第五章数列
5.2 等差数列
5.2.1 等差数列
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知等差数列{an}的前三项依次为a-1,a+1,2a+3,则此数列的通项公式为( )
A.an=2n-5
B.an=2n-3
C.an=2n-1
D.an=2n+1
解析由题意得2(a+1)=(a-1)+(2a+3),解得a=0.所以{an}的前三项分别为-1,1,3,即a1=-1,d=2.故an=-1+(n-1)·2=2n-3.
答案B
2.在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=
( )
A.12
B.16
C.20
D.24
解析a2+a10=a4+a8=16,故选B.
答案B
3.一个等差数列的首项为23,公差为整数,且前6项均为正数,从第7项起为负数,则公差为( )
A.-2
B.-3
C.-4
D.-5
解析设公差为d,d∈Z,由a6=23+5d>0,且a7=23+6d<0,得-
答案C
4.(2020湖南长沙高三月考)元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题:“今有竹七节,下两节容米四升,上两节容米二升,各节欲均容,问逐节各容几升?”其大意为:现有一根七节的竹子,最下面两节可装米四升,最上面两节可装米二升,如果竹子装米量逐节等量减少,问竹子各节各装米多少升?以此计算,第四节竹子的装米量为( )
A.1升
B.升
C.升
D.升
解析设竹子自下而上的各节容米量分别为a1,a2,…,a7,则有a1+a2+a6+a7=6,由等差数列的性质可得a1+a7=2a4=3,所以a4=.故选B.
答案B
5.若等差数列的第一、二、三项依次是,则该数列的公差d是 .?
解析依题意得2×,解得x=2,则d=.
答案
6.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20= .?
解析设其公差为d,∵a1+a3+a5=105,
∴3a3=105.∴a3=35.
同理,由a2+a4+a6=99,得a4=33.
∴d=a4-a3=-2.
∴a20=a4+16d=33+16×(-2)=1.
答案1
7.一种游戏软件的租金,第一天6元,第二天12元,以后每天比前一天多3元,则第n(n≥2)天的租金an= (单位:元).?
解析a1=6,a2=12,a3=15,a4=18,…,从第二项起,{an}才构成等差数列,且公差为3,在这个等差数列中第一项是12,而第n天的租金,是第n-1项,故an=12+(n-2)×3=3n+6(n≥2).
答案3n+6(n≥2)
8.(1)求等差数列8,5,2,…的第20项;
(2)-401是不是等差数列-5,-9,-13,…中的项?如果是,那么是第几项?
解(1)由a1=8,d=5-8=2-5=-3,得数列的通项公式为an=-3n+11,令n=20,得a20=-49.
(2)由a1=-5,d=-9-(-5)=-4,得数列通项公式为an=-5-4(n-1).
令an=-401,解得n=100,即-401是这个数列的第100项.
9.四个数成递增等差数列,中间两数的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数.
解设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d),依题意,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8,
即a=1,a2-9d2=-8,
∴d2=1,∴d=1或d=-1.
又四个数成递增等差数列,所以d>0,
∴d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4.
10.(2020湖南长沙高二学业考试)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=(an+1)2(n∈N+).
(1)求a1,a2;
(2)求证:数列{an}是等差数列.
(1)解由已知条件得,a1=(a1+1)2.
∴a1=1.
又有a1+a2=(a2+1)2,即-2a2-3=0.
解得a2=-1(舍)或a2=3.
(2)证明由Sn=(an+1)2得
当n≥2时,Sn-1=(an-1+1)2,
∴Sn-Sn-1=[(an+1)2-(an-1+1)2]
=+2(an-an-1)],
即4an=+2an-2an-1,
∴-2an-2an-1=0,
∴(an+an-1)(an-an-1-2)=0,
∴an-an-1-2=0,即an-an-1=2(n≥2).
所以数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列.
能力提升练
1.在正整数100至400之间能被11整除的整数的个数是
( )
A.25
B.26
C.27
D.28
解析由100≤11k≤400(k∈Z),得9≤k≤36.故k=10,11,…,36,共36-10+1=27(个).
答案C
2.设{an}是首项为50,公差为2的等差数列,{bn}是首项为10,公差为4的等差数列,以ak和bk为两边的矩形内的最大圆的面积记为Sk,如果k≤21,那么Sk等于( )
A.π(k+24)2
B.π(k+12)2
C.π(2k+3)2
D.π(2k+1)2
解析由题意,得ak=2k+48,bk=4k+6,bk-ak=(4k+6)-(2k+48)=2k-42.
∵k≤21,∴2k-42<0,∴bk∴矩形内的最大圆是以bk为直径的圆.
因此Sk=π(2k+3)2.
答案C
3.已知等差数列{an}的首项为a,公差为b,且不等式log2(ax2-3x+6)>2的解集为{x|x<1或x>b},则数列{an}的通项公式为 .?
答案an=2n-1
4.已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为的等差数列,则|m-n|等于 .?
解析设a1=,a2=+d,a3=+2d,a4=+3d,而方程x2-2x+m=0的两根之和为2,方程x2-2x+n=0的两根之和也为2,
∴a1+a2+a3+a4=1+6d=4.∴d=.
因此a1=,a4=是一个方程的两根,a2=,a3=是另一个方程的两个根.
∴m,n分别为.
∴|m-n|=.
答案
5.已知函数f(x)=cos
x,x∈(0,2π)有两个不同的零点x1,x2,且方程f(x)=m有两个不同的实根x3,x4,若把这四个数按从小到大排列,能构成等差数列,则实数m= .?
答案-
6.(2020新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二期末)等差数列{an}中,a3=8,a7=20.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列的前n项和Sn.
解(1)设等差数列公差为d,
由a7-a3=4d=12,得d=3,
∴an=3n-1.
(2)∵
=,
∴Sn=+…+
=+…+
==.
7.已知数列{an}满足a1=2,an=2an-1+2n+1(n≥2,n∈N+).
(1)设bn=,求证数列{bn}是等差数列,并写出其通项公式;
(2)若数列{cn}满足cn=2n+1,且对于任意正整数n,不等式a恒成立,求正数a的取值范围.
分析本题(1)实际上降低了难度,构造数列{bn},使其构成等差数列并求解.由定义,只需证明bn-bn-1=d(n≥2)即可.
(2)恒成立问题通常转化为与最大值、最小值比较.a≤,故只需求出此不等式右边的最小值.
(1)证明∵an=2an-1+2n+1,
∴+2(n≥2,n∈N+).
∵bn=,∴bn=bn-1+2(n≥2,n∈N+).
又b1==1,
∴{bn}是以1为首项,2为公差的等差数列.
∴bn=1+(n-1)×2=2n-1.
(2)解由a,得a≤…1+对任意正整数n恒成立,
记f(n)=,
则
=>1.
又f(n)>0,∴f(n+1)>f(n),即f(n)单调递增.
故f(n)min=f(1)=,∴0即a的取值范围是.
素养培优练
数列{an}满足a1=1,an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),λ是常数.
(1)当a2=-1时,求λ及a3的值.
(2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列?若存在,求出λ及数列{an}的通项公式;若不存在,请说明理由.
解(1)由于an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),且a1=1,
所以当a2=-1时,得-1=2-λ,故λ=3.
从而a3=(22+2-3)×(-1)=-3.
(2)数列{an}不可能为等差数列,
证明如下:
由a1=1,an+1=(n2+n-λ)an,
得a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ),
a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ).
若存在λ,使{an}为等差数列,则a3-a2=a2-a1,
即(5-λ)(2-λ)=1-λ,
解得λ=3.于是a2-a1=1-λ=-2,
a4-a3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24.
这与{an}为等差数列矛盾.所以,不存在实数λ使数列{an}是等差数列.(共33张PPT)
5.2.1 等差数列
激趣诱思
知识点拨
哈雷彗星是第一颗经推算预言必将重新出现而得到证实的著名大彗星.当它在1682
年出现后,英国天文学家哈雷注意到它的轨道与1607年和1531年出现的彗星轨道相似,认为是同一颗彗星的三次出现,并预言它将在1758年底或1759年初再度出现.虽然哈雷死于1742年,没能看到它的重新出现,但在1759年它果然又回来,这是天文学史上的一项惊人成就.试分析这个彗星回归的时间有什么特征.
激趣诱思
知识点拨
一、等差数列的定义
1.等差数列的概念
一般地,如果数列{an}从第2项起,每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d,即an+1-an=d恒成立,则称{an}为等差数列,其中d称为等差数列的公差.
激趣诱思
知识点拨
名师点析
关于等差数列定义的几点说明
(1)强调定义中“从第2项起”这一前提条件,而不是从第3项或第4项起作差,否则遗漏前面若干项,致使整个数列不是等差数列.
(2)强调定义中“每一项与它的前一项的差”,注意作差的顺序(后一项减去前一项),而且这两项必须相邻.
(3)强调定义中“同一常数”,要求每一项与它的前一项的差是常数且是同一常数,否则这个数列不能称为等差数列.
激趣诱思
知识点拨
2.等差数列的通项公式
一般地,若等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则通项公式为an=a1+(n-1)d.
名师点析
等差数列的通项公式an中共含有四个变量,即a1,d,n,an,如果知道了其中任意三个量,就可由通项公式求出第四个量.
激趣诱思
知识点拨
微拓展1
等差数列通项公式的其他形式
(1)an=am+(n-m)d;
(2)an=kn+b(k,b是常数).
微拓展2
若数列{an}是公差为d的等差数列,
(1)当d=0时,数列为常数列;当d>0时,数列为递增数列;当d<0时,数列为递减数列.
激趣诱思
知识点拨
微练习
已知数列{an}是等差数列,且a5=11,a8=5,求an.
∴an=-2n+21(n∈N+).
(方法二)设数列{an}的首项为a1,公差为d,
则a8=a5+3d,即5=11+3d,∴d=-2.
∵a5=a1+(5-1)d,∴a1=19.
∴an=19+(n-1)×(-2),
即an=-2n+21(n∈N+).
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
二、等差数列的性质
如果x,A,y是等差数列,那么称A为x与y的等差中项,此时,
激趣诱思
知识点拨
微拓展
若数列{an}是公差为d的等差数列,
(1)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am+an=ap+aq.
(2)若
=k,则am+an=2ak(m,n,k∈N+).
(3)若数列{an}是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和都相等,且等于首末两项之和,即a1+an=a2+an-1=…=ai+1+an-i=….
(4)数列{λan+b}(λ,b是常数)是公差为λd的等差数列.
(5)下标成等差数列,且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N+)组成公差为md的等差数列.
(6)若数列{bn}也为等差数列,则{an±bn}也成等差数列.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
等差数列的判定或证明
例1已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,在数列{bn}中,bn=3an+4,试判断{bn}是不是等差数列.
思路分析可以利用a1和d写出{bn}的通项公式,也可以直接利用定义判断bn+1-bn是不是常数.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
解:(方法一)由题意可知an=a1+(n-1)d(a1,d为常数),则bn=3an+4=3[a1+(n-1)d]+4=3a1+3(n-1)d+4=3dn+3a1-3d+4.
由于bn是关于n的一次函数(或常数函数,当d=0时),故{bn}是等差数列.
(方法二)根据题意,知bn+1=3an+1+4,
则bn+1-bn=3an+1+4-(3an+4)=3(an+1-an)=3d(常数).
由等差数列的定义知,数列{bn}是等差数列.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
反思感悟
等差数列的判定方法
方 法
内 容
定义法
an-an-1=d(n≥2)或an+1-an=d(d为常数)?{an}是等差数列
通项公式法
an=kn+b(k,b为常数)?{an}是等差数列
等差中项法
2an=an-1+an+1(n≥2)或2an+1=an+an+2?{an}是等差数列
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
变式训练1若数列{an}的通项公式为an=10+lg
2n,试证明数列{an}为等差数列.
证明:∵an=10+lg
2n=10+nlg
2,
∴an+1-an=[10+(n+1)lg
2]-(10+nlg
2)=lg
2(n∈N+),
∴数列{an}是首项为a1=10+lg
2,公差为lg
2的等差数列.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
等差数列的通项公式及应用
例2在等差数列{an}中,已知a4=70,a21=-100,求出数列的首项a1与公差d,并写出通项公式.
解:根据题意,设an=a1+(n-1)d,
解得a1=100,d=-10,
所以an=100-10(n-1)=-10n+110.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
反思感悟
1.等差数列通项公式的求法
(1)等差数列的通项公式有两个基本量:首项a1和公差d,故求通项公式主要是利用方程思想解a1,d.
(2)等差数列通项公式的另两种形式:
①an=am+(n-m)d;
②an=kn+b(k,b是常数).
2.方程思想的应用
等差数列的通项公式是一个等式,且含有a1,an,n,d四个字母,当把任何一个字母看作未知数时,就构成一个方程,从而可以通过解方程的方法求出这四个字母中的任何一个.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
延伸探究1.若本例中条件不变,{an}中有多少项属于区间[-18,18]?
解:根据题意,设an=a1+(n-1)d,
解得a1=100,d=-10,
所以an=-10n+110.
令-18≤-10n+110≤18.解得9.2≤n≤12.8.
又因为n∈N+,所以n=10,11,12,
即属于区间[-18,18]的项有3项,它们是a10,a11,a12.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
2.若将本例中“a21=-100”改为“a19=100”,其他条件不变,结果如何?
解:根据题意,设an=a1+(n-1)d,
所以an=64+2(n-1)=2n+62.
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探究一
探究二
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探究四
素养形成
等差数列性质的应用
例3(1)在等差数列{an}中,已知a1,a2
020为方程x2-10x+21=0的两根,则a2+a2
019等于( )
A.10
B.15
C.20
D.40
(2)在等差数列{an}中,已知a3+a8=10,则3a5+a7= .?
解析:(1)根据根与系数的关系及等差数列的性质可得a2+a2
019
=a1+a2
020=10.
(2)因为数列{an}是等差数列,
所以由等差数列的性质,得a3+a8=a5+a6=a4+a7=10,a4+a6=2a5,所以3a5+a7=a5+2a5+a7=a5+a4+a6+a7=2×10=20.
答案:(1)A (2)20
当堂检测
探究一
探究二
探究三
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素养形成
反思感悟
等差数列的常用性质
等差数列有很多条性质,但常用的主要有两条:若{an}为等差数列,则
(1)当m+n=p+q(m,n,p,q∈N+)时,总有am+an=ap+aq.
(2)当m+n=2k(m,n,k∈N+)时,总有am+an=2ak.
当堂检测
探究一
探究二
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素养形成
变式训练2设数列{an},{bn}都是等差数列,若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5= .?
解析:因为{an},{bn}均是等差数列,根据等差数列的性质a1+a5=2a3,b1+b5=2b3,
即a5=2a3-a1,b5=2b3-b1,
所以a5+b5=2(a3+b3)-(a1+b1)=2×21-7=35.
答案:35
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
构造等差数列求通项公式
思路分析利用题中所给关系的结构特征,构造等差数列,利用所构造的等差数列求an.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
构造法求数列通项的求解策略
给出数列的递推公式求通项公式时,根据递推公式的结构特点灵活地应用“平方法”“开方法”“取倒数法”等,往往会构造出一个新数列满足等差数列的条件.从而利用新数列的通项公式,间接求出所求数列的通项公式.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练3已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+2n+1(n≥2,n∈N+),则数列{an}的通项公式为 .?
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
活用等差数列的性质巧设项
典例已知5个数成等差数列,它们的和为25,它们的平方和为165,求这5个数.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
方法点睛
涉及多个数成等差数列时,应注意利用对称性的设法设出这多个数.一般地:
(1)若所给等差数列为2n(n∈N+)项,则这个数列可设为a-(2n-1)d,…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,a+(2n-1)d,此数列的公差为2d.
(2)若所给等差数列的项数为2n-1(n∈N+),则这个数列可设为a-(n-1)d,…,a-d,a,a+d,…,a+(n-1)d,这个数列的公差为d.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
1.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是( )
A.2
B.3
C.6
D.9
解析:由题意,得
解得m+n=6.
故m和n的等差中项是3.
答案:B
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
2.(2020黑龙江大庆中学高一月考)在等差数列{an}(n∈N+)中,若a4+a5+a6=27,则a1+a9等于( )
A.9
B.27
C.18
D.54
解析:a4+a5+a6=3a5=27,解得a5=9,则a1+a9=2a5=18,故选C.
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
3.在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则a6= .?
解析:在等差数列{an}中,a3=7,a5-a2=6,
∴3d=6.∴a6=a3+3d=7+6=13.
答案:13
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
4.(2020湖北武汉高三月考)若三个数成等差数列,它们的和为9,平方和为59,则这三个数的积为 .?
∴这三个数为-1,3,7或7,3,-1.
∴它们的积为-21.
答案:-21
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
证明:∵a2,b2,c2成等差数列,
∴2b2=a2+c2.