(共33张PPT)
7.3.1 离散型随机变量的均值
激趣诱思
知识点拨
某城市随机抽样调查了1
000户居民的住房情况,发现户型主要集中于160
m2,100
m2,60
m2三种,对应住房的比例为1∶5∶4,能否说该市的人均住房面积为
≈106.7(m2)?此种计算显然不合理,忽略了不同住房面积的居民所占的比例,造成了“被平均”现象.那么如何计算人均住房面积更为合理呢?
激趣诱思
知识点拨
一、离散型随机变量的均值
一般地,若离散型随机变量X的分布列如下表所示,
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=
为随机变量X的均值或数学期望,数学期望简称期望.
激趣诱思
知识点拨
名师点析均值E(X)刻画的是X取值的“中心位置”,这是随机变量X的一个重要特征,它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平.
激趣诱思
知识点拨
微思考
离散型随机变量的均值与分布列有什么区别?
提示:离散型随机变量的分布列和均值虽然都是从整体和全局上刻画随机变量的,但二者有所不同.分布列只给了随机变量取所有可能值的概率,而均值却反映了随机变量取值的平均水平.
激趣诱思
知识点拨
微练习
已知X的分布列为
X
-1
0
1
2
P
?
?
?
?
则X的均值为( )
答案:D
激趣诱思
知识点拨
二、两点分布
一般地,如果随机变量X服从两点分布,那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p.
激趣诱思
知识点拨
微练习
已知随机变量X满足P(X=1)=0.3,P(X=0)=0.7,则E(X)= .?
解析:因为随机变量X服从两点分布,所以E(X)=0.3.
答案:0.3
激趣诱思
知识点拨
三、离散型随机变量均值的性质
一般地,下面的结论成立:E(aX+b)=aE(X)+b.
激趣诱思
知识点拨
微练习
已知随机变量X的分布列如下.
X
0
1
2
3
P
?
?
a
?
则E(X)= ,E(2X-1)= .?
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
求离散型随机变量的均值
例1某地最近出台一项机动车驾照考试规定:每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会,一旦某次考试通过,即可领取驾照,不再参加以后的考试,否则就一直考到第4次为止.如果李明决定参加驾照考试,设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9,求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和均值.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
解:X的可能取值为1,2,3,4,
则P(X=1)=0.6,
P(X=2)=(1-0.6)×0.7=0.28,
P(X=3)=(1-0.6)×(1-0.7)×0.8=0.096,
P(X=4)=(1-0.6)×(1-0.7)×(1-0.8)×1=0.024.
所以在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列为
X
1
2
3
4
P
0.6
0.28
0.096
0.024
E(X)=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
反思感悟
求离散型随机变量均值的步骤
(1)确定离散型随机变量X的取值;
(2)写出分布列,并检查分布列的正确与否;
(3)根据公式求出均值.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
变式训练1盒中装有5节同品牌的五号电池,其中混有两节废电池.现在无放回地每次取一节电池检验,直到取到好电池为止,求抽取次数X的分布列及均值.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
离散型随机变量的均值的性质
例2已知随机变量X的分布列为
若Y=-2X,则E(Y)= .?
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
反思感悟
若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ=aX+b,a,b为实数.一般思路是先求出E(X),再利用公式E(ξ)=E(aX+b)=aE(X)+b求出E(ξ).
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
变式训练2已知随机变量ξ和η,其中η=12ξ+7,且E(η)=34,若ξ的分布列如下表,则m的值为( )
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
解析:因为η=12ξ+7,
所以E(η)=12E(ξ)+7,
答案:A
探究一
探究二
素养形成
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均值的实际应用
典例随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元,设1件产品的利润(单位:万元)为X.
(1)求X的分布列.
(2)求1件产品的平均利润(即X的均值).
(3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为1%,一等品率提高为70%.若此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少?
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
故X的分布列为
X
6
2
1
-2
P
0.63
0.25
0.1
0.02
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
(2)E(X)=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(-2)×0.02=4.34.故1件产品的平均利润为4.34万元.
(3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为
E(X)=6×0.7+2×(1-0.7-0.01-x)+1×x+(-2)×0.01=4.76-x
(0≤x≤0.29),
依题意,E(X)≥4.73,即4.76-x≥4.73,
解得x≤0.03,所以三等品率最多为3%.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
方法点睛
解决与生产实际相关的概率问题时,首先把实际问题概率模型化,然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小,并列出分布列,最后利用公式求出相应的均值.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
跟踪训练某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为
.现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;
(2)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和均值.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
1.已知随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
0.2
0.5
m
则X的均值是( )
A.2
B.2.1
C.2.3
D.随m的变化而变化
解析:∵0.2+0.5+m=1,∴m=0.3.
∴E(X)=1×0.2+2×0.5+3×0.3=2.1.
答案:B
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
则当a增大时,E(ξ)的变化情况是( )
A.E(ξ)增大
B.E(ξ)减小
C.E(ξ)先增大后减小
D.E(ξ)先减小后增大
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
答案:B
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
3.若X的分布列为
,Y=2X+5,则E(Y)= .?
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
4.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,不命中得0分.已知某篮球运动员罚球命中的概率为0.8,则他罚球一次得分X的均值是 .?
解析:因为P(X=1)=0.8,P(X=0)=0.2,所以E(X)=1×0.8+0×0.2=0.8.
答案:0.8
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
5.袋中有4个红球、3个白球,从袋中随机取出4个球.设取出一个红球得2分,取出一个白球得1分,试求得分X的均值.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
所以X的分布列为第七章随机变量及其分布
7.3 离散型随机变量的数字特征
7.3.1 离散型随机变量的均值
课后篇巩固提升
基础达标练
1.若随机变量X的分布列为
X
1
4
6
P
0.55
0.3
0.15
则E(X)等于( )
A.1
B.
C.4.5
D.2.65
解析E(X)=1×0.55+4×0.3+6×0.15=2.65.
答案D
2.已知Y=5X+1,E(Y)=6,则E(X)的值为( )
A.
B.5
C.1
D.31
解析因为E(Y)=E(5X+1)=5E(X)+1=6,所以E(X)=1.
答案C
3.若随机变量X的分布列如下表,则E(5X+4)等于
( )
X
0
2
4
P
0.3
0.2
0.5
A.16
B.11
C.2.2
D.2.3
解析由题中表格可求E(X)=0×0.3+2×0.2+4×0.5=2.4,故E(5X+4)=5E(X)+4=5×2.4+4=16.故选A.
答案A
4.口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球,从中任取2个,则取出的球的最大编号X的均值为
( )
A.
B.
C.2
D.
解析依题意X=2,3,所以P(X=2)=,P(X=3)=,
所以E(X)=2×+3×.
答案D
5.一个高考考生咨询中心有A,B,C三条咨询热线,已知某一时刻热线A,B占线的概率均为0.5,热线C占线的概率为0.4,各热线是否占线相互之间没有影响,假设该时刻有X条占线,则E(X)= .?
解析随机变量X可能的取值为0,1,2,3,依题意知P(X=0)=0.15,P(X=1)=0.4,P(X=2)=0.35,P(X=3)=0.1.故E(X)=0×0.15+1×0.4+2×0.35+3×0.1=1.4.
答案1.4
6.某射手射击所得环数ξ的分布列如下.
ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知ξ的均值E(ξ)=8.9,则y的值为 .?
解析由
解得y=0.4.
答案0.4
7.对某个数学题,甲解出的概率为,乙解出的概率为,两人独立解题.记X为解出该题的人数,则E(X)= .?
解析X的可能取值为0,1,2,则P(X=0)=,P(X=1)=,
P(X=2)=,故E(X)=0×+1×+2×.
答案
8.盒中装有5节同品牌的五号电池,其中混有2节废电池,现在无放回地每次取一节电池检验,直到取到好电池为止.求:
(1)抽取次数X的分布列;
(2)抽取次数X的均值.
解(1)由题意知,X的可能取值为1,2,3.
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=.
所以X的分布列为
X
1
2
3
P
(2)E(X)=1×+2×+3×=1.5.
9.为了整顿道路交通秩序,某地考虑将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度,在普通行人中随机选取了200人进行调查,得到如下数据:
处罚金额x(单位:元)
0
5
10
15
20
会闯红灯的人数y
80
50
40
20
10
(1)若用表中数据所得频率代替概率,则处罚10元时与处罚20元时行人会闯红灯的概率的差是多少?
(2)若从这5种处罚金额中随机抽取2种不同的金额进行处罚,在两个路口进行试验.
①求这两种金额之和不低于20元的概率;
②若用X表示这两种金额之和,求X的分布列和均值.
解(1)由题意可知,处罚10元时行人会闯红灯的概率与处罚20元时行人会闯红灯的概率的差是.
(2)①设“两种金额之和不低于20元”的事件为A,从5种金额中随机抽取2种,总的抽选方法共有=10种,满足金额之和不低于20元的有6种,故所求概率P(A)=.
②根据条件,X的可能取值为5,10,15,20,25,30,35,分布列为
X
5
10
15
20
25
30
35
P
故E(X)=5×+10×+15×+20×+25×+30×+35×=20.
能力提升练
1.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止.设某学生一次发球成功的概率为p(p≠0),发球次数为X,若X的均值E(X)>1.75,则p的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解析根据题意,X的所有可能取值为1,2,3,且P(X=1)=p,P(X=2)=p(1-p),P(X=3)=(1-p)2,则E(X)=p+2p(1-p)+3(1-p)2=p2-3p+3,依题意有E(X)>1.75,则p2-3p+3>1.75,解得p>或p<,结合p的实际意义,可得0
答案B
2.某船队若出海后天气好,可获得5
000元;若出海后天气坏,将损失2
000元;若不出海也要损失1
000元.根据预测知天气好的概率为0.6,则出海的期望效益是( )
A.2
000元
B.2
200元
C.2
400元
D.2
600元
解析出海的期望效益为5
000×0.6+(1-0.6)×(-2
000)=3
000-800=2
200(元).
答案B
3.设l为平面上过点(0,1)的直线,l的斜率k等可能地取-2,-,-,0,,2,用ξ表示坐标原点到l的距离,则随机变量ξ的均值E(ξ)= .?
解析当l的斜率k为±2时,直线l的方程为±2x-y+1=0,此时坐标原点到l的距离ξ=;
当k为±时,ξ=;
当k为±时,ξ=;
当k为0时,ξ=1.由古典概型的概率公式可得ξ的分布列为
ξ
1
P
故E(ξ)=+1×.
答案
4.一个均匀小正方体的六个面中,三个面上标有数字0,两个面上标有数字1,一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次,则向上的数之积X的均值是 .?
解析依题意X的取值为0,1,2,4,
则P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=4)=.
故E(X)=0×+1×+2×+4×.
答案
5.某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.
(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;
(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.设X表示参赛的男生人数,求X的分布列和均值.
解(1)由题意知,参加集训的男生、女生各有6名.
参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为.
因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-.
(2)根据题意,X的可能取值为1,2,3.
P(X=1)=,P(X=2)=,
P(X=3)=.
所以X的分布列为
X
1
2
3
P
E(X)=1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)=1×+2×+3×=2.
6.某城市出租汽车的起步价为10元,行驶路程不超过4
km时租车费为10元,若行驶路程超出4
km,则按每超出1
km加收2元计费(超出不足1
km
的部分按1
km计).从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15
km.某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客,由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定,每停车5分钟按1
km路程计费),这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量.设他所收租车费为η.
(1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式;
(2)若随机变量ξ的分布列为
ξ
15
16
17
18
P
0.1
0.5
0.3
0.1
求所收租车费η的均值;
(3)已知某旅客实付租车费38元,而出租汽车实际行驶了15
km,问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?
解(1)依题意得,η=2(ξ-4)+10,即η=2ξ+2.
(2)E(ξ)=15×0.1+16×0.5+17×0.3+18×0.1=16.4.
∵η=2ξ+2,∴E(η)=2E(ξ)+2=34.8.
故所收租车费η的均值为34.8元.
(3)由38=2ξ+2,得ξ=18,5×(18-15)=15.
所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟.
素养培优练
(2020重庆南开中学高三模拟)在中华人民共和国成立70周年之际,《我和我的祖国》《中国机长》《攀登者》三大主旋律大片在国庆期间集体上映,拉开国庆档电影大幕.据统计《我和我的祖国》票房收入为31.71亿元,《中国机长》票房收入为29.12亿元,《攀登者》票房收入为10.98亿元.已知国庆过后某城市文化局统计得知大量市民至少观看了一部国庆档大片,在已观影的市民中随机抽取了100人进行调查,其中观看了《我和我的祖国》的有49人,观看了《中国机长》的有46人,观看了《攀登者》的有34人,统计图如下.
(1)计算图中a,b,c的值;
(2)文化局从只观看了两部大片的观众中采用分层抽样的方法抽取了7人,进行观影体验的访谈,了解到他们均表示要观看第三部电影,现从这7人中随机选出4人,用X表示这4人中将要观看《我和我的祖国》的人数,求X的分布列及均值.
解(1)由题意可得解得所以a的值为9,b的值为6,c的值为6.
(2)记“同时观看了《中国机长》和《我和我的祖国》”的为A组,共9人;
“同时观看了《中国机长》和《攀登者》”为B组,共6人;
“同时观看《我和我的祖国》和《攀登者》”为C组,共6人;
所以按分层抽样,A,B,C组被抽取的人数分别为9×=3,6×=2,6×=2.
在被抽取的7人中,没有观看《我和我的祖国》的有2人,故X=0,1,2,
则P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,所以X的分布列为
X
0
1
2
P
E(X)=0×+1×+2×.