第六章计数原理
6.3 二项式定理
6.3.1 二项式定理
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(x+2)6的展开式中x3的系数是( )
A.20
B.40
C.80
D.160
解析(方法一)设含x3的项为第k+1项,则Tk+1=x6-k·2k,令6-k=3,得k=3,故展开式中x3的系数为×23=160.
(方法二)根据二项展开式的通项的特点,二项展开式每一项中所含的x与2分得的次数和为6,则根据题意满足条件x3的项按3与3分配即可,则展开式中x3的系数为×23=160.
答案D
2.(多选)(2020江苏泰州中学高二期中)对于二项式(n∈N
),以下判断正确的有( )
A.存在n∈N
,展开式中有常数项
B.对任意n∈N
,展开式中没有常数项
C.对任意n∈N
,展开式中没有含x的项
D.存在n∈N
,展开式中有含x的项
解析设二项式(n∈N
)展开式的通项为Tk+1,则Tk+1=x4k-n,
不妨令n=4,则当k=1时,展开式中有常数项,故A正确,B错误;
令n=3,则当k=1时,展开式中有含x的项,故C错误,D正确.
故选AD.
答案AD
3.(x-y)10的展开式中x6y4的系数是( )
A.840
B.-840
C.210
D.-210
解析在通项Tk+1=x10-k(-y)k中,令k=4,即得(x-y)10的展开式中x6y4的系数为·(-)4=840.
答案A
4.使得(n∈N
)的展开式中含有常数项的最小的n为( )
A.4
B.5
C.6
D.7
解析展开式中的第k+1项为(3x)n-k3n-k.若展开式中含常数项,则存在n∈N
,k∈N,使n-k=0,故最小的n为5,故选B.
答案B
5.(2020重庆高三月考)若(a-3x)10的展开式中含的项的系数为-30,则实数a的值为
( )
A.2
B.-2
C.1
D.-1
解析因为(a-3x)10=a-3x,且的通项为
Tk+1=,
令5-,解得k=3;令5-=-,此方程无整数解.所以·a=-30,解得a=2.
故选A.
答案A
6.若x>0,设5的展开式中的第三项为M,第四项为N,则M+N的最小值为 .?
解析T3=·32=x,T4=·2·3=,故M+N=≥2当且仅当,即x=时,等号成立.
答案
7.已知2×1010+a(0≤a<11)能被11整除,则实数a的值为 .?
解析根据题意,由于2×1010+a=2×(11-1)10+a,由于2×1010+a(0≤a<11)能被11整除,根据二项展开式可知,2×(11-1)10被11除的余数为2,从而可知2+a能被11整除,可知a=9.
答案9
8.已知的展开式中的第9项与第10项二项式系数相等,求x的系数.
解∵,∴n=17,Tk+1=·2k·.
令=1,得k=9.
∴T10=·x4·29·x-3=·29·x.
故x的系数为29.
9.已知在的展开式中,第5项的系数与第3项的系数之比为56∶3,求展开式中的常数项.
解T5=)n-4·24x-8=16,T3=)n-2·22x-4=4.
由题意知,,解得n=10(负值舍去).
Tk+1=)10-k·2kx-2k=2k,
令=0,解得k=2.
所以展开式中的常数项为×22=180.
10.求证:1+2+22+…+(n∈N
)能被31整除.
证明∵1+2+22+…+-1=32n-1
=(31+1)n-1
=·31n+·31n-1+…+·31+-1
=31(·31n-1+·31n-2+…+),显然·31n-1+·31n-2+…+为整数,∴原式能被31整除.
能力提升练
1.在(1-x3)(1+x)10的展开式中,x5的系数是( )
A.-297
B.-252
C.297
D.207
解析(1-x3)(1+x)10=(1+x)10-x3(1+x)10,x5的系数为=207.
答案D
2.(2020云南昆明一中高三月考)(1+x)3(1-2x)的展开式中含x3的项的系数为( )
A.-5
B.-4
C.6
D.7
解析因为(1+x)3(1-2x)=(1+x)3-2x(1+x)3,所以含x3项的系数为-2=1-2×3=-5.故选A.
答案A
3.(x2+2)的展开式中的常数项是( )
A.-3
B.-2
C.2
D.3
解析展开式的通项为Tk+1=·(-1)k=(-1)k.
令10-2k=2或10-2k=0,解得k=4或k=5.
故(x2+2)·的展开式中的常数项是
(-1)4×+2×(-1)5×=3.
答案D
4.设二项式x-6(a>0)的展开式中,x3的系数为A,常数项为B,若B=4A,则a的值是 .?
解析A=(-a)2,B=(-a)4,由B=4A知,
4(-a)2=(-a)4,解得a=±2.
∵a>0,∴a=2.
答案2
5.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项的系数是 .?
解析展开式中含x3的项的系数为(-1)3+(-1)3+(-1)3+(-1)3=-121.
答案-121
6.已知(xcos
θ+1)5的展开式中x2的系数与x+4的展开式中x3的系数相等,则cos
θ= .?
解析(xcos
θ+1)5展开式中x2的系数为cos2θ.
x+4展开式中x3的系数为.由题意可知cos2θ=,∴cos2θ=,∴cos
θ=±.
答案±
7.已知的展开式中,前三项系数的绝对值依次成等差数列.
(1)证明:展开式中没有常数项;
(2)求展开式中所有的有理项.
(1)证明由题意得2=1+,
即n2-9n+8=0,∴n=8(n=1舍去).
∴Tk+1=)8-k·
=
=(-1)k(0≤k≤8,k∈Z).
若Tk+1是常数项,则=0,
即16-3k=0,∵k∈Z,这不可能,
∴展开式中没有常数项.
(2)解由(1)知,若Tk+1是有理项,当且仅当为整数.∵0≤k≤8,k∈Z,∴k=0,4,8,
即展开式中有三项有理项,分别是T1=x4,T5=x,T9=x-2.
素养培优练
求x+-15的展开式中的常数项.
解(方法一)因为x+-15=x+-15,
所以二项展开式的通项为·x+·(-1(0≤k1≤5,k1∈Z).
当k1=5时,T6=·(-1)5=-1;
当0≤k1<5时,x+的展开式的通项为·(0≤k2≤5-k1).
因为0≤k1<5,且k1∈Z,k1+2k2=5,
所以k1只能取1或3,此时相应的k2值分别为2或1,即
所以常数项为·(-1)1+·(-1)3+(-1)=-51.
(方法二)因为x+-15=x+-1·x+-1·…·x+-1,
所以常数项为x··(-1)3+x2··(-1)+·(-1)5=-51.(共35张PPT)
6.3.1 二项式定理
激趣诱思
知识点拨
我们在初中学习了(a+b)2=a2+2ab+b2,试用多项式的乘法推导(a+b)3,(a+b)4的展开式.上述两个等式的右侧有何特点?你能用组合的观点说明(a+b)4是如何展开的吗?
激趣诱思
知识点拨
一、二项式定理
1.这个公式叫做二项式定理.
2.二项展开式:等号右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,二项展开式共有n+1项.
3.二项式系数:各项的系数
(k=0,1,2,…,n)叫做二项式系数.
激趣诱思
知识点拨
名师点析理解二项式定理的注意事项
(1)二项式定理形式上的特点:
①二项展开式有n+1项.
②二项式系数都是组合数
(k=0,1,2,…,n),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等.
(2)二项式定理中的字母a,b是不能交换的,即(a+b)n与(b+a)n的展开式是有区别的,二者的展开式中的项的排列顺序是不同的,不能混淆.
(3)二项式定理表示一个恒等式,对于任意的a,b,该等式都成立.
(4)二项式定理中a和b中间用加号连接,若出现减号,“-”归属后边的字母或数,仍可用二项式定理展开.
激趣诱思
知识点拨
微思考
二项式定理中,项的系数与二项式系数有什么区别?
提示:二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指
,它只与各项的项数有关,而与a,b的值无关,而项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有关.
激趣诱思
知识点拨
微练习
化简(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1得( )
A.x4
B.(x-1)4
C.(x+1)4
D.x5
解析:原式=(x-1+1)4=x4.
答案:A
激趣诱思
知识点拨
二、二项展开式的通项
名师点析二项展开式的通项形式上的特点
(2)字母b的次数和组合数的上标相同.
(3)a与b的次数之和为n.
激趣诱思
知识点拨
微思考
二项式(a+b)n与(b+a)n的展开式的第
k+1项相同吗?
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)(x+2)8的展开式中的第6项为 .?
A.8 B.9 C.10 D.11
答案:(1)1
792x3 (2)B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
二项式定理的正用、逆用
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案:44
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.(a+b)n的二项展开式有n+1项,是和的形式,各项的幂指数规律是:(1)各项的次数和等于n.(2)字母a按降幂排列,从第一项起,次数由n逐项减1直到0;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由0逐项加1直到n.
2.逆用二项式定理可以化简多项式,体现的是整体思想.注意分析已知多项式的特点,向二项展开式的形式靠拢.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1化简:(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
利用二项式定理求待定项及系数
(1)求n;
(2)求含x2的项的系数;
(3)求展开式中所有的有理项.
思路分析:先利用二项展开式的通项,求出当x的次数为0时n的值,再求解第(2)问、第(3)问.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
求二项展开式中的特定项的常见题型及解法
(1)求含xk的项(或xpyq的项),在通项中令字母的指数为给定的值;
(2)求常数项,在通项中令字母的指数为0;
(3)求有理项,在通项中令字母的指数为整数.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
利用二项式定理解决整除和余数问题
例3试判断7777-1能否被19整除.
思路分析:由于76是19的倍数,因此可将7777转化为(76+1)77,并用二项式定理展开.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
用二项式定理解决an+b整除(或余数)问题时,一般需要将底数a写成除数m的整数倍加上或减去r(1≤r探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练3(1)设a∈Z,且0≤a<13,若512
015+a能被13整除,则a等于( )
A.0
B.1
C.11
D.12
(2)230-3除以7所得的余数为 .?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案:(1)B (2)5
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
转化思想在二项式定理中的应用
典例求(1+2x-3x2)5展开式中x5的系数.
审题视点
由于三项式的展开式无现成公式,因此应将其转化为二项式的展开式,然后再求x5的系数.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(方法一)∵(1+2x-3x2)5=[1+(2x-3x2)]5
=1+5(2x-3x2)+10(2x-3x2)2+10(2x-3x2)3+5(2x-3x2)4+(2x-3x2)5
=1+5x(2-3x)+10x2(2-3x)2+10x3(2-3x)3+5x4(2-3x)4+x5(2-3x)5,
∴x5的系数为上式各项中含x5的项的系数和,即
(方法二)∵(1+2x-3x2)5=(1-x)5·(1+3x)5
=(1-5x+10x2-10x3+5x4-x5)·(1+15x+90x2+270x3+405x4+243x5),
∴展开式中x5的系数为243-5×405+270×10-10×90+5×15-1=92.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛
转化思想在二项式定理中的应用
转化思想是高中数学重点考查的内容之一.在与二项式定理有关的问题中,主要表现为将多项式转化为二项式来求解;若干个二项式积的某项系数问题转化为乘法分配律问题.在高考题中,常出现三项式展开或两个二项式乘积的展开问题,所用方法一般是根据式子的特点转化为二项式展开来解决问题.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(1)第5项的二项式系数及第5项的系数;
(2)倒数第3项.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.(a+b)2n的展开式的项数是( )
A.2n
B.2n+1
C.2n-1
D.2(n+1)
解析:易知二项式(a+b)2n的展开式中有2n+1项,故展开式的项数为2n+1.
答案:B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案:B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案:4
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案:8
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
5.已知m,n∈N
,f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展开式中x的系数为19,求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数.
解:由题设知m+n=19,又m,n∈N
,∴1≤m≤18.
