求证:数列{}为等差数列;
(2)设bn=,求{bn}的前100项和T100.
解(1)由题意,知2Sn=an+,即2Snan-=1,
①
当n=1时,由①式可得S1=1;
又n≥2时,有an=Sn-Sn-1,
代入①式得2Sn(Sn-Sn-1)-(Sn-Sn-1)2=1,
整理得=1(n≥2),
∴{}是首项为1,公差为1的等差数列.
(2)由(1)可得=1+n-1=n.
∵{an}各项都为正数,∴Sn=.
∴an=Sn-Sn-1=(n≥2),
又a1=S1=1,∴an=,
则bn==(-1)n(),
∴T100=-1+(+1)-()+…-()+()==10,
即T100=10.∴{bn}的前100项和T100=10.
