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章末整合
专题一 两个计数原理?
解析:以m的值为标准分类,分五类:
第1类,当m=1时,使n>m,n有6种选择;
第2类,当m=2时,使n>m,n有5种选择;
第3类,当m=3时,使n>m,n有4种选择;
第4类,当m=4时,使n>m,n有3种选择;
第5类,当m=5时,使n>m,n有2种选择.
所以一共可以表示6+5+4+3+2=20(个)焦点在y轴上的椭圆.
答案:20
方法技巧
使用两个原理解决问题时应注意的问题
对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题,我们可以恰当地画出示意图或列出表格,使问题更加直观、清晰.
变式训练1有六名同学报名参加三个智力竞赛项目,在下列情况下各有多少种不同的报名方法?(不一定六名同学都能参加)
(1)每人恰好参加一项,每项人数不限;
(2)每项限报一人,且每人至多参加一项;
(3)每项限报一人,但每人参加的项目不限.
解:(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项,各有3种不同选法,由分步乘法计数原理,得共有不同的报名方法36=729(种).
(2)每项限报一人,且每人至多参加一项,因此可由项目选人,第一个项目有6种选法,第二个项目有5种选法,第三个项目只有4种选法,由分步乘法计数原理,得共有不同的报名方法6×5×4=120(种).
(3)由于每人参加的项目不限,因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛,由分步乘法计数原理,得共有不同的报名方法63=216(种).
专题二 排列、组合的应用?
例2在高三一班元旦晚会上,有6个演唱节目,4个舞蹈节目.
(1)当4个舞蹈节目要排在一起时,有多少种不同的节目安排顺序?
(2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时,有多少种不同的节目安排顺序?
(3)若已定好节目单,后来情况有变,需加上诗朗诵和快板2个节目,但不能改变原来节目的相对顺序,有多少种不同的节目演出顺序?
方法技巧
1.解决排列组合应用题的一般步骤
(1)认真审题,弄清楚是排列(有序)还是组合(无序),还是排列与组合混合问题.
(2)抓住问题的本质特征,准确合理地利用两个基本原理进行“分类与分步”.
2.处理排列组合应用题的规律
(1)两种思路:直接法,间接法.
(2)两种途径:元素分析法,位置分析法.
3.排列组合应用题的常见类型及解法
(1)特殊元素、特殊位置优先安排的策略.
(2)合理分类与准确分步的策略.
(3)正难则反,等价转化的策略.
(4)相邻问题捆绑法,不相邻问题插空法的策略.
(5)元素定序,先排后除的策略.
(6)排列、组合混合题先选后排策略.
(7)复杂问题构造模型策略.
变式训练23名教师与4名学生排成一横排照相.
求:(1)3名教师必须排在一起的不同排法有多少种?
(2)3名教师必须在中间(在3,4,5位置上)的不同排法有多少种?
(3)3名教师不能相邻的不同排法有多少种?
专题三 二项式定理的应用?
例3(1)已知(1+ax2)6(a是正整数)的展开式中x8的系数小于120,则a= .?
①求n;
②求展开式中二项式系数最大的项;
③求展开式中所有的有理项.
∴15a4<120,也即a4<8,又a是正整数.故a只能取1.
答案:(1)1
方法技巧
应用二项式定理解题要注意的问题
(1)通项表示的是第“k+1”项,而不是第“k”项.
(2)展开式中第k+1项的二项式系数
与第k+1项的系数,在一般情况下是不相同的,在具体求各项的系数时,一般先处理符号,对根式和指数的运算要细心,以防出差错.
(3)通项表示二项展开式中的任意项,只要n与k确定,该项也随之确定.对于一个具体的二项式,它的展开式中的项Tk+1依赖于k.
答案:(1)C (2)5
专题四 二项式定理中的“赋值”问题?
(1)a0;
(2)a1+a2+a3+a4+…+a100;
(3)a1+a3+a5+…+a99;
(4)(a0+a2+…+a100)2-(a1+a3+…+a99)2;
(5)|a0|+|a1|+…+|a100|.
方法技巧
赋值法的应用
与二项式系数有关的问题,包括求二项展开式中二项式系数最大的项、各二项式系数或各项的系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和,主要解决方法是赋值法,通过观察二项展开式右边的结构特点和所求式子的关系,确定给字母所赋的值,有时赋值后得到的式子比所求式子多一项或少一项,此时要专门求出这一项,而在求奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和时,往往要两次赋值,再由方程组求出结果.
变式训练4若(1+x+x2)6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12,则a2+a4+…+a12= .?
解析:令x=0得,a0=1.
令x=1,可得a0+a1+a2+…+a11+a12=36;①
令x=-1,可得a0-a1+a2+…-a11+a12=1;②
①+②得2(a0+a2+a4+…+a12)=730,
故a2+a4+a6+…+a12=364.
答案:364第六章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2020重庆高三月考)(x+1)8的展开式的各项系数和为
( )
A.256
B.257
C.254
D.255
解析令x=1,则(1+1)8=28=256,即(x+1)8的展开式的各项系数的和为256.故选A.
答案A
2.把编号为1,2,3,4,5的5位运动员排在编号为1,2,3,4,5的5条跑道中,要求有且只有两位运动员的编号与其所在跑道的编号相同,共有不同排法的种数是( )
A.10
B.20
C.40
D.60
解析先选出两位运动员的编号与其所在跑道编号相同,有,剩余的有2种排法,共有2×=20(种).
答案B
3.(2020河南高二月考)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动,则男女生都有的不同的选法种数是( )
A.18
B.24
C.30
D.36
解析由于选出的3名学生男女生都有,所以可分成两类:
第1类,3人中是1男2女,共有=4×3=12(种)不同的选法;
第2类,3人中是2男1女,共有=6×3=18(种)不同的选法.
所以男女生都有的不同的选法种数是12+18=30.
答案C
4.(2020浙江高三专题练习)已知+0!=4,则m=
( )
A.0
B.1
C.2或3
D.3
解析∵+0!=4,∴=6.
当m=2时成立;
当m=3时也成立.故选C.
答案C
5.(2020黑龙江牡丹江一中高三期末)张、王夫妇各带一个小孩儿到游乐园游玩,购票后依次入园,为安全起见,首尾一定要排两位爸爸,另外两个小孩要排在一起,则这6个人的排法种数是( )
A.12
B.24
C.36
D.48
解析先安排首尾两个位置的男家长,共有种方法;将两个小孩作为一个整体,与剩下的另两位家长安排在两位男家长的中间,共有种方法.由分步乘法计数原理可得所有的排法有=24(种).故选B.
答案B
6.(2020全国1高考)(x+y)5的展开式中x3y3的系数为( )
A.5
B.10
C.15
D.20
解析因为(x+y)5的通项公式为·x5-k·yk(k=0,1,2,3,4,5),所以当k=1时,x4y=5x3y3,当k=3时,x·x2y3=10x3y3,所以x3y3的系数为10+5=15.
答案C
7.如图所示,要给①②③④四块区域分别涂上五种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同的涂色方法种数为( )
A.320
B.160
C.96
D.60
解析根据分步乘法计数原理,区域①有5种颜色可供选择,区域③有4种颜色可供选择,区域②和区域④只要不选择区域③的颜色即可,故有4种颜色可供选择,所以不同涂色方法有5×4×4×4=320(种).
答案A
8.(2020山东济南高三模拟)某学校实行新课程改革,即除语文、数学、外语三科为必考科目外,还要在物理、化学、生物、历史、地理、政治六科中选择三科作为选考科目.已知某生的高考志愿为某大学环境科学专业,按照该大学上一年高考招生选考科目要求,物理、化学必选,为该生安排课表(上午四节、下午四节,每门课每天至少一节),已知该生某天最后两节为自习课,且数学不排下午第一节,语文、外语不相邻(上午第四节和下午第一节不算相邻),则该生该天课表有( )
A.444种
B.1
776种
C.1
440种
D.1
560种
解析物理、化学、生物、历史、地理、政治六选三,且物理、化学必选,
所以只需在生物、历史、地理、政治中四选一,有=4(种).
对语文、外语排课进行分类,第1类,语文、外语有一科在下午第一节,则另一科可以安排在上午四节课中的任意一节,剩下的四科可全排列,有=192(种);
第2类,语文、外语都不在下午第一节,则下午第一节可在除语文、数学、外语三科的另三科中选择,有=3(种),
语文和外语可都安排在上午,即上午第一、三节,上午第一、四节,上午第二、四节,有3×=6(种),
也可一科在上午任一节,一科在下午第二节,有=8(种),
其他三科可以全排列,有(6+8)=252(种).
综上,共有4×(192+252)=1
776(种).
故选B.
答案B
二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)
9.(2020江苏扬中高级中学高二期中)某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目,下列说法错误的是( )
A.若任意选择三门课程,选法总数为
B.若物理和化学至少选一门,选法总数为
C.若物理和历史不能同时选,选法总数为
D.若物理和化学至少选一门,且物理和历史不能同时选,选法总数为
解析若任意选择三门课程,选法总数为,故A错误;
若物理和化学至少选一门,选法总数为,故B错误;
若物理和历史不能同时选,选法总数为,故C正确;
若物理和化学至少选一门,且物理和历史不能同时选,选法总数为,故D错误.故选ABD.
答案ABD
10.(2020江苏丰县中学高二期中)下列等式中,成立的有
( )
A.
B.
C.
D.=n
解析=n(n-1)…(n-m+1)=,故A错误;
根据组合数性质知B,C正确;
=n,故D正确.故选BCD.
答案BCD
11.(2020山东高二期中)若(1+mx)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8且a1+a2+…+a8=255,则实数m的值可以为( )
A.-3
B.-1
C.0
D.1
解析因为(1+mx)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,令x=1,得(1+m)8=a0+a1+a2+…+a8,
令x=0,得a0=1.
因为a1+a2+…+a8=255,
所以(1+m)8-1=255,所以(1+m)8=256=28,
所以1+m=2或1+m=-2,
解得m=1或m=-3.故选AD.
答案AD
12.(2020山东宁阳第四中学高二期中)已知(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式的各项系数之和为1
024,则下列说法正确的是( )
A.展开式中奇数项的二项式系数和为256
B.展开式中第6项的系数最大
C.展开式中存在常数项
D.展开式中含x15的项的系数为45
解析由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等,可知n=10.
又因为展开式的各项系数之和为1
024,即当x=1时,(a+1)10=1
024,所以a=1.
所以二项式为.
二项式系数和为210=1
024,则奇数项的二项式系数和为×1
024=512,故A错误;
由n=10可知展开式共有11项,故第6项的二项式系数最大,
因为x2与的系数均为1,则该二项展开式的二项式系数与相应各项的系数相同,所以第6项的系数最大,故B正确;
若展开式中存在常数项,由通项Tk+1=x2(10-k)可得2(10-k)-k=0,解得k=8,故C正确;
由通项Tk+1=x2(10-k)可得2(10-k)-k=15,解得k=2,所以系数为=45,故D正确.故选BCD.
答案BCD
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2019上海高二期末)某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员先后抢4个不相同的红包,每人最多抢一个红包,且红包全被抢光,则甲、乙两人都抢到红包的情况有 种.?
解析第1步,甲、乙抢到红包,有=4×3=12(种),第2步,其余三人抢剩下的两个红包,有=3×2=6(种),所以甲、乙两人都抢到红包的情况有12×6=72(种).
答案72
14.将5位志愿者分成3组,其中两组各2人,另一组1人,分赴某大型展览会的三个不同场馆服务,不同的分配方案有 种.?
解析先分组,再把三组分配到三个不同的场馆,得共有不同的分配方案=90(种).
答案90
15.(2020安徽高三模拟)(x2+2)的展开式中的常数项为 .?
解析因为2x-6的展开式中含的项为(2x)2的展开式中含常数项(2x)3=-160,所以(x2+2)的展开式中的常数项为60-320=-260.
答案-260
16.(2020浙江高三专题练习)某学校要安排2名高二的同学、2名高一的同学和1名初三的同学去参加电视节目,有五个乡村小镇A,B,C,D,E(每名同学选择一个小镇),由于某种原因高二的同学不去小镇A,高一的同学不去小镇B,初三的同学不去小镇D和E,则共有 种不同的安排方法.?
解析如果初三学生去A,则高二学生选1人去B,另外三人去C,D,E,故不同的安排方法有=12(种);
如果初三学生去B,则高一学生选1人去A,另外三人去C,D,E,故不同的安排方法有=12(种);
如果初三学生去C,则高二学生选1人去B,高一学生选1人去A,另外两人去D,E,故不同的安排方法有=8(种).
故共有不同的安排方法12+12+8=32(种).
答案32
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2020黑龙江海林朝鲜族中学高二期末)已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,求:
(1)a1+a2+…+a7;
(2)a1+a3+a5+a7;
(3)a0+a2+a4+a6;
(4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|.
解(1)根据所给的等式求得常数项a0=1.
令x=1,可得a0+a1+a2+…+a7=-1.
则a1+a2+…+a7=-2.
(2)在所给的等式中,令x=1,
可得a0+a1+a2+…+a7=-1.①
令x=-1,则a0-a1+a2-a3+…-a7=37.②
(①-②)÷2,可得a1+a3+a5+a7=-1
094.
(3)由(2),(①+②)÷2,可得a0+a2+a4+a6=1
093.
(4)在所给的等式中,令x=-1,
可得|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=a0-a1+a2-a3+…-a7=37=2
187.
18.(12分)(2020安徽六安中学高二期中)某医院有内科医生8名、外科医生6名,现选派4名参加抗击新冠肺炎疫情医疗队.
(1)甲、乙两人至少有一人参加,有多少种选法?
(2)队中至少有一名内科医生和一名外科医生,有几种选法?
解(1)不考虑甲、乙两人,从所有14名医生中选派4名共有=1
001(种);甲、乙两人都没被选派共有=495(种).故甲、乙两人至少有一人参加,有1
001-495=506(种).
(2)此时4名医生的组成可分为三类:
第1类,1名内科医生、3名外科医生,共有=160(种);
第2类,2名内科医生、2名外科医生,共有=420(种);
第3类,3名内科医生、1名外科医生,共有=336(种).
故队中至少有一名内科医生和一名外科医生,有160+420+336=916(种)选法.
19.(12分)(2020四川仁寿第二中学高二月考(理))在n的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列.
(1)求展开式的第四项;
(2)求展开式的常数项;
(3)求展开式中各项的系数和.
解通项为Tk+1=.
由已知,,成等差数列,得2×=1+,解得n=8,故Tk+1=.
(1)令k=3,得T4==-7.
(2)令8-2k=0,得k=4,故T5=.
(3)令x=1,得各项的系数和为8=.
20.(12分)(2020江苏高二期中)有7本不同的书:
(1)全部分给6个人,每人至少一本,有多少种不同的分法?
(2)全部分给5个人,每人至少一本,有多少种不同的分法?
解(1)根据题意,将7本书分给6个人,且每人至少1本,则必须是其中1个人2本,其他人每人1本,则分两步:
第1步,将7本书,分为6组,其中1组2本,其他组每组1本,有=21(种)分组方法;
第2步,将分好的6组对应6人,将6组进行全排列即可,有=720(种)方法.
一共有21×720=15
120(种)不同的分法.
(2)分两类:第1类,1人得3本,其余4人各得一本,方法数为=4
200;
第2类,2人各得2本,其余3人各得1本,方法数为=12
600.
所以所求分法种数为4
200+12
600=16
800.
21.(12分)(2020河南南阳中学高二月考)已知的展开式的二项式系数和比(3x-1)n的展开式的二项式系数和大992.求的展开式中:
(1)二项式系数最大的项;
(2)系数的绝对值最大的项.
解由题意22n-2n=992,解得n=5.
(1)的展开式中第6项的二项式系数最大,即T6=T5+1=·(2x)5·=-8
064.
(2)设第k+1项的系数的绝对值最大,
Tk+1=·(2x)10-k·=(-1)k··210-k·x10-2k,则
即
解得≤k≤,故k=3.
系数的绝对值最大的项为T4=(2x)7=-15
360x4.
22.(12分)(2020江苏徐州高二月考)从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数,试问:
(1)能组成多少个没有重复数字的七位数?
(2)在(1)中的七位数中,三个偶数排在一起的有几个?
(3)在(1)中的七位数中,偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个?
(4)在(1)中任意两偶数都不相邻的七位数有几个?
解(1)分步完成:第1步,在四个偶数中取三个,可有种情况;
第2步,在五个奇数中取四个,可有种情况;
第3步,三个偶数,四个奇数进行排列,可有种情况.
所以符合题意的七位数有=100
800(个).
(2)上述七位数中,三个偶数排在一起的有=14
400(个).
(3)上述七位数中,三个偶数排在一起,四个奇数也排在一起的有=5
760(个).
(4)上述七位数中,偶数都不相邻,可先把四个奇数排好,再将三个偶数分别插入5个空位,共有=28
800(个).
