第七章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2020山东枣庄第三中学高二月考)已知随机变量X~B,则E(3X-1)=( )
A.11
B.12
C.18
D.36
解析∵随机变量X~B,∴E(X)=8×=4,∴E(3X-1)=3E(X)-1=3×4-1=11.
故选A.
答案A
2.(2020黑龙江鹤岗一中高二期末)已知离散型随机变量ξ的概率分布如下表,则其均值E(ξ)等于( )
ξ
1
3
5
P
0.5
m
0.2
A.1
B.0.6
C.2+3m
D.2.4
解析依题意,0.5+m+0.2=1,解得m=0.3,
故E(ξ)=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4.
故选D.
答案D
3.现在分别有A,B两个容器,在容器A里有7个红球和3个白球,在容器B里有1个红球和9个白球.现从这两个容器里任意抽出一个球,则在抽到的是红球的情况下,是来自容器A里面的球的概率是( )
A.0.5
B.0.7
C.0.875
D.0.35
解析设A=“抽到的是红球”,B=“抽到的是来自容器A里面的球”,则AB=“抽到的是来自容器A里面的红球”.由题意可知,P(AB)=,P(A)=,故P(B|A)==0.875,故选C.
答案C
4.(2019广东高考模拟)从某班6名学生(其中男生4人、女生2人)中任选3人参加学校组织的社会实践活动.设所选3人中女生人数为ξ,则均值E(ξ)=( )
A.
B.1
C.
D.2
解析依题意,ξ=0,1,2,则P(ξ=0)=,
P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,
故E(ξ)=0×+1×+2×=1.故选B.
答案B
5.(2020湖北高二期末)甲、乙两人进行羽毛球比赛,假设每局比赛甲胜的概率是,各局比赛是相互独立的,采用5局3胜制,则乙以3∶1战胜甲的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析由题意知,前3局乙胜2局,第4局乙胜,故所求概率P=.
故选B.
答案B
6.(2020宁夏石嘴山第三中学高二期中)设随机变量X的概率分布为P(X=i)=,i=1,2,3,则D(X)等于( )
A.
B.
C.1
D.2
解析∵P(X=i)=,i=1,2,3,
∴E(X)=1×+2×+3×=2,
∴D(X)=(1-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×.
故选B.
答案B
7.(2019黑龙江高三期中)位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位;移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动5次后位于点(2,3)的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析依题意,质点在移动过程中向右移动2次,向上移动3次,因此质点P移动5次后位于点(2,3)的概率P=.
答案B
8.(2020四川高三月考)小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏,规则是:3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势,规定相同手势人数多者每人得1分,其余每人得0分.现3人共进行了4次游戏,每次游戏互不影响,记小明4次游戏得分之和为X,则X的均值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析进行“手心手背”游戏,小明与另外2名同学选择手势的所有可能情况为
(心,心,心),(心,心,背),(心,背,心),(心,背,背),(背,心,心),(背,心,背),(背,背,心),(背,背,背),
则小明得1分的概率为,得0分的概率为.
进行4次游戏,小明得分之和X的可能结果为0,1,2,3,4,
则P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=,
P(X=4)=,
故E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=3.
故选C.
答案C
二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)
9.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X<4)=0.8,则( )
A.P(X>4)=0.2
B.P(X>0)=0.6
C.P(0D.P(0解析∵P(X<4)=0.8,∴P(X>4)=0.2.
∵X~N(2,σ2),∴P(X<0)=P(X>4)=0.2.
∴P(0P(X>0)=1-P(X<0)=0.8,
∴P(0答案AC
10.(2019山东高三月考)某市有A,B,C,D四个景点,一名游客来该市游览,已知该游客游览A的概率为,游览B,C和D的概率都是,且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量X表示该游客游览的景点的个数,下列结论正确的是( )
A.该游客至多游览一个景点的概率为
B.P(X=2)=
C.P(X=4)=
D.E(X)=
解析随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,
则P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=+1-××1-=,
P(X=3)=×1-+1-×,
P(X=4)=,
故E(X)=0×+1×+2×+3×+4×.
设A=“该游客至多游览一个景点”,则P(A)=P(X=0)+P(X=1)=.故选ABD.
答案ABD
11.(2020江苏高二月考)下列说法中,正确的是( )
A.已知随机变量X~B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,则p=
B.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后,方差恒不变
C.设随机变量ξ~N(0,1),若P(ξ>1)=p,则P(-1<ξ≤0)=-P
D.某人在10次射击中,击中目标的次数为X,X~B(10,0.8),则当X=8时概率最大
解析对于选项A,因为X~B(n,p),E(X)=30,D(X)=20,所以np=30,np(1-p)=20,所以p=,故选项A错误;
易知选项B正确;
对于选项C,因为ξ~N(0,1),P(ξ>1)=p,所以P(0<ξ<1)=-p,所以P(-1<ξ<0)=-p,故选项C正确;
对于选项D,因为X~B(10,0.8),所以当X=k(k=0,1,…,10)时,P(X=k)=×0.8k×0.210-k,所以当1≤k≤10时,.由≥1得,44-4k≥k,即1≤k≤.因为k∈N
,所以1≤k≤8,且k∈N
,故当k=8时,概率P(X=8)最大,故选项D正确.
故选BCD.
答案BCD
12.(2020山东高考真题)信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,…,n,且P(X=i)=pi>0(i=1,2,…,n),pi=1,定义X的信息熵H(X)=-pilog2pi.( )
A.若n=1,则H(X)=0
B.若n=2,则H(X)随着p1的增大而增大
C.若pi=(i=1,2,…,n),则H(X)随着n的增大而增大
D.若n=2m,随机变量Y所有可能的取值为1,2,…,m,且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m),则H(X)≤H(Y)
解析对于A,若n=1,则p1=1,所以H(X)=-(1×log21)=0,所以A正确.
对于B,若n=2,则p2=1-p1,
所以H(X)=-[p1·log2p1+(1-p1)·log2(1-p1)],
当p1=时,H(X)=-·log2·log2,
当p1=时,H(X)=-·log2·log2,
两者相等,所以B错误.
对于C,若pi=(i=1,2,…,n),则
H(X)=-·log2·n=-log2=log2n,
则H(X)随着n的增大而增大,所以C正确.
对于D,若n=2m,随机变量Y的所有可能的取值为1,2,…,m,且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m).
则H(X)=-pi·log2pi=pi·log2
=p1·log2+p2·log2+…+p2m-1·log2+p2m·log2.
H(Y)=(p1+p2m)·log2+(p2+p2m-1)·log2+…+(pm+pm+1)·log2=p1·log2+p2·log2+…+p2m-1·log2+p2m·log2.
因为pi>0(i=1,2,…,2m),所以,所以log2>log2,
所以pi·log2>pi·log2,
所以H(X)>H(Y),所以D错误.
故选AC.
答案AC
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2019山东高二期末)按照国家标准规定,500
g袋装奶粉每袋质量必须服从正态分布X~N(500,σ2),经检测某种品牌的奶粉P(490≤X≤510)=0.95,一超市一个月内共卖出这种品牌的奶粉400袋,则卖出的奶粉质量在510
g以上袋数大约为 .?
解析因为X~N(500,σ2),且P(490≤X≤510)=0.95,所以P(X>510)==0.025,所以卖出的奶粉质量在510
g以上袋数大约为400×0.025=10(袋).
答案10
14.(2020山东青岛高二月考)抛掷两个骰子,至少有一个4点或5点出现时,就说这次试验成功,则在8次试验中,成功次数ξ的均值是 .?
解析在一次试验中,成功的概率为1-.依题意,ξ~B,故E(ξ)=8×.
答案
15.若随机变量X~B(4,p),且E(X)=2,则D(2X-3)= .?
解析由随机变量X~B(4,p),且E(X)=2,可得4p=2,解得p=,则D(X)=4×=1,
故D(2X-3)=4D(X)=4.
答案4
16.(2020浙江高考)一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球,每次拿一个,不放回,拿出红球即停,设拿出黄球的个数为ξ,则P(ξ=0)= ;E(ξ)= .?
解析依题意,ξ的取值可能为0,1,2,
则P(ξ=0)=,
P(ξ=1)=,P(ξ=2)=1-,
故E(ξ)=0×+1×+2×=1.
答案 1
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2020河南高二期中)某校从学生文艺部6名成员(4男2女)中,挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动.
(1)求男生甲被选中的概率;
(2)在已知男生甲被选中的条件下,女生乙被选中的概率;
(3)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下,求女生乙被选中的概率.
解(1)记4名男生为A,B,C,D,2名女生为a,b,
从6名成员中挑选2人,所有可能的结果为
(A,B),(A,C),(A,D),(A,a),(A,b),(B,C),(B,D),(B,a),(B,b),(C,D),(C,a),(C,b),(D,a),(D,b),(a,b),共15种,
不妨设男生甲为A,女生乙为b,设事件M=“男生甲被选中”,N=“女生乙被选中”,S=“被选中的两人为一男一女”.
(1)事件M所包含的可能的结果为(A,B),(A,C),(A,D),(A,a),(A,b),
共5种,故P(M)=.
(2)事件MN包含的可能的结果为(A,b),
则P(MN)=,又P(M)=,
故P(N|M)=.
(3)事件S包含的可能的结果为(A,a),(A,b),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(D,a),(D,b),共8种,
事件SN包含的可能的结果为(A,b),(B,b),(C,b),(D,b),共4种,则P(S)=,P(SN)=,
故P(N|S)=.
18.(12分)(2020浙江高二期末)一个袋中有10个大小相同的球,其中标号为1的球有3个,标号为2的球有5个,标号为3的球有2个.第一次从袋中任取一个球,放回后第二次再任取一个球(假设取到每个球的可能性都相等).记两次取到球的标号之和为X.
(1)求随机变量X的分布列;
(2)求随机变量X的均值.
解(1)依题意,随机变量X的可能取值为2,3,4,5,6,则P(X=2)=,
P(X=3)=×2=,
P(X=4)=×2+,
P(X=5)=×2=,
P(X=6)=.
故随机变量X的分布列为
X
2
3
4
5
6
P
(2)由(1)可知,
E(X)=2×+3×+4×+5×+6×.
19.(12分)某学习小组有6名同学,其中4名同学从来没有参加过数学研究性学习活动,2名同学曾经参加过数学研究性学习活动.
(1)现从该小组中任选2名同学参加数学研究性学习活动,求恰好选到1名曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率;
(2)若从该小组中任选2名同学参加数学研究性学习活动,活动结束后,该小组没有参加过数学研究性学习活动的同学人数ξ是一个随机变量,求随机变量ξ的分布列及均值.
解(1)记“恰好选到1名曾经参加过数学研究性学习活动的同学”为事件A,
则P(A)=.
故恰好选到1名曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率为.
(2)依题意,随机变量ξ的取值可能为2,3,4,则P(ξ=2)=,
P(ξ=3)=,
P(ξ=4)=.
故随机变量ξ的分布列为
ξ
2
3
4
P
E(ξ)=2×+3×+4×.
20.(12分)(2020黑龙江哈尔滨第六中学校高三一模)甲、乙二人进行一次象棋比赛,每局胜者得1分,负者得0分(无平局),约定一方得4分时就获得本次比赛的胜利并且比赛结束.设在每局比赛中,甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,各局比赛结果相互独立,已知前3局中,甲得1分,乙得2分.
(1)求甲获得这次比赛胜利的概率;
(2)设从第4局开始到比赛结束所进行的局数为X,求X的分布列及均值.
解(1)设“甲获得这次比赛胜利”为事件A,
则P(A)=,
故甲获得这次比赛胜利的概率为.
(2)依题意,X的取值可能为2,3,4,
则P(X=2)=,
P(X=3)=,
P(X=4)=×1=.
故X的分布列为
X
2
3
4
P
E(X)=2×+3×+4×.
21.(12分)(2020江苏高三三模)某娱乐活动中,共有5扇门,游戏者根据规则开门,并根据打开门的数量获取相应奖励.已知开每扇门相互独立,且规则相同,开每扇门的规则是:从给定的6把钥匙(其中有且只有1把钥匙能打开门)中,随机地逐把抽取钥匙进行试开,钥匙使用后不放回.若门被打开,则转为开下一扇门;若连续4次未能打开,则放弃这扇门,转为开下一扇门;直至5扇门都进行了试开,活动结束.
(1)设随机变量X为试开第一扇门所用的钥匙数,求X的分布列及均值E(X);
(2)求恰好成功打开4扇门的概率.
解(1)由题意可知,随机变量X的可能取值为1,2,3,4,
则P(X=1)=,P(X=2)=,
P(X=3)=,P(X=4)=×1=.
故随机变量X的分布列为
X
1
2
3
4
P
E(X)=1×+2×+3×+4×=3.
(2)每扇门被打开的概率为P=1-,
设“恰好成功打开4扇门”为事件A,则P(A)=.
22.(12分)(2020吉林东北师大附中高三模拟)一次大型考试后,某年级对某学科进行质量分析,随机抽取了40名学生的成绩,分组为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.
(1)从抽取的成绩在[50,60),[90,100]之间的学生中,随机选择三名学生做进一步调查分析,记X为这三名学生中成绩在[50,60)之间的人数,求X的分布列及均值E(X).
(2)①求该年级全体学生的平均成绩与标准差s的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(精确到1)
②如果该年级学生该学科的成绩服从正态分布N(μ,σ2),其中μ,σ分别近似为①中的,s,那么从该年级所有学生中随机选三名学生做分析,求这三名学生中恰有两名学生的成绩在区间(62,95)的概率.(精确到0.01)
附:≈5.385,P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682
7,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.954
5.
解(1)由频率分布直方图,可知40名学生中成绩在[50,60),[90,100]之间的人数均为4.
X的所有可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)=,P(X=1)=,
P(X=2)=,P(X=3)=.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
E(X)=0×+1×+2×+3×=1.5.
(2)①=55×0.1+65×0.3+75×0.4+85×0.1+95×0.1=73,s=
=2≈11.
②由①,可知成绩在区间(62,95)的概率为×0.954
5+×0.682
7=0.818
6,
记“三名学生中恰有两名学生的成绩在区间(62,95)”为事件A,
则P(A)=×0.818
62×(1-0.818
6)≈0.36.(共30张PPT)
章末整合
专题一 条件概率?
例1在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2道题,求:
(1)第1次抽到理科题的概率;
(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率;
(3)在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率.
解:设“第1次抽到理科题”为事件A,“第2次抽到理科题”为事件B,则“第1次和第2次都抽到理科题”为事件AB.
(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题包含的样本点数为
方法技巧
条件概率的求解策略
其中(2)常用于古典概型的概率计算问题.
变式训练1抛掷5枚硬币,在已知至少出现了2枚正面朝上的情况下,求正面朝上数恰好是3枚的概率.
专题二 二项分布?
例2某公司招聘员工,先由两位专家面试,若这两位专家都同意通过,则通过初审并予以录用;若这两位专家都未同意通过,则未通过初审并不予录用;当这两位专家意见不一致时,再由第三位专家进行复审,若能通过复审则予以录用,否则不予录用.设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为
,获得复审专家通过的概率为
,各专家评审的结果相互独立.
(1)求某应聘人员被录用的概率.
(2)若4人应聘,设X为被录用的人数,试求随机变量X的分布列.
故X的分布列为
方法技巧
解决二项分布问题的两个关注点
(1)对于公式P(X=k)=
pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)必须在随机变量服从二项分布时才能应用,否则不能应用.
(2)判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有两点:一是对立性,即一次试验中,事件发生与否两者必有其一;二是重复性,即试验是独立重复地进行了n次.
变式训练2一个暗箱里放着6个黑球、4个白球.
(1)依次不放回地取出3个球,若第1次取出的是白球,求第3次取到黑球的概率.
(2)有放回地依次取出3个球,若第1次取出的是白球,求第3次取到黑球的概率.
(3)有放回地依次取出3个球,求取到白球个数ξ的分布列和均值.
解:(1)设事件A为“第1次取出的是白球”,事件B为“第3次取出的是黑球”,
(2)因为有放回地依次取出3个球,每次取出之前暗箱的情况没有变化,所以每次取球互不影响,
专题三 超几何分布?
例3在一次购物抽奖活动中,假设10张奖券中有一等奖奖券1张,可获价值50元的奖品,有二等奖奖券3张,每张可获价值10元的奖品,其余6张没有奖品.
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张,求中奖次数X的分布列;
(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张,
①求顾客乙抽到中奖奖券数ξ的分布列;
②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元,求Y的分布列.
故X的分布列为
故ξ的分布列为
故Y的分布列为
方法技巧
解决超几何分布问题的两个关键点
(1)超几何分布是概率分布的一种形式,一定要注意公式中字母的范围及其意义,解决问题时可以直接利用公式求解,但不能机械地记忆.
(2)在超几何分布中,只要知道M,N,n,就可以利用公式求出随机变量X取不同k值的概率P(X=k),从而求出X的分布列.
变式训练3老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵,规定至少要背出其中2篇才能及格.某同学只能背诵其中的6篇,试求:
(1)抽到他能背诵的课文的数量X的分布列;
(2)他能及格的概率.
故X的分布列为
专题四 离散型随机变量的分布列、均值和方差?
例4一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀,且各面分别刻有1,2,2,3,3,3六个数字).
(1)设随机变量η表示一次掷得的点数和,求η的分布列.
(2)若连续投掷10次,设随机变量ξ表示一次掷得的点数和大于5的次数,求E(ξ),D(ξ).
方法技巧
求离散型随机变量的均值与方差的步骤
变式训练4为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
(1)设事件A为“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和均值.
故随机变量X的分布列为
专题五 正态分布的概率?
例5设X~N(10,1).
(1)证明:P(1(2)设P(X≤2)=a,求P(10(1)证明:因为X~N(10,1),所以正态曲线f(x)关于直线x=10对称,而区间(1,2)和(18,19)关于直线x=10对称,
故P(1方法技巧
正态分布的概率求法
(1)利用“3σ”原则,记住正态总体在三个区间内取值的概率.
(2)利用数形结合.由于正态分布密度曲线具有对称性,因此常结合图象,利用对称性,解决某一区间内的概率.
变式训练5为了解某地区高三男生的身体发育状况,抽查了该地区1
000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况,抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ,22),且正态分布密度曲线如图所示.若体重大于58.5
kg,小于或等于62.5
kg属于正常情况,则这1
000名男生中属于正常情况的人数约是( )
A.997
B.954
C.819
D.683
解析:由题意,可知μ=60.5,σ=2,故P(58.5P(μ-σ7,1
000×0.682
7≈683,故这1
000名男生中属于正常情况的人数约是683.
答案:D
