(共37张PPT)
7.2 离散型随机变量及其分布列
第2课时
激趣诱思
知识点拨
利用随机变量研究某类问题,如抽取的奖券是否中奖,买回的一件产品是否为正品,新生婴儿的性别,投篮是否命中等,这些问题有什么特点?
这些问题的共同点是随机试验只有两个可能的结果.
激趣诱思
知识点拨
一、概率分布列
1.分布列
一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列,分布列的表格表示如下:
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
激趣诱思
知识点拨
名师点析对分布列的理解应注意的问题
(1)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象,与函数的表示法一样,离散型随机变量的分布列也可以用表格、等式P(X=xi)=pi和图象表示.
(2)离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值,而且也能清楚地看到取每一个值的概率的大小,从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布状况,是进一步研究随机变量数字特征的基础.
激趣诱思
知识点拨
2.离散型随机变量分布列的性质
(1)pi≥0,i=1,2,…,n;
(2)p1+p2+…+pn=1.
名师点析对分布列性质的理解
1.离散型随机变量的两条性质是检验一个分布列是否正确的重要依据,尤其是要看它们的概率之和是否等于1.可利用这两条性质求出分布列中的未知数.
2.离散型随机变量各个可能的取值表示的事件是互斥的,故离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)一个盒子中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球,已知红球个数是绿球个数的两倍,黄球个数是绿球个数的一半,现从该盒子中随机取出一个球.若取出红球得1分,取出黄球得0分,取出绿球得-1分,试写出从该盒子中随机取出一球所得分数ξ的分布列.
解:设黄球的个数为n,则绿球的个数为2n,红球的个数为4n,球的总数为7n,ξ=1,0,-1,所以
ξ
-1
0
1
P
?
?
?
激趣诱思
知识点拨
(2)已知离散型随机变量X的分布列为
X
1
2
3
4
P
?
m
?
?
则m的值为( )
答案:C
激趣诱思
知识点拨
二、两点分布
X
0
1
P
1-p
p
我们称X服从两点分布或0—1分布.
激趣诱思
知识点拨
微练习
设某试验成功率是失败率的2倍,用随机变量ξ去描述一次试验的成功次数,则P(ξ=0)等于( )
解析:由题意知ξ=0表示试验失败,ξ=1表示试验成功,设失败率为p,则成功率为2p,ξ的分布列如下.
ξ
0
1
P
p
2p
答案:C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
离散型随机变量的分布列
例1从装有除颜色外完全相同的6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球,规定每取出1个黑球赢2元,而每取出1个白球输1元,取出黄球无输赢.
(1)以X表示赢得的钱数,求X的分布列;
(2)求出赢钱(即X>0时)的概率.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)依题意,
当取到2个白球时,随机变量X=-2;
当取到1个白球,1个黄球时,随机变量X=-1;
当取到2个黄球时,随机变量X=0;
当取到1个白球,1个黑球时,随机变量X=1;
当取到1个黑球,1个黄球时,随机变量X=2;
当取到2个黑球时,随机变量X=4.
所以随机变量X的可能取值为-2,-1,0,1,2,4.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
所以X的分布列为
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
求离散型随机变量的分布列的步骤
(1)找出随机变量X的所有可能的取值xi(i=1,2,…,n),并确定X=xi的意义;
(2)借助概率知识求出随机变量X取每一个值时的概率P(X=xi)=pi(i=1,2,…,n);
(3)列成表格的形式.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1袋中有1个白球和4个黑球,每次从中任取一个球,每次取出的黑球不再放回,第一次取出白球后停止,求取球次数X的分布列.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
离散型随机变量的分布列的性质
例2设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
求2X+1的分布列.
解:由分布列的性质知,
0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,解得m=0.3.
当X=0,1,2,3,4时,2X+1=1,3,5,7,9,
故2X+1的分布列为
2X+1
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究
若例2的条件不变,求随机变量η=|X-1|的分布列.
解:由例2,知m=0.3.列表为
X
0
1
2
3
4
|X-1|
1
0
1
2
3
故P(η=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3,
P(η=0)=P(X=1)=0.1,P(η=2)=P(X=3)=0.3,
P(η=3)=P(X=4)=0.3.
故η=|X-1|的分布列为
η
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.3
0.3
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.利用分布列中各概率之和为1可求参数的值,此时要注意检验,以保证每个概率值均为非负数.
2.求随机变量在某个范围内的概率时,根据分布列,将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可,其依据是互斥事件的概率加法公式.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
P
0.12
0.24
0.18
0.21
0.25
商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元.若η表示经销一件该商品的利润,求η的分布列.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:由题意得,η的可能取值为200,250,300,
则P(η=200)=P(ξ=1)=0.12,
P(η=250)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.24+0.18=0.42,
P(η=300)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=0.21+0.25=0.46,
故η的分布列为
η
200
250
300
P
0.12
0.42
0.46
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
两点分布
例3一个袋中装有除颜色外其他都相同的3个白球和4个红球.
(1)从中任意摸出1个球,用0表示摸出白球,用1表示摸出红球,即
(2)从中任意摸出两个球,用Y=0表示“两个球全是白球”,用Y=1表示“两个球不全是白球”,求Y的分布列.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
故X的分布列为
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
两点分布的特点
(1)两点分布中只有两个对应结果,且两个结果是对立的.
(2)由对立事件的概率求法可知P(X=0)+P(X=1)=1.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
分布列在实际生活中的应用
典例某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于102的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验,各生产了100件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果.
A配方的频数分布表
指标值分组
[90,94)
[94,98)
[98,102)
[102,106)
[106,110]
频数
8
20
42
22
8
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
B配方的频数分布表
指标值分组
[90,94)
[94,98)
[98,102)
[102,106)
[106,110]
频数
4
12
42
32
10
(1)分别估计用A配方、B配方生产的产品的优质品率;
(2)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位:元)与其质量指标
从用B配方生产的产品中任取一件,其利润记为X(单位:元),求X的分布列.(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(2)用B配方生产的100件产品中,其质量指标值落入区间[90,94),[94,102),[102,110]的频率分别为0.04,0.54,0.42,因此
P(X=-2)=0.04,P(X=2)=0.54,P(X=4)=0.42,
故X的分布列为
X
-2
2
4
P
0.04
0.54
0.42
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛
本题已知条件中有表格,有函数关系式,出现的概念、术语较多,是比较综合的一道统计概率问题.解答此类问题的技巧和关键在于理解题意,明确各种术语的联系,利用求频率及分布列的思路和方法,逐步求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.(2020浙江高三专题练习)设随机变量X的概率分布列为
则P(|X-3|=1)=( )
答案:D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数).
X
0
1
2
3
4
P
0.1
0.2
0.4
0.2
a
则下列结论错误的是( )
A.a=0.1
B.P(X≥2)=0.7
C.P(X≥3)=0.4
D.P(X≤1)=0.3
答案:C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4.设ξ为一个离散型随机变量,其分布列为
则P(ξ≤0)= .?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
5.袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为
,现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球,甲先取,乙后取,然后甲再取……取后不放回,直到两人中有一人取到白球时终止,每个球在每一次被取出的机会是等可能的,用ξ表示取球终止所需要的取球次数.
(1)求袋中所有的白球的个数.
(2)求随机变量ξ的分布列.
(3)求甲取到白球的概率.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
故ξ的分布列为第七章随机变量及其分布
7.2 离散型随机变量及其分布列
第1课时
课后篇巩固提升
基础达标练
1.给出下列四个命题:
①在某次数学期中考试中,一个考场30名考生做对选择题第12题的人数是随机变量;②黄河每年的最大流量是随机变量;③某体育馆共有6个出口,散场后从某一出口退场的人数是随机变量;④方程x2-2x-3=0的根的个数是随机变量.
其中真命题的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案C
2.一个袋子中有除颜色外其他都相同的红、黄、绿、白四种小球各若干个,一次倒出3个小球,下列变量是离散型随机变量的是( )
A.小球滚出的最大距离
B.倒出小球所需的时间
C.倒出的3个小球的质量之和
D.倒出的3个小球的颜色的种数
解析对于A,小球滚出的最大距离不是离散型随机变量,因为滚出的最大距离不能一一列出;对于B,倒出小球所需的时间不是离散型随机变量,因为所需的时间不能一一列出;对于C,3个小球的质量之和是一个定值,不是随机变量;对于D,倒出的3个小球的颜色的种数可以一一列出,是离散型随机变量.
答案D
3.袋中有大小相同的5个球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球,设两个球的号码之和为随机变量X,则X所有可能取值的个数是( )
A.5
B.9
C.10
D.25
解析X的可能取值是2,3,4,5,6,7,8,9,10,共9个.
答案B
4.一串5把外形相似的钥匙,只有一把能打开锁,依次试验,打不开的扔掉,直到找到能开锁的钥匙为止,则试验次数X的最大可能取值为( )
A.5
B.2
C.3
D.4
解析由题意可知前4次都打不开锁,最后一把钥匙一定能打开锁,故试验次数X的最大可能取值为4.
答案D
5.一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字,只记得最后四位数字两两不同,且都大于5,于是他随机拨最后四位数字(两两不同),设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ,则随机变量ξ的所有可能取值的种数为( )
A.24
B.20
C.4
D.18
解析由于后四位数字两两不同,且都大于5,因此只能是6,7,8,9四位数字的不同排列,故有=24种.
答案A
6.对一批产品逐个进行检测,第一次检测到次品前已检测的产品个数为ξ,则ξ=k表示的试验结果为( )
A.第k-1次检测到正品,而第k次检测到次品
B.第k次检测到正品,而第k+1次检测到次品
C.前k-1次检测到正品,而第k次检测到次品
D.前k次检测到正品,而第k+1次检测到次品
解析由题意,得ξ=k表示第一次检测到次品前已检测的产品个数为k,因此前k次检测到的都是正品,第k+1次检测到的是次品,故选D.
答案D
7.已知Y=2X为离散型随机变量,Y的可能取值为1,2,3,…,10,则X的可能取值为 .?
解析分别将Y的取值1,2,3,…,10代入Y=2X中,得X=,1,,2,,3,,4,,5.
答案,1,,2,,3,,4,,5
8.下面给出三个变量:
(1)2013年地球上发生地震的次数ξ.
(2)在一段时间间隔内某种放射性物质发生的α粒子数η.
(3)在一段时间间隔内某路口通过的宝马车的辆数X.
其中是随机变量的是 .?
解析(1)2013年地球上发生地震的次数ξ是确定的,故不是随机变量;(2)发出的α粒子数η是变化的,是随机变量;(3)通过的宝马车的辆数X是变化的,是随机变量.
答案(2)(3)
9.某篮球运动员在罚球训练时,规定罚中1球得2分,罚不中得0分,该队员在5次罚球中命中的次数X是一个随机变量.
(1)写出X的所有可能取值及每一个取值所表示的试验结果;
(2)若记该队员在5次罚球后的得分为Y,写出所有Y的取值及每一个取值所表示的试验结果.
解(1)X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.它们表示在5次罚球中分别罚中0次,1次,2次,3次,4次,5次.
(2)Y的所有可能取值为0,2,4,6,8,10.它们表示5次罚球后分别得0分,2分,4分,6分,8分,10分.
10.一个袋中装有除颜色外其他都相同的5个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数为X.
(1)列表说明可能出现的结果与对应的X的值;
(2)若规定抽取3个球中,每抽到一个白球加5分,抽到黑球不加分,且最后不管结果如何都加上6分,求最终得分Y的可能取值.
解(1)
结果
取得3
个黑球
取得1个
白球,2个
黑球
取得2个
白球,1个
黑球
取得3
个白球
X
0
1
2
3
(2)由题意可得Y=5X+6,而X的可能取值为0,1,2,3,所以Y对应的取值为5×0+6,5×1+6,5×2+6,5×3+6,即Y的可能取值为6,11,16,21.
能力提升练
1.袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球,分别标有数字1,2,3,4,5,现从中任意抽取2个,设两个球上的数字之积为X,则X所有可能取值的个数是( )
A.6
B.7
C.10
D.25
解析X的所有可能取值有1×2,1×3,1×4,1×5,2×3,2×4,2×5,3×4,3×5,4×5,共10个.
答案C
2.一个袋中装有5个白球和5个红球,从中任取3个,其中所含白球的个数记为ξ,则随机变量ξ的值域为 .?
答案{0,1,2,3}
3.一个木箱中装有8个同样大小的篮球,编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8,现从中随机取出3个篮球,以X表示取出的篮球的最大号码,则X=8表示的试验结果有 种.?
解析X=8表示“3个篮球中一个编号是8,另外两个从剩余7个中任选”,有=21(种)选法,即X=8表示的试验结果有21种.
答案21
4.某人去商厦为所在公司购买玻璃水杯若干只,公司要求至少要买50只,但不得超过80只.商厦有优惠规定:一次购买少于或等于50只的无优惠;多于50只的,超出的部分按原价的7折优惠.已知水杯原来的价格是每只6元.这个人一次购买水杯的只数ξ是一个随机变量,则他所付款η是否也为一个随机变量呢?ξ,η有什么关系呢?
解所付款η也是一个随机变量,且η=50×6+(ξ-50)×6×0.7=4.2ξ+90,ξ∈[50,80],且ξ∈N.
5.某次演唱比赛,需要加试文化科学素质,每位参赛选手需回答3个问题,组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择,其中有5道文史类题目、3道科技类题目、2道体育类题目.测试时,每位选手从给定的10道题目中不放回地随机抽取3次,每次抽取一道题目,回答完该题后,再抽取下一道题目作答.记某选手抽到科技类题目的道数为X.
(1)试求出随机变量X的可能取值.
(2)X=1表示的试验结果是什么?可能出现多少种不同的结果?
解(1)由题意得X的可能取值为0,1,2,3.
(2)X=1表示的试验结果是“恰好抽到一道科技类题目”.可能出现=378(种)不同的结果.
素养培优练
写出下列随机变量可能的取值,并说明这些值所表示的随机试验的结果.
(1)一个袋中装有大小相同的2个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数X;
(2)抛掷两枚骰子各一次,第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差的绝对值Y.
解(1)X的所有可能取值为0,1,2.
X=0表示所取的3个球是3个黑球;
X=1表示所取的3个球是1个白球、2个黑球;
X=2表示所取的3个球是2个白球、1个黑球.
(2)Y的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.
用(a,b)表示一个样本点,其中a为第一枚骰子掷出的点数,b为第二枚骰子掷出的点数.
Y=0表示掷出的两枚骰子的点数相同,其包含的样本点有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6).
Y=1表示掷出的两枚骰子的点数相差1,其包含的样本点有(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(4,5),(5,4),(5,6),(6,5).
Y=2表示掷出的两枚骰子的点数相差2,其包含的样本点有(1,3),(3,1),(2,4),(4,2),(3,5),(5,3),(4,6),(6,4).
Y=3表示掷出的两枚骰子的点数相差3,其包含的样本点有(1,4),(4,1),(2,5),(5,2),(3,6),(6,3).
Y=4表示掷出的两枚骰子的点数相差4,其包含的样本点有(1,5),(5,1),(2,6),(6,2).
Y=5表示掷出的两枚骰子的点数相差5,其包含的样本点有(1,6),(6,1).(共29张PPT)
7.2 离散型随机变量及其分布列
第1课时
激趣诱思
知识点拨
在射击运动中,运动员射击一次,可能出现不中靶,命中1环,…,命中10环等结果,若用变量X表示他一次射击所命中的环数,则变量X取值情况如何?(变量X的结果可由0,1,…,10这11个数表示).
激趣诱思
知识点拨
一、随机变量
1.定义:一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量.
2.表示:通常用大写英文字母表示随机变量,例如X,Y,Z;用小写英文字母表示随机变量的取值,例如x,y,z.
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.所谓随机变量,就是随机试验的试验结果与实数之间的一种对应关系,这种对应关系是人为建立起来,但又是客观存在的.
2.随机试验的结果可用数量来表示,有些随机试验的结果虽然不是数量,但可以将它数量化,如抛一枚硬币,所有可能的结果是“正面向上”“反面向上”,在数学中可以用“1”代表正面向上,用“0”代表反面向上.
3.随机变量的每一种取值结果(即数)在随机试验前是无法预先确定的,在不同的试验中,结果也可能不相同.
4.随机变量不仅具有取值的随机性,而且具有取值的统计规律性,即随机变量取某一个值或某些值的概率是完全确定的.
激趣诱思
知识点拨
微思考
随机变量和函数有类似的地方吗?
提示:随机变量和函数都是一种对应关系,随机变量把样本点与实数对应,函数把实数与实数对应,由随机变量的定义知,样本点ω相当于函数定义中的自变量,样本空间Ω相当于函数的定义域.
激趣诱思
知识点拨
微练习
将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次,则可以作为随机变量的是( )
A.第一次出现的点数
B.第二次出现的点数
C.两次出现的点数之和
D.两次出现相同点的种数
答案:C
激趣诱思
知识点拨
二、离散型随机变量
可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量,我们称之为离散型随机变量.
激趣诱思
知识点拨
微思考
下列随机变量中,不是离散型随机变量的是( )
A.某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数X
B.某水位监测站所测水位在(0,18]这一范围内变化,该水位监测站所测水位H
C.从装有1红、3黄共4个球的口袋中,取出2个球,其中黄球的个数Y
D.将一个骰子连续抛掷3次,3次出现的点数和Z
答案:B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
随机变量的概念
例1判断下列各量是否为随机变量.
(1)从编号为1到10的卡片中任取一张,抽出卡片的号数;
(2)某辆动车到达某站的时间;
(3)体积为1
000
cm3的球的半径.
解:(1)抽出卡片的号数可能为1,2,…,10,出现哪种结果是随机的,因此是随机变量.(2)某辆动车到达某站的时间是在某一区间内的任意一值,是随机的,因此是随机变量.
(3)当球的体积为1
000
cm3时,半径为定值,不是随机变量.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
对随机变量的理解
(1)随机变量的取值是将随机试验的结果数量化;
(2)随机变量的取值对应于某随机试验的某一次随机结果;
(3)有些随机试验的结果不具有数量关系,但我们仍可以用数量表示它;
(4)对随机变量的所有可能取值都要明确,不能重复也不能遗漏.
在一次随机试验中,随机变量的取值实质上是随机试验的结果所对应的数,且这个数所有可能的取值是预先知道的,但不知道究竟会出现哪一个.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1下列变量中,不是随机变量的是( )
A.一位射击手射击一次命中的环数
B.在标准状态下,水沸腾时的温度
C.某景点7月份每天接待的游客数量
D.高速公路某收费站在未来1小时内经过的车辆数
答案:B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
离散型随机变量的判定
例2下列变量是离散型随机变量的是 .?
(1)下期某闯关节目中过关的人数;
(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差;
(3)在郑州至武汉的电气化铁道线上,每隔50
m有一电线铁塔,从郑州至武汉的电气化铁道线上将电线铁塔进行编号,其中某一电线铁塔的编号;
(4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化,该水位站所测水位.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解析:(1)是离散型随机变量.因为过关人数可以一一列出.
(2)不是离散型随机变量.因为实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出.
(3)是离散型随机变量.因为电线铁塔为有限个,其编号可以一一列出.
(4)不是离散型随机变量.因为水位在(0,29]这一范围内变化,对水位值不能按一定次序一一列出.
答案:(1)(3)
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探究三
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当堂检测
延伸探究
将本例的(4)改为:若用X=0表示监测站所测水位没有超过警戒线,X=1表示监测站所测水位超过警戒线,x表示所测水位(警戒水位是29
m),X是离散型随机变量吗?
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当堂检测
反思感悟
“三步法”判定离散型随机变量
(1)依据具体情境分析变量是否为随机变量.
(2)由条件求解随机变量的值域.
(3)判断变量的取值是否为有限个或能否一一列举出来.若能,则是离散型随机变量;否则,不是离散型随机变量.
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探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2①某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数;②某网站中某歌曲一天内被点击的次数;③射手对目标进行射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,该射手在一次射击中的得分.其中,是离散型随机变量的是( )
A.①②③
B.①②
C.①③
D.②③
答案:A
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离散型随机变量的取值
例3写出下列随机变量可能的取值,并说明这些值所表示的随机试验的结果.
(1)袋中有大小相同的红球10个、白球5个,从袋中每次任取1个球,取后不放回,直到取出的球是白球为止,所需要的取球次数;
(2)从标有数字1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张,所取卡片上的数字之和.
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素养形成
当堂检测
解:(1)设所需要的取球次数为X,则X=1,2,3,4,…,10,11,X=i表示前i-1次取到的均是红球,第i次取到白球,这里i=1,2,3,4,…,11.
(2)设所取卡片上的数字之和为X,则X=3,4,5,…,11.
X=3表示取出标有1,2的两张卡片;
X=4表示取出标有1,3的两张卡片;
X=5表示取出标有2,3或1,4的两张卡片;
X=6表示取出标有2,4或1,5的两张卡片;
X=7表示取出标有3,4或2,5或1,6的两张卡片;
X=8表示取出标有2,6或3,5的两张卡片;
X=9表示取出标有3,6或4,5的两张卡片;
X=10表示取出标有4,6的两张卡片;
X=11表示取出标有5,6的两张卡片.
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延伸探究
本例(2)的条件不变,设所取卡片上的数字之差的绝对值为随机变量ξ,请问ξ有哪些取值?其中ξ=4表示什么含义?
解:ξ的所有可能的取值为1,2,3,4,5,共5个.
“ξ=4”表示取到标有1,5或2,6的两张卡片.
反思感悟
解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值,以及取每一个值时对应的意义,即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果,解答过程中不要漏掉某些试验结果.
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变式训练3写出下列随机变量可能的取值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.
(1)某学生从学校回家要经过3个红绿灯路口,他可能遇到红灯的次数ξ;
(2)从含有10件次品的100件产品中任取4件,取到次品的件数X.
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解:(1)ξ可能的取值为0,1,2,3,
ξ=0表示遇到红灯的次数为0;
ξ=1表示遇到红灯的次数为1;
ξ=2表示遇到红灯的次数为2;
ξ=3表示遇到红灯的次数为3.
(2)X可能的取值为0,1,2,3,4.
X=0表示取出0件次品;
X=1表示取出1件次品;
X=2表示取出2件次品;
X=3表示取出3件次品;
X=4表示取出4件次品.
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列举法求解随机变量的可能取值
典例抛掷两枚质地均匀的骰子各一次,X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差,求X的所有可能的取值.
解:设第一枚骰子的点数为x,第二枚骰子的点数为y,
则X=x-y.因为x=1,2,3,4,5,6,y=1,2,3,4,5,6,所以X=-5,-4,-3,-2,-1,
0,1,2,3,4,5.
方法点睛
求随机变量所有可能的取值时,为避免漏掉个别取值,可先用列举法列出随机试验包含的所有样本点,再根据随机变量的含义求出其所有可能的取值.
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当堂检测
1.下列变量中,不是随机变量的是( )
A.2024年奥运会上中国取得的金牌数
B.某网站一天的点击量
C.2016年奥运会上中国取得的金牌数
D.某人投篮6次投中的次数
答案:C
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2.已知下列随机变量:
①10件产品中有2件次品,从中任选3件,取到次品的件数X;
②某道路斑马线一天经过的人数X;
③某运动员在一次110米跨栏比赛中的成绩X;
④在体育彩票的抽奖中,下一次摇号产生的号码数X.
其中X是离散型随机变量的是( )
A.①②③
B.②③④
C.①②④
D.③④
答案:C
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3.在8件产品中,有3件次品,5件正品,从中任取3件,记次品的件数为ξ,则ξ<2表示的试验结果是 .?
解析:应分ξ=0和ξ=1两类.ξ=0表示取到3件正品;ξ=1表示取到1件次品、2件正品.故ξ<2表示的试验结果为取到1件次品,2件正品或取到3件正品.
答案:取到1件次品、2件正品或取到3件正品
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4.下列随机变量不是离散型随机变量的是 .(填序号)?
①某宾馆每天入住的旅客数量X;
②广州某水文站观测到一天中珠江的水位X;
③深圳欢乐谷一日接待游客的数量X;
④虎门大桥一天经过的车辆数X.
答案:②
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当堂检测
5.某车间两天内每天生产10件某产品,其中第一天、第二天分别生产了1件、2件次品,而质检部门每天要在生产的10件产品中随机抽取4件进行检查,若发现有次品,则当天的产品不能通过.若厂内对车间生产的产品采用记分制,两天全不通过检查得0分,通过一天、两天分别得1分、2分.设该车间在这两天内得分为ξ,写出ξ的可能取值,并说明这些值所表示的随机试验的结果.
解:ξ的可能取值为0,1,2.
ξ=0表示在两天检查中均发现了次品;
ξ=1表示在两天检查中有1天没有检查到次品,1天检查到次品;
ξ=2表示在两天检查中都没有发现次品.第七章随机变量及其分布
7.2 离散型随机变量及其分布列
第2课时
课后篇巩固提升
基础达标练
1.设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
若随机变量Y=X-2,则P(Y=2)等于( )
A.0.3
B.0.4
C.0.6
D.0.7
解析由0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,得m=0.3,故P(Y=2)=P(X=4)=0.3.
答案A
2.(2020浙江高三专题练习)已知离散型随机变量X的分布列如下表,则实数c为( )
X
0
1
P
9c2-c
3-8c
A.
B.
C.
D.
解析由离散型随机变量分布列的性质知,9c2-c≥0,3-8c≥0,9c2-c+3-8c=1,
解得c=.故选A.
答案A
3.若随机变量X的分布列为
X
-2
-1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
则当P(X
A.(-∞,2]
B.[1,2]
C.(1,2]
D.(1,2)
解析由随机变量X的分布列知P(X<1)=0.5,P(X<2)=0.8,故当P(X答案C
4.(2020潍坊高三月考)若随机变量X的分布列如下表所示,则a2+b2的最小值为( )
X
0
1
2
3
P
a
b
A.
B.
C.
D.
解析由分布列性质可知a+b=,故a2+b2≥,当且仅当a=b=时,等号成立.故选C.
答案C
5.已知离散型随机变量X的概率分布规律为P(X=n)=(n=1,2,3,4),其中a是常数,则PA.
B.
C.
D.
解析∵P(X=n)=(n=1,2,3,4),∴=1,∴a=,
∴P答案D
6.已知随机变量X的分布列如下表.
X
0
1
2
3
4
5
P
则X为奇数的概率为 .?
答案
7.有一种密码,明文由三个字母组成,密码由明文的这三个字母对应的五个数字组成.编码规则如下表.明文由表中每一排取一个字母组成,且第一排取的字母放在第一位,第二排取的字母放在第二位,第三排取的字母放在第三位,对应的密码由明文所取的这三个字母对应的数字按相同的次序排成一组组成.如明文取的三个字母为AFP,则与它对应的五个数字(密码)就为11223.
第一排
明文字母
A
B
C
密码数字
11
12
13
第二排
明文字母
E
F
G
密码数字
21
22
23
第三排
明文字母
M
N
P
密码数字
1
2
3
(1)假设明文是BGN,求这个明文对应的密码;
(2)设随机变量ξ表示密码中所含不同数字的个数.
①求P(ξ=2);
②求随机变量ξ的分布列.
解(1)这个明文对应的密码是12232.
(2)①∵表格的第一、二列均由数字1,2组成,
∴当ξ=2时,明文只能取表格第一、第二列中的字母.
∴P(ξ=2)=.
②由题意可知,ξ的取值为2,3.
∴P(ξ=3)=1-P(ξ=2)=1-.
∴ξ的分布列为
ξ
2
3
P
8.某市举行“中学生诗词大赛”,分初赛和复赛两个阶段进行,规定:初赛成绩大于90分的具有复赛资格.某校有800名学生参加了初赛,所有学生的成绩均在区间(30,150]内,其频率分布直方图如图.
(1)求获得复赛资格的人数.
(2)从初赛得分在区间(110,150]的参赛者中,利用分层随机抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流,那么从得分在区间(110,130]与(130,150]中各抽取多少人?
(3)从(2)抽取的7人中,选出3人参加全市座谈交流,设X表示得分在区间(130,150]中参加全市座谈交流的人数,求X的分布列.
解(1)由题意知在区间(90,110]的频率为1-20×(0.002
5+0.005+0.007
5×2+0.012
5)=0.3,
0.3+(0.012
5+0.005)×20=0.65,
故获得复赛资格的人数为800×0.65=520.
(2)0.012
5∶0.005=5∶2,
在区间(110,150]的参赛者中,利用分层随机抽样的方法随机抽取7人,
则在区间(110,130]与(130,150]中各抽取5人,2人.
(3)X的可能取值为0,1,2,则
P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=.
故X的分布列为
X
0
1
2
P
能力提升练
1.(多选)下列随机变量服从两点分布的是( )
A.抛掷一枚质地均匀的骰子,所得点数为随机变量X
B.某射手射击一次,击中目标的次数为随机变量X
C.从装有5个红球,3个白球的袋中取1个球,令随机变量X=
D.某医生做一次手术,手术成功的次数为随机变量X
答案BCD
2.已知抛掷2枚骰子,所得点数之和X是一个随机变量,则P(X≤4)等于( )
A.
B.
C.
D.
解析根据题意,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,故P(X≤4)=.
答案A
3.已知随机变量ξ只能取三个值x1,x2,x3,其概率依次成等差数列,则该等差数列的公差的取值范围是( )
A.0,
B.-
C.-3,3
D.0,1
解析设随机变量ξ取x1,x2,x3的概率分别为a-d,a,a+d(0≤a-d≤1,0≤a+d≤1),则由分布列的性质,得(a-d)+a+(a+d)=1,故a=.
由解得-≤d≤.
答案B
4.由于电脑故障,使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以“x,y”代替),其分布列如下.
X
1
2
3
4
5
6
P
0.20
0.10
0.x5
0.10
0.1y
0.20
则x,y的值依次为 .?
解析由0.20+0.10+(0.1x+0.05)+0.10+(0.1+0.01y)+0.20=1,得10x+y=25.又因为x,y∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},故x=2,y=5.
答案2,5
5.袋中有4个红球、3个黑球,从袋中任取4个球,取到1个红球得1分,取到1个黑球得3分,记得分为随机变量ξ,则P(ξ≤6)= .?
解析取出的4个球中红球的个数可能为4,3,2,1,相应的黑球的个数为0,1,2,3,其得分ξ=4,6,8,10,则P(ξ≤6)=P(ξ=4)+P(ξ=6)=.
答案
6.已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;
(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X的分布列.
解(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A,则P(A)=.
(2)X的可能取值为200,300,400,
则P(X=200)=,
P(X=300)=,
P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)
=1-.
故X的分布列为
X
200
300
400
P
素养培优练
受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆,统计数据如下:
品牌
甲
乙
首次出现故障
时间x(年)
01x>2
0x>2
轿车数量(辆)
2
3
45
5
45
每辆利润(万元)
1
2
3
1.8
2.9
将频率视为概率,解答下列问题:
(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求其首次出现故障发生在保修期内的概率;
(2)若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1,生产一辆乙品牌轿车的利润为X2,分别求X1,X2的分布列.
解(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A,则P(A)=.
(2)依题意得,X1的分布列为
X1
1
2
3
P
X2的分布列为
X2
1.8
2.9
P