第五章数列
5.2 等差数列
5.2.2 等差数列的前n项和
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知在等差数列{an}中,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则此数列前20项和等于( )
A.160
B.180
C.200
D.220
解析(a1+a2+a3)+(a18+a19+a20)=(-24)+78=54,又a1+a20=a2+a19=a3+a18,则3(a1+a20)=54,∴a1+a20=18.故S20==10×18=180.
答案B
2.等差数列{an}的公差d<0,且,则该数列的前n项和Sn取得最大值时的项数n是( )
A.5
B.6
C.5或6
D.6或7
解析由,得(a1+a11)(a1-a11)=0.
又d<0,∴a1+a11=0,∴a6=0.
∴S5=S6且最大.
答案C
3.(2020河南郑州高三月考)“中国剩余定理”又称“孙子定理”,最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题,叫做“物不知数”.原文如下:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二.问物几何?现有这样一个相关的问题:将1到2
020这2
020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列,构成一个数列,则该数列各项之和为( )
A.56
383
B.57
171
C.59
189
D.61
242
解析被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23,公差为5×7=35的等差数列,记为数列{an},
则an=23+35(n-1)=35n-12.
令an=35n-12≤2
020,解得n≤58.
故该数列各项之和为58×23+×35=59
189.
故选C.
答案C
4.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若,则等于
( )
A.
B.
C.
D.
解析由等差数列的前n项和公式可得,可得a1=2d,且d≠0,所以,故选A.
答案A
5.(多选)(2020尤溪第五中学高一月考)设数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和,a1>0,且S6=S9,则( )
A.d<0
B.a8=0
C.S5>S6
D.S7或S8为Sn的最大值
解析根据题意可得a7+a8+a9=0,得3a8=0,得a8=0.∵数列{an}是等差数列,a1>0,∴公差d<0,所以数列{an}是单调递减数列.对于A、B,d<0,a8=0,显然成立,对于C,由a6>0,则S5答案ABD
6.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则S9= .?
解析(方法一)∵等差数列{an}的前n项和为Sn,S3=9,S6=36,
由题意,得解得a1=1,d=2.
∴S9=9a1+d=81.
(方法二)∵S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,
∴2(S6-S3)=S3+S9-S6,
又S3=9,S6=36,则2×(36-9)=9+S9-36,
解得S9=81.
答案81
7.设公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且=9S2,S4=4S2,则数列{an}的通项公式为 .?
解析设数列{an}的公差为d(d≠0),首项为a1,由已知得解得a1=,d=或a1=d=0(舍去).
∴an=a1+(n-1)d=+(n-1)×(2n-1).
答案an=(2n-1)
8.设等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若对任意自然数n都有,则的值为 .?
解析∵{an},{bn}为等差数列,
∴.
∵,
∴.
答案
9.设数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,且S4=-62,S6=-75.求:
(1)通项an及前n项和Sn;
(2)|a1|+|a2|+…+|a14|的值.
解(1)设数列{an}的公差为d,由S4=-62,S6=-75,得解得
∴an=3n-23,Sn=n2-n.
(2)由an=3n-23≤0,得n≤,
∴n=7.
∴数列{an}的前7项为负数,∴|a1|+|a2|+…+|a14|=-(a1+a2+…+a7)+(a8+a9+…+a14)=-S7+S14-S7=S14-2S7=147.
10.(2020天津高三模拟)已知Sn为等差数列{an}的前n项和,且a3+a5=-10,S10=-5.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=anan+1,求数列的最小项.
解(1)设等差数列{an}的公差为d,
由a3+a5=-10,S10=-5,
得解得
所以an=3n-17.
(2)由bn=anan+1,可得bn=(3n-17)(3n-14),n∈N+,
当n≤4或n≥6时,bn>0,此时>0,
当n=5时,b5=-2<0,
所以数列最小项为=-.
能力提升练
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若=a1+a200,且A,B,C三点共线(该直线不过原点O),则S200的值为( )
A.100
B.101
C.200
D.201
解析依题意,a1+a200=1,所以S200==100.
答案A
2.在数列{an}中,an+1-an=2,Sn为{an}的前n项和.若S10=50,则数列{an+an+1}的前10项和为( )
A.100
B.110
C.120
D.130
解析因为an+1-an=2,所以{an}为等差数列,
则an+an+1=an+an+d=2an+d,
所以{an+an+1}的前10项和为2S10+10d=2×50+10×2=120.故选C.
答案C
3.一个凸n边形各内角的弧度数成等差数列,最小角为,公差为,则n的值为( )
A.9
B.16
C.9或16
D.与A,B,C均不相同
解析由题意可得(n-2)π=n·,整理,得n2-25n+144=0,解得n=9或n=16.
而当n=16时,a16=+(16-1)×>π,与凸多边形矛盾.
答案A
4.(2020贵港覃塘高级中学高一月考)设数列{an}的前n项和为Sn,点n,(n∈N+)均在函数y=x+1的图像上,则a2
020=( )
A.-2
015
B.-2
016
C.-2
017
D.4
040
解析因为数列{an}的前n项和为Sn,点n,(n∈N+)均在函数y=x+1,
所以点2
020,,2
019,均在函数y=x+1上,
即=2
020+1,=2
019+1,
整理得S2
020=2
021×2
020,S2
019=2
020×2
019,
所以a2
020=S2
020-S2
019=2
021×2
020-2
020×2
019=4
040.
故选D.
答案D
5.若两个等差数列的前n项和之比是(7n+1)∶(4n+27),则它们的第11项之比为 .?
解析设等差数列{an}的前n项和为Sn,等差数列{bn}的前n项和为Tn,
则a11=,b11=,
∴.
答案4∶3
6.(2020嘉祥第一中学高三一模)我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载:一年有二十四个节气,每个节气晷(guǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器,晷长即为所测量影子的长度).夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续的十二个节气,其晷长依次成等差数列,经记录测算,夏至、处暑、霜降三个节气晷长之和为16.5尺,这十二个节气的所有晷长之和为84尺,则夏至的晷长为 尺.?
解析设此等差数列{an}的公差为d,
由题意,得
即
解得
所以夏至的晷长为1.5尺.
答案1.5
7.在数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足an+2-2an+1+an=0(n∈N+).
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)设Sn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Sn.
(3)设bn=(n∈N+),Tn=b1+b2+…+bn,是否存在最大整数m,使对任意n∈N+,均有Tn>总成立?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
分析第(1)问由条件an+2-2an+1+an=0可知数列{an}是等差数列,可由已知条件求得公差,再代入通项公式得解.第(2)问先求得前几项是正数,从第几项开始是负数,再求绝对值的和即可.第(3)问先求得Tn的值,再判断Tn是单调递增函数,可得T1是最小值,因此只要满足T1>即可,从而求得m的值.
解(1)由an+2-2an+1+an=0,得an+2-an+1=an+1-an,所以数列{an}是等差数列.由a1=8,a4=2,得d=-2,所以an=10-2n.
(2)令an≥0,且an+1<0,解得n=5.当n≤5时,Sn=-n2+9n;
当n>5时,Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=(a1+a2+…+a5)-(a6+a7+…+an)=2(a1+a2+…+a5)-(a1+a2+…+an)=2×20-(-n2+9n)=n2-9n+40.
故Sn=
(3)bn=,
所以Tn=
=.
所以Tn+1-Tn=>0,
所以{Tn}单调递增.所以T1=为Tn的最小值,要使Tn>总成立,只需8.数列{an}是各项为正数的数列,前n项和为Sn,且2=an+2.
(1)求证:{an}是等差数列;
(2)令bn=,数列{bn}的前n项和为Bn,求证:Bn<.
证明(1)∵2=an+2,∴8Sn=(an+2)2,
则当n≥2时,8Sn-1=(an-1+2)2,
∴8(Sn-Sn-1)=(an+2)2-(an-1+2)2,
即8an=(an+2)2-(an-1+2)2,
∴(an+an-1)(an-an-1-4)=0.
∵an>0,∴an+an-1≠0.
∴an-an-1-4=0,∴an-an-1=4(n≥2).
∴{an}是等差数列.
(2)令n=1,有2=a1+2,∴2=a1+2,
∴a1=2.
故an=2+(n-1)×4=4n-2,
∴bn=.
∴Bn=b1+b2+…+bn
=
=
=.
∴Bn<.
素养培优练
(2019山东济南高三期中)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=11,S7=161.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若Sn>6an-5n-12,求n的取值范围;
(3)若bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
解(1)由题意得解得
所以an=6n-1.
(2)由(1)得Sn=5n+×6=3n2+2n,
因为Sn>6an-5n-12,即3n2-29n+18≥0.
解得n≤或n≥9,
因为n≥1且n∈N+,
所以n的取值范围为n≥9且n∈N+.
(3)因为bn=,所以Tn=++…+==.(共30张PPT)
5.2.2 等差数列的前n项和
激趣诱思
知识点拨
泰姫陵坐落于印度古都阿格拉,是17世纪莫卧儿帝国皇帝沙·贾汗为纪念其爱妃所建,被评为世界新七大奇迹之一.它的主体建筑由纯白大理石砌建而成,陵寝以宝石镶饰,图案之细致令人叫绝.
传说陵寝中有一个三角形图案,以相同大小的圆宝石镶饰而成,共有100层(如图),你知道这个图案一共用了多少颗宝石吗?
激趣诱思
知识点拨
一、等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的前n项和为Sn,
激趣诱思
知识点拨
名师点析
对前n项和公式的几点说明
(1)等差数列的两个求和公式一共涉及a1,an,Sn,n,d五个量,通常已知其中三个,可求另外两个,方法就是解方程组,这也是等差数列的基本问题形式.
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)在等差数列{an}中,已知a1=-1,a10=11,则S10等于( )
A.30
B.40
C.50
D.60
(2)已知等差数列{an}中,a1=-5,d=3,则S8=( )
A.44
B.40
C.15
D.5
答案:(1)C (2)A
激趣诱思
知识点拨
微拓展
等差数列前n项和的性质
性质1:等差数列的依次k项之和仍然是等差数列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,S4k-S3k,…成等差数列,且公差为k2d.
性质3:等差数列{an}中,若an=m,am=n,则am+n=0;若Sn=m,Sm=n(m≠n),则Sm+n=-(m+n).
激趣诱思
知识点拨
性质1表示等差数列的前k项、第(k+1)项至第2k项、第(2k+1)项至第3k项仍成等差数列,而不是Sk,S2k,S3k成等差数列.
激趣诱思
知识点拨
二、等差数列的前n项和公式与函数的关系
激趣诱思
知识点拨
微思考
从函数的角度认识等差数列的前n项和,你有何新发现?
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
等差数列的前n项和公式的直接应用
例1在等差数列{an}中,
(1)已知S8=24,S12=84,求a1和d;
(2)已知a6=20,S5=10,求a8和S8;
(3)已知a16=3,求S31.
思路分析在等差数列的前n项和公式中有五个基本量a1,an,d,n,Sn,只要已知任意三个量,就可以求出其他两个量.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
反思感悟
等差数列的求解策略
在等差数列{an}中,首项a1与公差d是两个最基本的元素,有关等差数列的问题,均可化成有关a1,d的方程或方程组求解.解题过程中,要注意:①选择适当的公式;②合理利用等差数列的有关性质.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
变式训练1设Sn为等差数列{an}的前n项和,S4=14,S10-S7=30,则S9= .?
答案:54
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
等差数列前n项和性质的应用
例2(1)等差数列{an}中共有3m项,前2m项的和为100,后2m项的和为200,求中间m项的和.
(2)项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,求这个数列的中间项及项数.
思路分析(1)本题考查等差数列前n项和的性质及前n项和公式的应用.(2)已知等差数列的奇、偶数项的和,求特殊项与项数,可从整体上直接考虑奇、偶数项的和与特殊项及项数的关系.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
(方法二)∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,
∴2(S2m-Sm)=Sm+(S3m-S2m).
又S2m=100,S3m-Sm=200,
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
(2)设等差数列{an}共有(2n+1)项,则奇数项有(n+1)项,偶数项有n项,中间项是第(n+1)项,即an+1.
∴2n+1=7.
又S奇=(n+1)·an+1=44,
∴an+1=11.
故这个数列的中间项为11,共有7项.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
反思感悟
等差数列前n项和的性质主要有以下两类:
(1)在等差数列{an}中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等差数列.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
变式训练2(1)已知某等差数列{an}共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为( )
A.5
B.4
C.3
D.2
(2)等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为( )
A.130
B.170
C.210
D.260
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
(2)由Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,且Sm=30,S2m=20,
得2(S2m-Sm)=Sm+S3m-S2m,
即2(100-30)=30+S3m-100,
解得S3m=210.
答案:(1)C (2)C
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
等差数列前n项和的最值问题
典例在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9,求Sn的最大值.
名师点拨本题可用二次函数求最值或由通项公式求n,使an≥0,an+1<0或利用等差数列的性质求出大于或等于零的项.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
由二次函数的性质得当n=13时,Sn有最大值169.
(方法二)先求出d=-2(同方法一).
∵a1=25>0,
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
(方法三)先求出d=-2(同方法一).
由S17=S9,得a10+a11+…+a17=0,
又a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14,
故a13+a14=0.
∵d=-2<0,a1>0,∴a13>0,a14<0.
故n=13时,Sn有最大值169.
(方法四)先求出d=-2(同方法一),则Sn的图像如图所示,
故当n=13时,Sn取得最大值169.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
方法点睛
解等差数列的前n项和最大(最小)值问题的常用方法有:
(1)二次函数法:由于
是关于n的二次式,因此可用二次函数的最值来确定Sn的最值,但要注意这里的n∈N+.
(2)图像法:可利用二次函数图像的对称性来确定n的值,使Sn达到最大(或最小).
(3)通项法:由于Sn=Sn-1+an,所以当an≥0时,Sn≥Sn-1;当an≤0时,Sn≤Sn-1,因此当a1>0,且d<0时,使an≥0的最大的n的值,使Sn最大;当a1<0,d>0时,满足an≤0的最大的n的值,使Sn最小.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
变式训练等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差d<0,则使{an}的前n项和Sn最大,n的值为( )
A.5
B.6
C.5或6
D.6或7
解析:由已知得a3>0,a9<0,因此|a3|=|a9|可化为a3+a9=0,即a6=0,∴S5=S6,故使{an}的前n项和Sn最大,n的值为5或6.
答案:C
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
解析:由题意可得4a1+6d=a1+5d?-3a1=d,
答案:C
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
2.(2020四川宜宾第四中学校高三月考)设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知13a3+S13=52,则S9=( )
A.9
B.18
C.27
D.36
答案:B
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
3.设数列{an}是等差数列,且a2=-6,a8=6,Sn是数列{an}的前n项和,则( )
A.S4B.S4=S5
C.S6D.S6=S5
解析:(方法一)设该等差数列的首项为a1,公差为d,
从而有S4=-20,S5=-20,S6=-18.
从而有S4=S5.
(方法二)由等差数列的性质知a5+a5=a2+a8=-6+6=0,
所以a5=0,从而有S4=S5.
答案:B
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a4+a7+a10=9,S14-S3=77,则使Sn取得最小值时n的值为 .?
答案:5
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
5.等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10=30,a20=50.
(1)求通项an;
(2)若Sn=242,求n.
