(共34张PPT)
7.1.1 条件概率 7.1.2 全概率公式
激趣诱思
知识点拨
春节期间,妈妈带着达娜去她的一个朋友家做客,闲谈时正巧碰到她的女儿回家,这时主人介绍说:“这是我的一个女儿,我还有一个孩子呢.”在回家的路上妈妈告诉达娜:“这个家庭有两个孩子,只知道有一个是女孩,另一个不太清楚.”于是达娜在想,另一个孩子也是女孩的可能性有多大呢?是50%的概率吗?你能帮达娜分析一下吗?
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知识点拨
一、条件概率
1.定义:一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B|A)=
为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.
2.概率的乘法公式:对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A).我们称该式为概率的乘法公式.
名师点析对于条件概率需注意的问题
(1)利用条件概率公式求P(B|A)时一定要注意P(A)>0.
(2)事件B在“事件A已发生”这个附加条件下发生的概率与没有这个附加条件发生的概率一般是不相同的.
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知识点拨
微思考
(1)P(B|A)与P(AB)有何区别?
(2)若事件A,B互斥,则P(B|A)是多少?
提示:(1)P(B|A)的值是事件AB发生相对于事件A发生的概率的大小;而P(AB)是事件AB发生相对于原来的总空间而言,一般P(B|A)≠P(AB).
(2)A与B互斥,即A,B不同时发生,则P(AB)=0,故P(B|A)=0.
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微练习
解析:设A=“下雨”,B=“刮风”,AB=“既刮风又下雨”,则
答案:C
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知识点拨
二、条件概率的性质
条件概率只是缩小了样本空间,因此条件概率同样具有概率的性质.设P(A)>0,则
(1)P(Ω|A)=1;
(2)如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A);
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微练习
某人一周晚上值班2次,在已知他周日晚上一定值班的条件下,他在周六晚上或周五晚上值班的概率为 .?
解析:设事件A=“周日晚上值班”,事件B=“周五晚上值班”,事件C=“周六晚上值班”,
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知识点拨
三、全概率公式
1.定义:一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B?Ω,有
,我们称此公式为全概率公式.
2.贝叶斯公式:设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B?Ω,P(B)>0,有
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微练习
设1
000件产品中有200件是不合格品,依次不放回地抽取两件产品,则第二次抽到的是不合格品的概率为 .?
解析:设事件A=“第一次抽到的是不合格品”,事件B=“第一次抽到的是合格品”,事件C=“第二次抽到的是不合格品”,则A∪B=Ω,且A与B互斥.由题意知
答案:0.2
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
利用条件概率公式求条件概率
例1集合A={1,2,3,4,5,6},甲、乙两人各从A中任取一个数,若甲先取(不放回),乙后取,在甲抽到奇数的条件下,求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率.
探究一
探究二
探究三
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延伸探究
1.在本例条件下,求乙抽到偶数的概率.
探究一
探究二
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2.若甲先取(放回),乙后取,设事件M为“甲抽到的数大于4”,事件N为“甲、乙抽到的两数之和等于7”,求P(N|M).
探究一
探究二
探究三
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探究一
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探究三
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变式训练1某校高三(1)班有学生40人,其中共青团员15人,全班分成4个小组,第一小组有学生10人,其中共青团员4人.从该班任选一人作为学生代表.
(1)求选到的是共青团员的概率;
(2)求选到的既是共青团员又是第一小组学生的概率;
(3)已知选到的是共青团员,求他是第一小组学生的概率.
探究一
探究二
探究三
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解:设“选到的是共青团员”为事件A,“选到的是第一小组学生”为事件B,则“选到的既是共青团员又是第一小组学生”为事件AB.
探究一
探究二
探究三
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求互斥事件的条件概率
例2在一个袋子中装有除颜色外其他都相同的10个球,其中有1个红球、2个黄球、3个黑球、4个白球,从中依次不放回地摸2个球,求在摸出的第一个球是红球的条件下,第二个球是黄球或黑球的概率.
探究一
探究二
探究三
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解:设“摸出的第一个球为红球”为事件A,“摸出的第二个球为黄球”为事件B,“摸出的第二个球为黑球”为事件C.
探究一
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反思感悟
当所求事件的概率相对较复杂时,往往把该事件分成两个(或多个)互斥的较简单的事件之和,求出这些较简单事件的概率,再利用P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)便可求得所求事件的概率.但应注意这个公式在“B与C互斥”这一前提下才成立.
探究一
探究二
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变式训练2一张储蓄卡的密码共有6位数字,每位数字都可从0~9中任选一个.某人在银行自动提款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字,求:
(1)任意按最后一位数字,不超过3次就按对的概率;
(2)如果他记得密码的最后一位的数字不大于4,不超过3次就按对的概率.
探究一
探究二
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探究一
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全概率公式的应用
例3袋中装有编号为1,2,…,10的10个球,先从袋中任取一个球,如果该球不是1号球就放回袋中,是1号球就不放回袋中,再摸一次,求取到2号球的概率.
探究一
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探究三
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反思感悟
利用全概率公式求概率
为了求复杂事件的概率,往往可以把它分解成若干个互不相容的简单事件,然后利用条件概率和概率的乘法公式,求出这些简单事件的概率,最后将概率相加,得到最终结果,这一方法实质就是全概率公式的应用.
探究一
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变式训练31号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱中随机取出一球,求从2号箱取出的球是红球的概率.
探究一
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探究一
探究二
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有放回条件概率与无放回条件概率的区别
典例一个口袋内装有除颜色外完全相同的2个白球和2个黑球,下列两个问题的结果一样吗?
(1)先摸出1个白球不放回,再摸出1个白球的概率是多少?
(2)先摸出1个白球后放回,再摸出1个白球的概率是多少?
探究一
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解:不一样.记“先摸出1个白球”为事件A,“再摸出1个白球”为事件B,则“先后两次都摸出白球”为事件AB.
(1)先摸出1个球不放回,再摸出1个球共有4×3种结果,
探究一
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探究一
探究二
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方法点睛
1.在计算条件概率时,首先把问题涉及的事件用A,B表示,然后根据已知条件求出P(A),P(B),P(AB),最后根据条件概率公式求出P(B|A)或P(A|B).
2.在有放回和无放回两种前提下求得的概率是不相同的.
探究一
探究二
探究三
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答案:B
探究一
探究二
探究三
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2.盒中有10只同一型号的螺丝钉,其中3只是坏的,现在从盒中不放回地依次抽取两只,则在第一只是好的的条件下,第二只是坏的概率为( )
解析:设事件A为“抽取的第一只是好的”,事件B为“抽取的第二只是坏的”,
答案:B
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3.假定生男、生女是等可能的,一个家庭中有两个小孩,已知有一个是女孩,则另一个小孩是男孩的概率是 .?
解析:一个家庭的两个小孩只有4种可能:(男,男),(男,女),(女,男),(女,
女).由题意可知,所求概率
探究一
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4.5个乒乓球,其中3个新的,2个旧的,每次取一个,不放回地取两次,则在第一次取到新球的条件下,第二次取到新球的概率为 .?
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5.从1~100共100个正整数中,任取一个数,已知取出的一个数不大于50,求此数是2或3的倍数的概率.
解:设事件A为“取出的数不大于50”,事件B为“取出的数是2或3的倍数”,第七章随机变量及其分布
7.1 条件概率与全概率公式
7.1.1 条件概率 7.1.2 全概率公式
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知P(B|A)=,P(A)=,则P(AB)等于
( )
A.
B.
C.
D.
解析P(AB)=P(B|A)·P(A)=.
答案C
2.市场上供应的灯泡中,甲厂灯泡占70%,乙厂灯泡占30%,甲厂灯泡的合格率是95%,乙厂灯泡的合格率是80%,则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是
( )
A.0.665
B.0.564
C.0.245
D.0.285
解析记事件A为“买到一个甲厂灯泡”,事件B为“买到一个合格灯泡”,则P(A)=0.7,P(B|A)=0.95,
故P(AB)=P(A)·P(B|A)=0.7×0.95=0.665.
答案A
3.(2020北京临川学校高三月考)将三枚骰子各掷一次,设事件A为“三个点数都不相同”,事件B为“至少出现一个6点”,则P(A|B)的值为( )
A.
B.
C.
D.
解析依题意,P(AB)=,
P(B)=1-P()=1-=1-,
故P(A|B)=.
答案A
4.某班学生考试成绩中,数学不及格的占15%,语文不及格的占5%,两门都不及格的占3%.已知某学生数学不及格,则他语文也不及格的概率是( )
A.0.2
B.0.33
C.0.5
D.0.6
解析记“数学不及格”为事件A,“语文不及格”为事件B,则P(AB)=0.03,P(A)=0.15,故P(B|A)==0.2.
答案A
5.(多选)(2019广东高二期末)甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球,乙罐中有6个红球、2个白球和2个黑球,先从甲罐中随机取岀一个球放入乙罐,分别以事件A1,A2,A3表示由甲罐取岀的球是红球、白球和黑球,再从乙罐中随机取出一个球,以事件B表示由乙罐取出的球是红球,下列结论正确的是( )
A.事件B与事件A1不相互独立
B.A1,A2,A3是两两互斥的事件
C.P(B)=
D.P(B|A1)=
解析对于A,由题意可知,事件A1发生与否影响事件B的发生,故事件B与事件A1不相互独立,故A正确;
对于B,A1,A2,A3两两不可能同时发生,故B正确;
对于C,P(B)=,故C不正确;
对于D,已知从甲罐中取出一个红球放入乙罐,这时乙罐中有11个球,其中红球有7个,因此,在事件A1发生的条件下,事件B发生的概率为P(B|A1)=,故D正确.故选ABD.
答案ABD
6.(2020湖南衡阳高二月考)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁,已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为,两次闭合后都出现红灯的概率为,则在第一次闭合后出现红灯的条件下,第二次闭合后出现红灯的概率为 .?
解析记“第一次闭合后出现红灯”为事件A,“第二次闭合后出现红灯”为事件B,则P(A)=,P(AB)=,故在第一次闭合后出现红灯的条件下,第二次闭合后出现红灯的概率为P(B|A)=.
答案
7.某种元件用满6
000小时未坏的概率是,用满10
000小时未坏的概率是,现有一个此种元件,已经用过6
000小时未坏,则它能用到10
000小时的概率为 .?
解析设“用满6
000小时未坏”为事件A,“用满10
000小时未坏”为事件B,则P(A)=,P(AB)=P(B)=,故P(B|A)=.
答案
8.有五瓶墨水,其中红色一瓶,蓝色、黑色各两瓶,某同学从中随机任取两瓶,若取得的两瓶中有一瓶是蓝色,则另一瓶是红色或黑色的概率为 .?
解析设事件A为“其中一瓶是蓝色”,事件B为“另一瓶是红色”,事件C为“另一瓶是黑色”,事件D为“另一瓶是红色或黑色”,则D=B∪C,且B与C互斥.又P(A)=,P(AB)=,
P(AC)=,故P(D|A)=P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)=.
答案
9.在某次考试中,要从20道题中随机抽出6道题,考生至少能答对其中4道题即可通过,至少能答对其中5道题就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题,并且知道他在这次考试中已经通过,求他获得优秀成绩的概率.
解记事件A为“该考生6道题全答对”,事件B为“该考生答对了其中5道题”,事件C为“该考生答对了其中4道题”,事件D为“该考生在这次考试中通过”,事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”,则A,B,C两两互斥,且D=A∪B∪C,E=A∪B,由题意可知P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)
=,
P(AD)=P(A),P(BD)=P(B),
故P(E|D)=P(A|D)+P(B|D)=
=.
故获得优秀成绩的概率为.
10.坛子里放着5个大小、形状都相同的咸鸭蛋,其中有3个是绿皮的,2个是白皮的.如果不放回地依次拿出2个鸭蛋,求:
(1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率;
(2)第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋的概率;
(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下,第2次拿出绿皮鸭蛋的概率.
解设“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A,“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B,则“第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋”为事件AB.
(1)从5个鸭蛋中不放回地依次拿出2个鸭蛋包含的样本点的个数为n(Ω)==20.
又n(A)==12,
于是P(A)=.
(2)因为n(AB)=3×2=6,
所以P(AB)=.
(3)由(1)(2),可得在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下,第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为P(B|A)=.
能力提升练
1.某班有6名班干部,其中4名男生、2名女生,从中选出3人参加学校组织的社会实践活动,在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析记“男生甲被选中”为事件A,“女生乙被选中”为事件B.则P(A)=,P(AB)=,
故P(B|A)=.
答案B
2.抛掷两枚质地均匀的骰子,在已知它们点数不同的情况下,有一枚出现6点的概率是( )
A.
B.
C.
D.
解析设“有一枚出现6点”为事件A,“两枚骰子的点数不同”为事件B,则n(B)=6×5=30,n(AB)=10,
所以P(A|B)=.
答案A
3.7名同学站成一排,已知甲站在中间,则乙站在末尾的概率是( )
A.
B.
C.
D.
解析记“甲站在中间”为事件A,“乙站在末尾”为事件B,则n(A)=,n(AB)=,故P(B|A)=.
答案C
4.(2020山东潍坊检测)甲袋中有5个白球、7个红球,乙袋中有4个白球、2个红球,从两个袋中任选一袋,从中任取一球,则取到的球是白球的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析设事件A表示“选中甲袋”,B表示“选中乙袋”,C表示“取到的球是白球”,则P(A)=,P(B)=,P(C|A)=,P(C|B)=,故P(C)=P(C|A)·P(A)+P(C|B)·P(B)=.
答案D
5.设A,B为两个事件,若事件A和B同时发生的概率为,在事件A发生的条件下,事件B发生的概率为,则事件A发生的概率为 .?
解析∵P(B|A)=,P(AB)=,
P(B|A)=,∴,解得P(A)=.
答案
6.先后掷两次骰子(骰子的六个面上的点数分别是1,2,3,4,5,6),落在水平桌面后,记正面朝上的点数分别为x,y,记事件A为“x+y为偶数”,事件B为“x,y中有偶数且x≠y”,则概率P(B|A)= .?
解析由题意可知P(A)=,P(AB)=,故P(B|A)=.
答案
7.甲箱的产品中有5个正品和3个次品,乙箱的产品中有4个正品和3个次品.
(1)从甲箱中任取2个产品,求这2个产品都是次品的概率;
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中,再从乙箱中任取一个产品,求取出的这个产品是正品的概率.
解(1)从甲箱中任取2个产品包含的样本点数为=28,这2个产品都是次品包含的样本点数为=3,所以这2个产品都是次品的概率为.
(2)设事件A为“从乙箱中取一个正品”,事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”,事件B2为“从甲箱中取出1个正品,1个次品”,事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”,则事件B1,B2,B3彼此互斥.
P(B1)=,
P(B2)=,
P(B3)=,
P(A|B1)=,
P(A|B2)=,
P(A|B3)=.
所以P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=.
素养培优练
某电子设备厂所用的元件是由甲、乙、丙三家元件厂提供的.根据以往的记录,这三个厂家的次品率分别为0.02,0.01,0.03,提供元件的份额分别为0.15,0.8,0.05,设这三个厂家的产品在仓库是均匀混合的,且无区别的标志.
(1)在仓库中随机地取一个元件,求它是次品的概率.
(2)在仓库中随机地取一个元件,若已知它是次品,则此次品来自哪个厂家的可能性大?
解设A=“取到的元件是次品”,B=“取到的元件来自甲厂”,B2=“取到的元件来自乙厂”,B3=“取到的元件来自丙厂”,则
P(B1)=0.15,P(B2)=0.8,P(B3)=0.05,P(A|B1)=0.02,P(A|B2)=0.01,P(A|B3)=0.03.
(1)P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)
=0.15×0.02+0.8×0.01+0.05×0.03
=0.012
5.
(2)P(B1|A)==0.24,
P(B2|A)==0.64,
P(B3|A)==0.12.
故此次品来自乙厂的可能性大.
