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7.5 正态分布
激趣诱思
知识点拨
在医学领域,有不少医学现象服从或近似服从正态分布,如同性别、同年龄儿童的身高和体重,同性别健康成人的红细胞数、血红蛋白含量、脉搏数等.在这类情形下,利用正态分布可以很容易地确定其数值出现在任意指定范围内的概率,尤其是医学参考值范围内的估计.
激趣诱思
知识点拨
一、正态曲线
函数f(x)=
,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数,对任意的x∈R,f(x)>0,它的图象在x轴的上方,可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线(如图所示).
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知识点拨
微练习
下列函数是正态分布密度函数的是( )
答案:B
激趣诱思
知识点拨
二、正态分布
若随机变量X的概率密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布,记为X~(μ,σ2).特别地,当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布.
激趣诱思
知识点拨
微思考
参数μ,σ在正态分布中的实际意义是什么?
提示:参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本的均值去估计;σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本的标准差去估计.
激趣诱思
知识点拨
三、正态曲线的特点
1.曲线位于x轴上方,与x轴不相交.
2.曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
3.曲线在x=μ处达到峰值
4.当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.
5.曲线与x轴之间的面积为1.
激趣诱思
知识点拨
6.当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移,如图①.
7.当μ一定时,曲线的形状由σ确定,当σ较小时,峰值高,曲线“瘦高”,表示随机变量X的分布比较集中;当σ较大时,峰值低,曲线“矮胖”,表示随机变量X的分布比较分散,如图②.
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知识点拨
微练习
(多选)(2020江苏马坝高中高二期中)已知三个正态密度函数φi(x)=
(x∈R,i=1,2,3)的图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A.σ1=σ2
B.μ1>μ3
C.μ1=μ2
D.σ2<σ3
激趣诱思
知识点拨
解析:根据正态曲线关于直线x=μ对称,且μ越大,图象越靠右,
可知μ1<μ2=μ3,故BC错误;
因为σ越小,数据越集中,图象越瘦高,
所以σ1=σ2<σ3,故AD正确.
故选AD.
答案:AD
激趣诱思
知识点拨
微练习
设X~N(1,22),试求:
(1)P(-1≤X≤3);
(2)P(3≤X≤5);
(3)P(X≥5).
激趣诱思
知识点拨
解:∵X~N(1,22),
∴μ=1,σ=2.
(1)P(-1≤X≤3)=P(1-2≤X≤1+2)≈0.682
7.
(2)∵P(3≤X≤5)=P(-3≤X≤-1),
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
正态曲线的应用
例1一个正态曲线如图所示,试根据该图象写出其正态分布密度函数的解析式,求出随机变量的均值和方差.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
反思感悟
利用正态曲线的特点求参数μ,σ
(1)正态曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称,由此特点结合图象可求出μ.
(2)正态曲线在x=μ处达到峰值
,由此特点结合图象可求出σ.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1若一个正态分布密度函数是偶函数,且该函数的最大值为
,则该正态分布密度函数的解析式为 .?
探究一
探究二
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当堂检测
正态分布下的概率计算
例2设X~N(5,1),求P(6
解:依题意,μ=5,σ=1,
∴P(4≤X≤6)=P(5-1≤X≤5+1)≈0.682
7,
P(3≤X≤7)=P(5-2≤X≤5+2)≈0.954
5,
∴P(6[P(3≤X≤7)-P(4≤X≤6)]≈0.135
9.
反思感悟
在正态分布下解决求某区间的概率问题,可利用正态曲线的对称性,将所求区间的概率转化为已知区间的概率,或利用3σ原则转化为特殊区间的概率.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
变式训练2若在一次数学考试中,某班学生的分数为X,且X~N(110,202),满分为150分,这个班的学生共有54人,求这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上(不包括130分)的人数.
解:∵X~N(110,202),
∴μ=110,σ=20.
P(110-20≤X≤110+20)≈0.682
7.
∴P(X>130)≈
×(1-0.682
7)=0.158
65.
∴P(X≥90)≈0.682
7+0.158
65=0.841
35.
∴及格的人数为54×0.841
35≈45,
130分以上的人数为54×0.158
65≈9.
探究一
探究二
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当堂检测
正态分布的应用
例3某厂生产的圆柱形零件的外径尺寸X~N(4,0.25).质检人员从该厂生产的1
000件零件中随机抽查一件,测得它的外径为5.7
cm.试问该厂生产的这批零件是否合格?
解:由于圆柱形零件的外径尺寸X~N(4,0.25),则X在区间
[4-3×0.5,4+3×0.5],即[2.5,5.5]之外取值的概率约为0.002
7.而5.7?[2.5,5.5],这说明在一次试验中,出现了几乎不可能发生的事件,根据统计中假设检验的基本思想,认为该厂生产的这批产品是不合格的.
探究一
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当堂检测
反思感悟
在解决与正态分布有关的实际问题时,通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ,μ+3σ]之间的值.若服从正态分布的随机变量的某些取值超出了这个范围,则说明出现了意外情况.
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数形结合思想与转化思想在正态分布中的应用
典例在某项测量中,测量结果X服从正态分布N(1,σ2)(σ>0).若X在(0,1)内取值的概率为0.4,则X在(0,2)内取值的概率为 .?
解析:由题意知,正态曲线关于直线x=1对称,如图,而区间(0,1)与(1,2)关于直线x=1对称,由正态曲线性质得X在区间(0,1)和(1,2)内取值的概率相等.
∴P(1∴P(0答案:0.8
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方法点睛
利用正态曲线的对称性,结合图象,将变量在所求区间内的概率转化为已知区间的概率,进而求出所求概率.
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当堂检测
跟踪训练已知随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2),若P(ξ>2)=0.023,则P(-2≤ξ≤2)=( )
A.0.477
B.0.954
C.0.628
D.0.977
解析:画出正态曲线如图所示,结合图象知,P(-2≤ξ≤2)
=1-P(ξ>2)-P(ξ<-2)=1-2×0.023=0.954.
答案:B
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当堂检测
1.(2020吉林实验高二月考)已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),P(ξ≤4)=0.84,则P(ξ≤0)=( )
A.0.16
B.0.32
C.0.68
D.0.84
答案:A
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当堂检测
2.(2020山东济南高三月考)某班有48名学生,一次考试后的数学成绩服从正态分布,平均分为110,标准差为10,则估计成绩在110分到120分的人数是( )
A.8
B.16
C.20
D.32
答案:B
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当堂检测
3.在某项测量中,测量结果ξ~N(2,σ2)(σ>0).若ξ在(-∞,1)内取值的概率为0.1,则ξ在(2,3)内取值的概率为 .?
解析:根据正态曲线的对称性可知,ξ在(2,3)内取值的概率
P=
×(1-2×0.1)=0.4.
答案:0.4
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4.设X~N(0,1).
求:(1)P(-1≤X≤1);
(2)P(0≤X≤2).
解:∵X~N(0,1),∴μ=0,σ=1.
(1)P(-1≤X≤1)≈0.682
7.第七章随机变量及其分布
7.5 正态分布
课后篇巩固提升
基础达标练
1.关于正态分布N(μ,σ2),下列说法正确的是( )
A.随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件
B.随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件
C.随机变量落在[-3σ,3σ]之外是一个小概率事件
D.随机变量落在[μ-3σ,μ+3σ]之外是一个小概率事件
答案D
2.(2020山东高三期末)已知随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),若P(ξ<4)=0.9,则P(-2<ξ<1)=( )
A.0.2
B.0.3
C.0.4
D.0.6
解析由题意可知正态曲线关于x=1对称,P(ξ>4)=1-P(ξ<4)=0.1,
根据对称性可知,P(ξ<-2)=P(ξ>4)=0.1,
故P(-2<ξ<1)=0.5-P(ξ<-2)=0.5-0.1=0.4.
答案C
3.已知X~N(0,1),则X在区间(-∞,-2)内取值的概率为( )
A.0.954
5
B.0.045
5
C.0.977
3
D.0.022
75
解析由题知对应的正态曲线的对称轴为x=0,
所以P(X<-2)=0.5-P(-2≤X≤2)≈0.5-×0.954
5=0.022
75.
答案D
4.若随机变量X~N(1,22),则D等于( )
A.4
B.2
C.
D.1
解析因为X~N(1,22),所以D(X)=4,
所以DD(X)=1.
答案D
5.若随机变量X~N(1,22),则Y=3X-1服从的总体分布可记为 .?
解析∵X~N(1,22),
∴μ=1,σ=2,∴E(X)=1,D(X)=4.
又Y=3X-1,∴E(Y)=3E(X)-1=2,
D(Y)=9D(X)=62.
∴Y~N(2,62).
答案Y~N(2,62)
6.某班有50名学生,一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N(100,σ2),已知P(90≤ξ≤100)=0.3,估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为 .?
解析由题意知,P(ξ>110)==0.2,故估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50=10.
答案10
7.已知某地农民工年均收入X服从正态分布,其正态曲线如图所示.
(1)写出此地农民工年均收入的密度函数解析式;
(2)求此地农民工年均收入在8
000~8
500元之间的人数所占的百分比.
解设此地农民工年均收入X~N(μ,σ2),
结合题图可知,μ=8
000,σ=500.
(1)此地农民工年均收入的密度函数解析式为
f(x)=,x∈R.
(2)∵P(7
500≤X≤8
500)
=P(8
000-500≤X≤8
000+500)≈0.682
7,
∴P(8
000500)=P(7
500≤X≤8
500)≈0.341
35=34.135%.
故此地农民工年均收入在8
000~8
500元之间的人数所占的百分比为34.135%.
8.设X~N(4,1),证明P(2证明因为μ=4,所以正态曲线关于直线x=4对称,所以P(2又因为P(2所以P(2能力提升练
1.若随机变量X的正态分布密度函数为f(x)=,X在(-2,-1)和(1,2)内取值的概率分别为p1,p2,则p1,p2的关系为( )
A.p1>p2
B.p1C.p1=p2
D.不确定
解析由题意知μ=0,σ=1,所以正态曲线关于直线x=0对称,所以p1=p2.
答案C
2.设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),若P(ξ>1)=p,则P(-1<ξ<0)=( )
A.+p
B.1-p
C.1-2p
D.-p
解析由已知得P(-1<ξ<0)=P(-1<ξ<1)
=[1-2P(ξ>1)]=-p.
答案D
3.(2019山东菏泽一中高二月考)设随机变量ξ服从正态分布N(3,7),若P(ξ>a+2)=P(ξA.1
B.2
C.3
D.4
解析∵随机变量ξ服从正态分布N(3,7),P(ξ>a+2)=P(ξ答案C
4.已知X~N(4,σ2),且P(2≤X≤6)≈0.682
7,则σ= ,P(|X-2|≤4)= .?
解析∵X~N(4,σ2),
∴μ=4.
∵P(2≤X≤6)≈0.682
7,∴
∴σ=2.
∴P(|X-2|≤4)=P(-2≤X≤6)
=P(-2≤X<2)+P(2≤X≤6)
=[P(-2≤X≤10)-P(2≤X≤6)]+P(2≤X≤6)
=P(-2≤X≤10)+P(2≤X≤6)≈0.84.
答案2 0.84
5.某投资者在两个投资方案中选择一个,这两个投资方案的利润X(单位:万元)分别服从正态分布N(8,32)和N(7,12).投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大,那么他应该选择哪一个方案?
解对于第一个方案有X~N(8,32),其中μ1=8,σ1=3,
P(X>5)==0.841
35.
对于第二个方案有X~N(7,12),其中μ2=7,σ2=1,
P(X>5)==0.977
25.
显然第二个方案“利润超过5万元”的概率比较大,故他应该选择第二个方案.
素养培优练
从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得频率分布直方图如图所示.
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布,求P(187.8②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用①的结果,求E(X).
附:≈12.2.
若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ7,P(μ-2σ5.
解(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,
s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.
(2)①由(1)知,Z~N(200,150),
从而P(187.87.
②由①知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682
7,
依题意知X~B(100,0.682
7),所以E(X)=100×0.682
7=68.27.