第六章计数原理
6.3 二项式定理
6.3.2 二项式系数的性质
课后篇巩固提升
基础达标练
1.在(a-b)20的展开式中,与第6项二项式系数相同的项是( )
A.第15项
B.第16项
C.第17项
D.第18项
解析第6项的二项式系数为,与它相等的为倒数第6项,即第16项.
答案B
2.(2020四川高三三模)的展开式中,只有第4项的二项式系数最大,则该展开式的常数项是( )
A.-15
B.-20
C.15
D.20
解析因为只有第4项的二项式系数最大,
得n=6,
所以x2-n的展开式的通项为
Tk+1==(-1)kx12-3k.
令12-3k=0得k=4,
所以展开式中的常数项是(-1)4=15.
故选C.
答案C
3.(x-1)11的展开式中x的偶次项系数之和是( )
A.-2
048
B.-1
023
C.1
024
D.-1
024
解析(x-1)11=x11+x10·(-1)+x9·(-1)2+…+(-1)11,x的偶次项系数为负数,其和为-210=-1
024.
答案D
4.已知(2-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a8等于
( )
A.180
B.-180
C.45
D.-45
解析∵(2-x)10=210(-x)0+29(-x)1+…+22(-x)8+2(-x)9+(-x)10,
∴a8=22=4×=4×=4×45=180.
答案A
5.若对于任意实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2的值为( )
A.3
B.6
C.9
D.12
解析x3=[2+(x-2)]3,a2=·2=6.
答案B
6.(2020江西南昌高三模拟)在的展开式中,各项系数和与二项式系数和之比为64,则x3的系数为
( )
A.15
B.45
C.135
D.405
解析令x=1,代入,可得各项系数和为4n,展开式的各项的二项式系数和为2n,
由题意可知,各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64,
所以=64,解方程可得n=6,
则的展开式的通项公式为
Tk+1=x6-kx6-k·3k·=3k.
令6-k=3,解得k=2,
所以x3的系数为32=9×15=135.
故选C.
答案C
7.设(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n,则a0+a2+a4+…+a2n= .?
解析令x=1,得3n=a0+a1+a2+…+a2n-1+a2n,①
令x=-1,得1=a0-a1+a2-…-a2n-1+a2n,②
①+②得3n+1=2(a0+a2+…+a2n),
所以a0+a2+…+a2n=.
答案
8.设(-3+2x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a0+a1+a2+a3的值为 .?
解析令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4=1.①
又Tk+1=(-3)4-k(2x)k,∴当k=4时,x4的系数a4=16.②
由①-②得a0+a1+a2+a3=-15.
答案-15
9.若(x+3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a+b)10的展开式中二项式系数的和,则n的值为 .?
解析(7a+b)10的展开式中二项式系数的和为+…+=210,令(x+3y)n中x=y=1,则由题设知,4n=210,即22n=210,解得n=5.
答案5
10.已知(1+m)n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为256,展开式中含x的项的系数为112.
(1)求m,n的值;
(2)求展开式中奇数项的二项式系数之和;
(3)求(1+m)n(1-x)的展开式中含x2的项的系数.
解(1)由题意可得2n=256,解得n=8.Tk+1=mk,含x项的系数为m2=112,解得m=2或m=-2(舍去).故m,n的值分别为2,8.
(2)展开式中奇数项的二项式系数之和为=28-1=128.
(3)(1+2)8(1-x)=(1+2)8-x(1+2)8,
所以含x2的项的系数为24-22=1
008.
能力提升练
1.若(1+mx)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,且a1+a2+…+a6=63,则实数m的值为( )
A.1或3
B.-3
C.1
D.1或-3
解析令x=0,得a0=(1+0)6=1.令x=1,得(1+m)6=a0+a1+a2+…+a6.又a1+a2+a3+…+a6=63,∴(1+m)6=64=26,∴m=1或m=-3.
答案D
2.在(1-2x)n的展开式中,偶数项的二项式系数之和为128,则二项式系数最大的项的系数为( )
A.-960
B.960
C.1
120
D.1
680
解析根据题意,奇数项的二项式系数之和也应为128,所以在(1-2x)n的展开式中,二项式系数之和为256,即2n=256,n=8,则(1-2x)8的展开式中二项式系数最大的项为第5项,且T5=(-2)4x4=1
120x4,即二项式系数最大的项的系数为1
120,故选C.
答案C
3.(多选)(2020山东寿光现代中学高二期中)关于(a-b)11的说法,正确的是( )
A.展开式中的二项式系数之和为2
048
B.展开式中只有第6项的二项式系数最大
C.展开式中第6项和第7项的二项式系数最大
D.展开式中第6项的系数最大
解析(a-b)11的展开式中的二项式系数之和为211=2
048,故A正确;
因为n=11为奇数,所以展开式中有12项,中间两项(第6项和第7项)的二项式系数相等且最大,故B不正确,C正确;展开式中第6项的系数为负数,不是最大值,故D不正确.故选AC.
答案AC
4.已知0
A.-10
B.9
C.11
D.-12
解析作出y=a|x|(0故(x+1)n+(x+1)11=(x+1)2+(x+1)11=[(x+2)-1]2+[(x+2)-1]11,故a1=-2+(-1)10=9.
答案B
5.(2020山西太原五中高三模拟)(a>0,b>0)的展开式中只有第6项的二项式系数最大,且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍,则ab的值为 .?
解析展开式中只有第6项的二项式系数最大,故n=10,
(a>0,b>0)的展开式的通项为Tk+1=·(ax)10-k·x10-2k.
故=3·,
化简得到ab=8.
答案8
6.已知(1+x)10=a1+a2x+a3x2+…+a11x10,若数列a1,a2,a3,…,ak(1≤k≤11,k∈Z)是一个单调递增数列,则k的最大值是 .?
解析(1+x)n的展开式的各项的系数为其二项式系数,当n=10时,展开式的第六项的二项式系数最大,故k的最大值为6.
答案6
7.在9x-n的展开式中,偶数项的二项式系数之和为256,则展开式中x的系数为 .?
解析因为二项式展开式中,偶数项与奇数项的二项式系数之和相等,所以2n-1=256,解得n=9.所以9x-9的展开式中,通项为Tk+1=(9x)9-k·99-k·-k.令9-k=1,解得k=6,所以展开式中x的系数为×93×-6=84.
答案84
8.已知x+n的展开式的二项式系数之和为256.
(1)求n;
(2)若展开式中常数项为,求m的值;
(3)若(x+m)n展开式中系数最大项只有第6项和第7项,求m的取值情况.
解(1)二项式系数之和为2n=256,可得n=8.
(2)设常数项为第k+1项,则
Tk+1=x8-kk=mkx8-2k,
故8-2k=0,即k=4,则m4=,解得m=±.
(3)易知m>0,设第k+1项系数最大.
则
化简可得≤k≤.
由于只有第6项和第7项系数最大,
所以
所以m只能等于2.
素养培优练
(2020江苏扬州中学高三三模)(1)已知(1-2x)2n+1的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为1∶4,求n的值.
(2)记(1-2x)2n+1=a0+a1x+a2x2+…+a2n+1x2n+1,n∈N
,
①求|a0|+|a1|+…+|a2n+1|;
②设ak=(-2)kbk,求和:1·b0+2·b1+3·b2+…+(k+1)·bk+…+(2n+2)·b2n+1.
解(1)∵(1-2x)2n+1的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为1∶4,
∴,解得n=4.
(2)①由题意
(1+2x)2n+1=|a0|+|a1|x+…+|a2n+1|x2n+1,
令x=1,得|a0|+|a1|+…+|a2n+1|=32n+1.
②由题意ak=(-2)k,又ak=(-2)kbk,
∴bk=.
∴(k+1)bk=(k+1)=k=k=(2n+1),k>0,
∴1·b0+2·b1+3·b2+…+(k+1)·bk+…+(2n+2)·b2n+1=1·+2·+3·+…+(k+1)·+…+(2n+2)·++…++(2n+1)+…+=22n+1+(2n+1)22n=(2n+3)·22n.(共28张PPT)
6.3.2 二项式系数的性质
激趣诱思
知识点拨
如图所示,在一块木板上钉一些正六棱柱形的小木块,在它们中间留下一些通道,从上面的漏斗直通到下部的长方形框,并用一块玻璃挡住.把小弹子倒在漏斗里,它首先会通过中间的一个通道落到第二层(有几个通道就算第几层)的六棱柱上面,之后,再落到第二层中间的一个六棱柱的左边或右边的两个竖直通道里边去.再之后,它又会落到下一层的三个通道之一里边去,……,以此类推,最终落
激趣诱思
知识点拨
二项式系数的性质
1.对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即
2.增减性与最大值
激趣诱思
知识点拨
名师点析二项式系数与二项展开式中某一项的系数是不同的概念,特别地,(a+b)n(a>0,b>0)的展开式中,各项的系数即为对应的各二项式系数;(a-b)n(a>0,b>0)的展开式中,各项的系数的绝对值即为对应的二项式系数.
激趣诱思
知识点拨
微思考
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)在(a+b)8的展开式中,二项式系数最大的项为 ,在(a+b)9的展开式中,二项式系数最大的项为 .?
A.A>B B.A=B C.A激趣诱思
知识点拨
答案:(1)70a4b4 126a5b4与126a4b5 (2)B
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
求二项展开式中系数或二项式系数最大的项
例1已知(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
解得5≤k≤6.
∴k=5或k=6(∵k∈{0,1,2,…,8}).
∴系数最大的项为T6=1
792x5,T7=1
792x6.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
反思感悟
求二项展开式中系数的最值的方法
(1)若二项展开式的系数的绝对值与对应二项式系数相等,可转化为确定二项式系数的最值来解决.
如求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式中系数最大的项,一般是采用待定系数法,设其展开式的各项系数分别为A1,A2,…,An+1,且第k+1项系数
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
(1)求该展开式中所有有理项的个数;
(2)求该展开式中系数最大的项.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
二项式系数和问题
例2已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5.求下列各式的值:
(1)a0+a1+a2+…+a5;
(2)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|;
(3)a1+a3+a5.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
解:(1)令x=1,得a0+a1+a2+…+a5=1.
(2)令x=-1,得-35=-a0+a1-a2+a3-a4+a5.
所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|
=a0-a1+a2-a3+a4-a5=35=243.
(3)由a0+a1+a2+…+a5=1,
-a0+a1-a2+…+a5=-35,得2(a1+a3+a5)=1-35.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
延伸探究
在本例条件下,求下列各式的值:
(1)a0+a2+a4;
(2)a1+a2+a3+a4+a5;
(3)5a0+4a1+3a2+2a3+a4.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
解:(1)因为a0+a1+a2+…+a5=1,
-a0+a1-a2+…+a5=-35.
(2)因为a0是(2x-1)5展开式中x5的系数,
所以a0=25=32.
又因为a0+a1+a2+…+a5=1,
所以a1+a2+a3+a4+a5=-31.
(3)因为(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,
所以两边求导数得10(2x-1)4=5a0x4+4a1x3+3a2x2+2a3x+a4.
令x=1得5a0+4a1+3a2+2a3+a4=10.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
反思感悟
二项展开式中系数和的求法
(1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N
)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对(ax+by)n(a,b∈R,n∈N
)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.
(2)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
变式训练2在(2x-3y)9的展开式中,求:
(1)二项式系数之和;
(2)各项系数之和;
(3)所有奇数项系数之和.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
(2)各项系数之和为a0+a1+a2+…+a9,
令x=1,y=1,
所以a0+a1+a2+…+a9=(2-3)9=-1.
(3)令x=1,y=-1,可得
a0-a1+a2-…-a9=59,
又a0+a1+a2+…+a9=-1,
即所有奇数项系数之和为976
562.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
用二项式定理证明不等式
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
1.(1-x)13的展开式中系数最小的项为( )
A.第6项
B.第7项
C.第8项
D.第9项
解析:展开式中共有14项,中间两项(第7,8项)的二项式系数最大.故系数最小的项为第8项,系数最大的项为第7项.
答案:C
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
A.64
B.32
C.63
D.31
答案:B
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
3.(2020辽宁高二期中)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( )
A.212
B.211
C.210
D.29
答案:D
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
素养形成
当堂检测