第七章随机变量及其分布
7.4 二项分布与超几何分布
课后篇巩固提升
基础达标练
1.甲、乙两人进行羽毛球比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局比赛都结束,假定甲每局比赛获胜的概率均为,则甲以3∶1的比分获胜的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析当甲以3∶1的比分获胜时,说明甲乙两人在前三场比赛中,甲只赢了两局,乙赢了一局,第四局甲赢,所以甲以3∶1的比分获胜的概率为P=21-×=3×,故选A.
答案A
2.已知X~B(n,p),E(X)=8,D(X)=1.6,则n与p的值分别为( )
A.100和0.08
B.20和0.4
C.10和0.2
D.10和0.8
解析因为X~B(n,p),所以
解得n=10,p=0.8.
答案D
3.已知随机变量X~B(100,0.2),则D(4X+3)的值为
( )
A.64
B.256
C.259
D.320
解析∵X~B(100,0.2),
∴D(X)=100×0.2×0.8=16.
D(4X+3)=16D(X)=16×16=256.
答案B
4.口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球,每次有放回地摸取一个球,定义数列{an},an=
如果Sn为数列{an}的前n项和,那么S7=3的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
解析由S7=3知,在7次摸球中有2次摸取红球,5次摸取白球,而每次摸取红球的概率为,摸取白球的概率为,则S7=3的概率为,故选B.
答案B
5.(2020河北高二月考)在10个排球中有6个正品,4个次品.从中抽取4个,则正品数比次品数少的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析正品数比次品数少,有两种情况:0个正品、4个次品或1个正品、3个次品,
由超几何分布的概率可知,当0个正品、4个次品时,概率为.
当1个正品、3个次品时,概率为.
所以正品数比次品数少的概率为.
答案A
6.(2019江苏高二期末)10件产品中有2件次品,从中随机抽取3件,则恰有1件次品的概率是 .?
解析设事件A为“从中随机抽取3件,则恰有1件次品”,则P(A)=.
答案
7.在4次独立重复试验中,事件A发生的概率相同,若事件A至少发生1次的概率为,则在1次试验中事件A发生的概率为 .?
解析设在一次试验中,事件A发生的概率为p,
由题意知,1-(1-p)4=,
所以(1-p)4=,故p=.
答案
8.某市公租房的房源位于A,B,C三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,且申请其中任一个片区的房源是等可能的.该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率为 .?
解析每位申请人申请房源为一次试验,这是4次独立重复试验,设申请A片区房源为A,则P(A)=,
所以恰有2人申请A片区的概率为.
答案
9.网上购物逐步走进大学生活,某大学学生宿舍4人积极参加网购,大家约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物,掷出点数为5或6的人去A网购物,掷出点数小于5的人去B网购物,且参加者必须从A网和B网选择一家购物.
(1)求这4个人中恰有1人去A网购物的概率;
(2)用ξ,η分别表示这4个人中去A网和B网购物的人数,令X=ξη,求随机变量X的分布列.
解依题意,得这4个人中,每个人去A网购物的概率为,去B网购物的概率为.设“这4个人中恰有i人去A网购物”为事件Ai(i=0,1,2,3,4),
则P(Ai)=i4-i(i=0,1,2,3,4).
(1)这4个人中恰有1人去A网购物的概率为3=.
(2)X的所有可能取值为0,3,4,
则P(X=0)=P(A0)+P(A4)
=0×4+4×0
=,
P(X=3)=P(A1)+P(A3)
=1×3+3×1
=,
P(X=4)=P(A2)=22=.
所以随机变量X的分布列为
X
0
3
4
P
能力提升练
1.种植某种树苗,成活率为0.9.若种植这种树苗5棵,则恰好成活4棵的概率约为( )
A.0.33
B.0.66
C.0.5
D.0.45
解析根据n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率公式得到种植这种树苗5棵,则恰好成活4棵的概率为·0.94(1-0.9)≈0.33,故选A.
答案A
2.在4次独立重复试验中,随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是( )
A.[0.4,1]
B.(0,0.4]
C.(0,0.6]
D.[0.6,1)
解析由题意得,·p(1-p)3≤p2(1-p)2,
∴4(1-p)≤6p.
∵0
答案A
3.一次测量中出现正误差和负误差的概率都是,在5次测量中恰好2次出现正误差的概率是( )
A.
B.
C.
D.
解析由独立重复试验的定义知,在5次测量中恰好2次出现正误差的概率P=.
答案A
4.设随机变量X~B(2,p),随机变量Y~B(3,p),若P(X≥1)=,则P(Y≥1)= .?
解析∵X~B(2,p),∴P(X≥1)=1-P(X=0)=1-(1-p)2=,
解得p=.又Y~B(3,p),∴P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-(1-p)3=.
答案
5.(2020潍坊高三月考)有8件产品,其中3件是次品,从中任取3件,若X表示取得次品的件数,则P(X≤1)= .?
解析根据题意,P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)
=.
答案
6.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是 .?
解析由于质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,移动五次后位于点(2,3),所以质点P必须向右移动两次,向上移动三次,故其概率为3·2=5=5=.
答案
7.(2020广西高三模拟)甲、乙两人参加某种选拔测试,在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是,乙能答对其中的8道题,规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试,只有选中的4个题目均答对才能入选.
(1)求甲恰有2个题目答对的概率;
(2)求乙答对的题目数X的分布列;
(3)试比较甲、乙两人平均答对的题目数的大小,并说明理由.
解(1)∵甲在备选的10道题中,答对其中每道题的概率都是,
∴选中的4个题目甲恰有2个题目答对的概率
P=.
(2)由题意知乙答对的题目数X的可能取值为2,3,4,则P(X=2)=,
P(X=3)=,
P(X=4)=,
故X的分布列为
X
2
3
4
P
(3)乙平均答对的题目数E(X)=2×+3×+4×.
∵甲答对题目数Y~B4,,
∴甲平均答对的题目数E(Y)=4×.
∵E(X)=E(Y),
∴甲平均答对的题目数等于乙平均答对的题目数.
8.甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响,每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响.
(1)求甲射击4次,至少有1次未击中目标的概率.
(2)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率.
(3)假设每人连续2次未击中目标,则终止其射击.问:乙恰好射击5次后,被终止射击的概率是多少?
解(1)记“甲连续射击4次,至少有1次未击中目标”为事件A1,则事件A1的对立事件为“甲连续射击4次,全部击中目标”.由题意知,射击4次相当于做4次独立重复试验.故P()=4=.
所以P(A1)=1-P()=1-.
所以甲连续射击4次,至少有1次未击中目标的概率为.
(2)记“甲射击4次,恰好有2次击中目标”为事件A2,“乙射击4次,恰好有3次击中目标”为事件B2,
则P(A2)=×2×1-2=,
P(B2)=×3×1-1=.
由于甲、乙射击相互独立,
故P(A2B2)=P(A2)P(B2)=.
所以两人各射击4次,甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为.
(3)记“乙恰好射击5次后,被终止射击”为事件A3,“乙第i次射击未击中”为事件Di(i=1,2,3,4,5),
则A3=D5D4D1∪D2),
且P(Di)=.
由于各事件相互独立,故P(A3)=P(D5)P(D4)·P()P(D1∪D2)
=×1-=.
所以乙恰好射击5次后,被终止射击的概率为.
素养培优练
(2020福建高三模拟)一款小游戏的规则如下:每轮游戏要进行三次,每次游戏都需要从装有大小相同的2个红球、3个白球的袋中随机摸出2个球,若摸出的“两个都是红球”出现3次获得200分,若摸出“两个都是红球”出现1次或2次获得20分,若摸出“两个都是红球”出现0次则扣除10分(即获得-10分).
(1)设每轮游戏中出现“摸出两个都是红球”的次数为X,求X的分布列;
(2)玩过这款游戏的许多人发现,若干轮游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了,请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象.
解(1)每次游戏,出现“两个都是红球”的概率为P=.
X可能的取值为0,1,2,3,
则P(X=0)=,P(X=1)=,
P(X=2)=,P(X=3)=,
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
(2)设每轮游戏得分为Y.
由(1)知,Y的分布列为
X
-10
20
200
P
E(Y)=-10×+20×+200×=-1.69.
这表明,获得分数Y的均值为负.因此,多次游戏之后大多数人的分数减少了.(共42张PPT)
7.4 二项分布与超几何分布
激趣诱思
知识点拨
孔子是我国古代著名的教育家、思想家,留下了许多至理名言,其中“三人行,必有我师焉”是我们大家都熟知的一句话.孔子的学问很高,但他也很谦虚,自称与任意两人(加上自己共三人)同行,则他们中间一定有一个人可以做自己的老师.这是孔子自谦的一句话,那么实际情况怎么样呢?我们不妨从概率的角度来看一下.
激趣诱思
知识点拨
一、二项分布
1.伯努利试验:我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
2.n重伯努利试验:我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.n重伯努利试验具有如下共同特征:
(1)同一个伯努利试验重复做n次;
(2)各次试验的结果相互独立.
激趣诱思
知识点拨
3.二项分布
一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0P(X=k)=
pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p).
4.二项分布的均值与方差
(1)两点分布:若X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p).
(2)二项分布:若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).
激趣诱思
知识点拨
微练习
同时抛掷两枚质地均匀的硬币10次,设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ,则D(ξ)=( )
答案:A
激趣诱思
知识点拨
二、超几何分布
1.定义:一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为
P(X=k)=
,k=m,m+1,m+2,…,r.
其中n,N,M∈N
,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.
激趣诱思
知识点拨
微练习
设10件产品中有3件次品、7件正品,现从中抽取5件,求抽得次品件数ξ的分布列.
解:由题意知ξ服从参数N=10,M=3,n=5的超几何分布.
ξ的可能取值为0,1,2,3,则
激趣诱思
知识点拨
故随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
?
?
?
?
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
n重伯努利试验概率的求法
例1甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是
,假设每次射击是否击中目标,相互之间没有影响.(结果需用分数作答)
(1)求甲射击3次,至少有1次未击中目标的概率;
(2)若两人各射击2次,求甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
延伸探究
1.在本例(2)的条件下,求甲、乙均击中目标1次的概率.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
2.在本例(2)的条件下,求甲未击中,乙击中2次的概率.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
n重伯努利试验概率求法的三个步骤
(1)判断:依据n重伯努利试验的特征,判断所给试验是否为n重伯努利试验.
(2)分拆:判断所求事件是否需要分拆.
(3)计算:就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解,最后利用互斥事件概率加法公式计算.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练1某气象站天气预报的准确率为80%,计算(结果保留到小数点后面第2位):
(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率;
(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:(1)5次预报相当于5次伯努利试验.
“恰有2次准确”的概率为
因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.
(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”.
所以所求概率为1-P=1-0.006
72≈0.99.
所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
两点分布与二项分布
例2某运动员投篮命中率为p=0.6.
(1)求投篮1次时命中次数X的均值;
(2)求重复5次投篮时,命中次数Y的均值.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:(1)投篮1次,命中次数X的分布列如下表.
X
0
1
P
0.4
0.6
则E(X)=0.6.
(2)由题意,重复5次投篮,命中的次数Y服从二项分布,即Y~B(5,0.6),则E(Y)=5×0.6=3.
探究一
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探究三
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素养形成
当堂检测
反思感悟
1.常见的两种分布的均值
设p为一次试验中成功的概率,则
(1)两点分布E(X)=p;
(2)二项分布E(X)=np.
熟练应用上述公式可大大减少运算量,提高解题速度.
2.两点分布与二项分布辨析
(1)相同点:一次试验中要么发生,要么不发生.
(2)不同点:
①随机变量的取值不同,两点分布随机变量的取值为0,1,二项分布中随机变量的取值为0,1,2,…,n.
②试验次数不同,两点分布一般只有一次试验,二项分布则进行n次试验.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练2某人投篮命中率为0.8,重复5次投篮,命中次数为X,命中一次得3分,求5次投篮得分的均值.
解:设投篮得分为变量η,则η=3X.
依题意,X~B(5,0.8),则E(X)=5×0.8=4,故E(η)=3E(X)=12.
探究一
探究二
探究三
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素养形成
当堂检测
二项分布的应用
例3高二(1)班的一个研究性学习小组在网上查知,某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为
,该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性试验.
(1)第一小组做了5次这种植物种子的发芽试验(每次均种下一粒种子),求他们的试验中至少有3次发芽成功的概率.
(2)第二小组做了若干次发芽试验(每次均种下一粒种子),如果在一次试验中种子发芽成功就停止试验,否则将继续进行下次试验,直到种子发芽成功为止,但试验的次数最多不超过5次.求第二小组所做种子发芽试验的次数ξ的分布列.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:(1)至少有3次发芽成功,即有3次、4次、5次发芽成功.
设5次试验中种子发芽成功的次数为随机变量X,
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率.解题的一般思路是:根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n,p→写出二项分布的分布列→将k值代入求解概率.
2.利用二项分布求解“至少”“至多”问题的概率,其实质是求在某一取值范围内的概率,一般转化为几个互斥事件发生的概率的和,或者利用对立事件求概率.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练3在一次抗洪抢险中,准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐,已知只有5发子弹,第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆,每次射击是相互独立的,且命中的概率都是
(1)求油罐被引爆的概率;
(2)如果引爆或子弹打光则停止射击,设射击次数为X,求X不小于4的概率.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
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探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
超几何分布
例4一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球,其中红球有3个,编号为1,2,3;黑球有2个,编号为1,2;白球有1个,编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球.
(1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率;
(2)记取得1号球的个数为随机变量X,求随机变量X的分布列.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
所以X的分布列为
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
延伸探究
1.在本例条件下,若记取到白球的个数为随机变量η,求随机变量η的分布列.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
2.将本例的条件“一次随机抽取3个球”改为“有放回地抽取3次,每次抽取1个球”,其他条件不变,结果又如何?
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
所以X的分布列为
探究一
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探究三
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当堂检测
反思感悟
超几何分布的求解步骤
(1)辨模型:结合实际情境分析所求概率分布问题是否能转化为超几何分布模型.
(2)算概率:可以直接借助公式P(X=k)=
求解,也可以利用排列、组合及概率的知识求解,需注意借助公式求解时应理解参数M,N,n,k的含义.
(3)列分布列:把求得的概率值通过表格表示出来.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
相互独立事件和二项分布的综合应用
典例某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员的再就业能力,每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%,参加过计算机培训的有75%,假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响.
(1)任选1名下岗人员,求该人参加过培训的概率;
(2)任选3名下岗人员,记ξ为3人中参加过培训的人数,求ξ的分布列.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:(1)任选1名下岗人员,记“该人参加过财会培训”为事件A,“该人参加过计算机培训”为事件B,由题设知,事件A与B相互独立,
且P(A)=0.6,P(B)=0.75.
所以该下岗人员没有参加过培训的概率是
故该人参加过培训的概率为1-0.1=0.9.
(2)因为每个人的选择是相互独立的,所以3人中参加过培训的人数
ξ
0
1
2
3
P
0.001
0.027
0.243
0.729
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
方法点睛
第1步,利用事件的相互独立性分别找出参加两种培训对应的概率;
第2步,利用对立事件求参加过培训的概率;
第3步,判断参加培训人数服从二项分布;
第4步,利用二项分布求解分布列.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
跟踪训练袋中有8个白球、2个黑球,从中随机地连续抽取3次,每次取1个球.有放回抽样时,求取到黑球的个数X的分布列.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
∴X的分布列为
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
1.(2020湖南长沙高二月考)一工厂生产100个产品中有90个一等品、10个二等品,现从这批产品中抽取4个,则其中恰好有一个二等品的概率为( )
答案:D
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测