(共32张PPT)
7.3.2 离散型随机变量的方差
激趣诱思
知识点拨
学校举行踢毽子大赛,某班要在甲、乙两名同学中选出一名同学参加学校的决赛.若甲、乙两名同学每分钟踢毽子个数X,Y的分布列分别为
X
90
100
110
P
0.1
0.8
0.1
Y
95
100
105
P
0.3
0.4
0.3
那么最好选择哪名同学呢?
激趣诱思
知识点拨
一、离散型随机变量的方差、标准差
设离散型随机变量X的分布列如下表所示.
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1-E(X))2,(x2-E(X))2,
…,(xn-E(X))2.因为X取每个值的概率不尽相同,所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均,来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度,我们称
D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn
=
(xi-E(X))2pi为随机变量X的方差,有时也记为Var(X),并称
为随机变量X的标准差,记为σ(X).
激趣诱思
知识点拨
名师点析随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度,反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小,随机变量的取值越集中;方差或标准差越大,随机变量的取值越分散.
激趣诱思
知识点拨
微思考
随机变量的方差与样本的方差有何不同?
提示:样本的方差是随着样本的不同而变化的,因此它是一个随机变量,而随机变量的方差是通过大量试验得出的,刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度,因此它是一个常量而非变量.
激趣诱思
知识点拨
微练习
已知离散型随机变量X的分布列如下表.
X
-1
0
1
2
P
a
b
c
?
若E(X)=0,D(X)=1,则a= ,b= .?
激趣诱思
知识点拨
二、离散型随机变量的方差的性质
一般地,可以证明下面的结论成立:D(aX+b)=a2D(X).
激趣诱思
知识点拨
微练习
已知X的分布列如下表.
X
-1
0
1
P
?
?
?
若Y=3X-1,则D(Y)的值为( )
A.-1
B.5
C.10
D.20
答案:B
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
求离散型随机变量的方差
例1袋中有20个大小相同的球,其中标记0的有10个,标记n的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,X表示所取球的标号.
(1)求X的分布列、均值和方差;
(2)若Y=aX+b,E(Y)=1,D(Y)=11,试求a,b的值.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
解:(1)X的分布列为
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
(2)由D(Y)=a2D(X),得a2×2.75=11,
解得a=±2.
又E(Y)=aE(X)+b,
所以当a=2时,由1=2×1.5+b,得b=-2;
当a=-2时,由1=-2×1.5+b,得b=4.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.求离散型随机变量X的方差的基本步骤:
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
2.已知随机变量η=aξ+b求D(η)时,注意D(η)=D(aξ+b)=a2D(ξ)的应用,这样既避免求随机变量η的分布列,又避免繁杂的计算,简化计算过程.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
变式训练1袋中有除颜色外其他都相同的6个小球,其中红球2个、黄球4个,规定取1个红球得2分,1个黄球得1分.从袋中任取3个小球,记所取3个小球的分数之和为X,求随机变量X的分布列、均值和方差.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
离散型随机变量的方差的应用
例2甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境,且野生动物的种类和数量也大致相同,两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为:
甲:
X
0
1
2
3
P
0.3
0.3
0.2
0.2
乙:
Y
0
1
2
P
0.1
0.5
0.4
试评定这两个保护区的管理水平.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
解:甲保护区内违反保护条例的次数X的均值和方差分别为
E(X)=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3,
D(X)=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21.
乙保护区内违反保护条例的次数Y的均值和方差分别为
E(Y)=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3,
D(Y)=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41.
因为E(X)=E(Y),D(X)>D(Y),所以两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件的平均次数相同,但甲保护区内违反保护条例的事件次数相对分散且波动较大,乙保护区内违反保护条例的事件次数更加集中和稳定.相对而言,乙保护区的管理更好一些.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
反思感悟
离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.因此在实际决策问题中,需先计算均值,看谁的平均水平高,再计算方差,分析谁的水平发挥相对稳定.当然不同的情形要求不同,应视具体情况而定.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
变式训练2甲、乙两个建材厂都想投标参加某重点项目建设,为了对重点项目建设负责,政府到两建材厂抽样检查,从他们中各取等量的样品检查它们的抗拉强度指数如下.
X
110
120
125
130
135
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
Y
100
115
125
130
145
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度,在使用时要求抗拉强度不低于120的条件下,比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性较好.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
解:E(X)=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125,
E(Y)=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2=125,
D(X)=0.1×(110-125)2+0.2×(120-125)2+0.4×(125-125)2
+0.1×(130-125)2+0.2×(135-125)2=50,
D(Y)=0.1×(100-125)2+0.2×(115-125)2+0.4×(125-125)2+
0.1×(130-125)2+0.2×(145-125)2=165.
由于E(X)=E(Y)>120,而D(X)
故甲厂的材料稳定性较好.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
离散型随机变量的均值与方差的综合
典例如图,左边为国外的著名数学家,右边为国籍,且4位数学家的国籍均不相同,老师为了激发学生了解数学史的热情,在班内进行数学家和其国籍的连线游戏,参加连线的同学每连对一个得1分,连错得0分.
高斯 法国
笛卡尔
挪威
阿贝尔
英国
牛顿
德国
假定某学生对这些数学家没有了解,只是随机地连线,试求该学生得分X的分布列、均值和方差.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
解:该学生连线的情况有都连错、连对一个、连对两个、连对四个,故其得分X的可能取值为0,1,2,4.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
方法点睛
求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤:
第1步,确定随机变量的所有可能值;
第2步,求每一个可能值所对应的概率;
第3步,列出离散型随机变量的分布列;
第4步,求均值和方差.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
跟踪训练小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为:以O为起点,从A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X.若X=0就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队.
(1)求小波参加学校合唱团的概率;
(2)求X的分布列、均值和方差.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
(2)两向量数量积X的所有可能取值为-2,-1,0,1,X=-2时,有2种情形;X=1时,有8种情形;X=-1时,有10种情形.
所以X的分布列为
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
1.已知随机变量ξ满足P(ξ=1)=0.3,P(ξ=2)=0.7,则E(ξ)和D(ξ)的值分别为( )
A.0.6和0.7
B.1.7和0.09
C.0.3和0.7
D.1.7和0.21
解析:E(ξ)=1×0.3+2×0.7=1.7,D(ξ)=(1-1.7)2×0.3+(2-1.7)2
×0.7=0.21.
答案:D
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
2.(2020西安高三检测)若随机变量ξ的分布列如下,其中m∈(0,1),则下列结论正确的是( )
ξ
0
1
P
m
n
A.E(ξ)=m,D(ξ)=n3
B.E(ξ)=m,D(ξ)=n2
C.E(ξ)=1-m,D(ξ)=m-m2
D.E(ξ)=1-m,D(ξ)=m2
解析:依题意,n=1-m,则E(ξ)=0×m+1×n=n=1-m,
D(ξ)=[0-(1-m)]2m+[1-(1-m)]2(1-m)=m-m2.
答案:C
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
3.(2020浙江高三期末)已知随机变量X的分布列是
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
答案:A
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
4.编号为1,2,3的三名学生随意入座编号为1,2,3的三个座位,每名学生坐一个座位,设与座位编号相同的学生的人数是ξ,求E(ξ)和D(ξ).第七章随机变量及其分布
7.3 离散型随机变量的数字特征
7.3.2 离散型随机变量的方差
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知X的分布列为
X
1
2
3
4
P
则D(X)的值为( )
A.
B.
C.
D.
解析∵E(X)=1×+2×+3×+4×,∴D(X)=.
答案C
2.(2019浙江杭州四中高三期中)设0X
0
a
1
P
若D(X)=,则a=( )
A.
B.
C.
D.
解析∵E(X)=0×+a×+1×,
∴D(X)=
=[(a+1)2+(2a-1)2+(a-2)2]=(a2-a+1)=,
∴4a2-4a+4=3,即(2a-1)2=0,解得a=.
答案A
3.由以往的统计资料表明,甲、乙两名运动员在比赛中的得分情况为
X1(甲得分)
0
1
2
P
0.2
0.5
0.3
X2(乙得分)
0
1
2
P
0.3
0.3
0.4
现有一场比赛,应派哪位运动员参加较好( )
A.甲
B.乙
C.甲、乙均可
D.无法确定
解析∵E(X1)=E(X2)=1.1,D(X1)=1.12×0.2+0.12×0.5+0.92×0.3=0.49,D(X2)=1.12×0.3+0.12×0.3+0.92×0.4=0.69,∴D(X1)答案A
4.(2020北京高三月考)已知随机变量ξ,η的分布列如下表所示,则( )
ξ
1
2
3
P
η
1
2
3
P
A.E(ξ)B.E(ξ)D(η)
C.E(ξ)D.E(ξ)=E(η),D(ξ)=D(η)
解析由题意得,
E(ξ)=1×+2×+3×,
D(ξ)=.
E(η)=1×+2×+3×,
D(η)=1-2×+2-2×+3-2×,
故E(ξ)答案C
5.抛掷一枚硬币,规定正面向上得1分,反面向上得-1分,则得分X的均值与方差分别为( )
A.E(X)=0,D(X)=1
B.E(X)=,D(X)=
C.E(X)=0,D(X)=
D.E(X)=,D(X)=1
解析得分X的分布列为
X
1
-1
P
0.5
0.5
所以E(X)=1×0.5+(-1)×0.5=0,D(X)=(1-0)2×0.5+(-1-0)2×0.5=1.
答案A
6.已知随机变量X的分布列为
X
0
1
x
P
p
若E(X)=.
(1)求D(X)的值;
(2)若Y=3X-2,求D(Y)的值.
解由+p=1,得p=.
又E(X)=0×+1×x=,
所以x=2.
(1)D(X)=0-2×.
(2)因为Y=3X-2,所以D(Y)=D(3X-2)=9D(X)=5.
7.有三张形状、大小、质地完全一致的卡片,在每张卡片上写上0,1,2,现从中任意抽取一张,将其上数字记作x,然后放回,再抽取一张,其上数字记作y,令X=x·y.
求:(1)X所取各值的概率;
(2)随机变量X的均值与方差.
解(1)P(X=0)=;P(X=1)=;
P(X=2)=;P(X=4)=.
(2)X的分布列为
X
0
1
2
4
P
所以E(X)=0×+1×+2×+4×=1.
D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×+(4-1)2×.
8.(2020郑州高三月考)甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ,η,已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.
(1)求ξ,η的分布列;
(2)求ξ,η的均值与方差,并以此比较甲、乙的射击技术.
解(1)由题意得,0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1.
因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2,所以乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.
所以ξ,η的分布列分别为
ξ
10
9
8
7
P
0.5
0.3
0.1
0.1
η
10
9
8
7
P
0.3
0.3
0.2
0.2
(2)由(1)得,
E(ξ)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2,
E(η)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7,
D(ξ)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96,
D(η)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21.
由于E(ξ)>E(η),D(ξ)能力提升练
1.有甲、乙两种水稻,测得每种水稻各10株的分蘖数据,计算出样本方差分别为D(X甲)=11,D(X乙)=3.4.由此可以估计( )
A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
解析∵D(X甲)>D(X乙),∴乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐.
答案B
2.已知X的分布列如表所示.
X
-1
0
1
P
有下列式子:①E(X)=-;②D(X)=;③P(X=0)=.其中正确的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析E(X)=(-1)×+0×+1×=-,故①正确.
D(X)=,故②不正确.由分布列知③正确.
答案C
3.(多选)(2019山东高二期末)设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
q
0.4
0.1
0.2
0.2
若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则下列结论正确的为( )
A.q=0.1
B.E(X)=2,D(X)=1.4
C.E(X)=2,D(X)=1.8
D.E(Y)=5,D(Y)=7.2
解析因为q+0.4+0.1+0.2+0.2=1,所以q=0.1,故A正确;
E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2,
D(X)=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.4+(2-2)2×0.1+(3-2)2×0.2+(4-2)2×0.2=1.8,故B错误,C正确;因为Y=2X+1,所以E(Y)=2E(X)+1=5,D(Y)=4D(X)=7.2,故D正确.
故选ACD.
答案ACD
4.某旅游公司为三个旅游团提供了a,b,c,d四条旅游线路,每个旅游团队可任选其中一条线路,则选择a线路的旅游团数X的方差D(X)= .?
解析由题意知X的可能取值有0,1,2,3,
则P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=.
故E(X)=0×+1×+2×+3×,
D(X)=.
答案
5.若p为非负实数,随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
-p
p
则E(X)的最大值是 ,D(X)的最大值是 .?
解析由分布列性质可知p∈0,,则E(X)=p+1∈1,,故E(X)的最大值为.
又D(X)=-p(p+1)2+p(p+1-1)2+(p+1-2)2=-p2-p+1=-p+2+,
∵p∈0,,故当p=0时,D(X)取得最大值1.
答案 1
6.有甲、乙两名学生,经统计,他们在解答同一份数学试卷时,各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示.
甲:
分数X
80
90
100
概率P
0.2
0.6
0.2
乙:
分数Y
80
90
100
概率P
0.4
0.2
0.4
试分析两名学生的成绩水平.
解∵E(X)=80×0.2+90×0.6+100×0.2=90,
D(X)=(80-90)2×0.2+(90-90)2×0.6+(100-90)2×0.2=40,
E(Y)=80×0.4+90×0.2+100×0.4=90,
D(Y)=(80-90)2×0.4+(90-90)2×0.2+(100-90)2×0.4=80,
∴E(X)=E(Y),D(X)∴甲生与乙生的成绩均值一样,甲的方差较小,因此甲生的学习成绩较稳定.
素养培优练
A,B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析,X1和X2的分布列分别为
X1
5%
10%
P
0.8
0.2
X2
2%
8%
12%
P
0.2
0.5
0.3
(1)在A,B两个项目上各投资100万元,Y1(单位:万元)和Y2(单位:万元)分别表示投资项目A和B所获得的利润,求方差D(Y1),D(Y2);
(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目,(100-x)万元投资B项目,f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和.求f(x)的最小值,并指出x为何值时,f(x)取到最小值.
解(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为
Y1
5
10
P
0.8
0.2
Y2
2
8
12
P
0.2
0.5
0.3
E(Y1)=5×0.8+10×0.2=6,
D(Y1)=(5-6)2×0.8+(10-6)2×0.2=4;
E(Y2)=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8,
D(Y2)=(2-8)2×0.2+(8-8)2×0.5+(12-8)2×0.3=12.
(2)f(x)=D+D
=D(Y1)+D(Y2)
=[x2+3(100-x)2]
=(4x2-600x+3×1002).
所以当x==75时,f(x)=3为最小值.